Rozwiązywanie układów równań metodą macierzy odwrotnej

W tym artykule przedstawię metodę rozwiązywania układów równań liniowych, zwaną “metodą macierzy odwrotnej”. Można ją śmiało dołączyć do znanych metod: Cramera, Kroneckera-Capellego (ta stanowi właściwe przejście na metodę Cramera) i Gaussa.

Zastrzegamy od razu, że metodę macierzy odwrotnej można stosować tylko w układach równań liniowych Cramera, tzn. takich, w których:

1. Jest tyle samo równań, co niewiadomych
2. Wyznacznik główny układu (złożony ze współczynników przy zmiennych) jest różny od zera

1. Przypadek ogólny

Na czym polega metoda? Weźmy układ równań, spełniający powyższe założenia:

Układ ma tyle samo równań, co niewiadomych (n równań i n niewiadomych), a jego wyznacznik główny jest różny od zera:

Powyższy układ równań można zapisać jako mnożenie następujących macierzy:

Nie wierzysz? Sprawdź sam, mnożąc sobie w odpowiedniej tabelce macierze

i :

Po przemnożeniu pierwszego wiersza przez pierwszą (i jedyną, oczywiście) kolumnę otrzymamy:

 – a więc dokładnie lewą stronę pierwszego równania, która powinna być równa . Tak samo będzie w kolejnych wierszach i widać, że nasz układ równań i równanie macierzowe są równoważne. Wracamy więc do równania macierzowego:

Aby go rozwiązać, mnożymy go obustronnie przez (macierz odwrotną) – tak, jak to się standardowo robiło w równaniach macierzowych:

Zwracamy uwagę, że mnożymy obie strony, ale od strony lewej, bo macierz współczynników jest po lewej stronie macierzy niewiadomych. Macierz odwrotna będzie istnieć, bo jej wyznacznik jest różny od zera, co zapewniliśmy sobie w założeniach (to jest układ Cramera). Wychodzimy więc na:

Teraz pozostaje nam już tylko wyliczyć macierz odwrotną: ,
przemnożyć ją przez macierz:
…i otrzymamy macierz wynikową:
 , a z niej już trzeba tylko zapisać odpowiedź 🙂

2. Przykład

Weźmy konkretny układ równań liniowych:

Na początku zapisujemy postać macierzową tego układu: 

Zauważmy, że w macierzy pierwszej od lewej są współczynniki przy zmiennych układu, potem jest macierz niewiadomych (jednokolumnowa), a po prawej stronie macierz wyrazów wolnych. Teraz wystarczy rozwiązać to równanie tak jak się rozwiązuje równania macierzowe, tzn.:

Potem policzyć macierz odwrotną: 

powinna nam wyjść: 

i przemnożyć ją przez: 

…powinniśmy wtedy wyjść na wynik:

Pozostaje teraz już tylko zapisać odpowiedź:

Odp. .

3. Podsumowanie

Metoda macierzy odwrotnej ma zaletę polegającą na tym, że żeby się jej nauczyć nie potrzebujesz zbyt wielu nowych wiadomości oprócz umiejętności liczenia macierzy odwrotnych i rozwiązywania równań macierzowych.

Jej wadą jest natomiast duża żmudność obliczeń i ograniczenie do układów Cramera.

Układy równań, które mają więcej niż trzy równania i niewiadome wymagają obliczenia macierzy odwrotnych większych, niż  wymiaru. Wymaga to zastosowania innej niż liczenie z macierzy dopełnień metody. Jest to:

Metoda Gaussa-Jordana obliczania macierzy odwrotnej (następny Wykład) –>

Kliknij, aby przypomnieć sobie, jak rozwiązywać układy równań liniowych z parametrem (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby powrócić na stronę z Wykładami do macierzy