Wzory na pochodne
Temat: Wzór na przyrost funkcji. Wzór na pochodną funkcji złożonej.
Streszczenie
Na tym wykładzie zajmiemy się potężnie wykorzystywanym w praktycznym liczeniu pochodnych (tzn. liczeniu z wzorów, a nie z definicji). Jest to oczywiście wzór na pochodną funkcji złożonej:
Tak się jakoś śmiesznie składa, że wzór – na każdym kroku stosowany – jest jednocześnie najmniej zrozumiały i w ogóle z reguły pomijany. Bierze się to stąd, że o wiele łatwiej nauczyć się po prostu, jak w praktyce obliczać te pochodne (z funkcji złożonej), niż wprowadzać do tego jakiś teoretyczny wzór.
Za chwilę jednak objaśnimy, jak „działa” ten wzorek i w sposób ścisły go udowodnimy. Skorzystamy przy tym z innego twierdzenia – o przyroście wartości funkcji i z oznaczeń 
, jakie wprowadziłem na poprzednim wykładzie (przypomnę je jeszcze).
Dowód przeprowadzam raz jeszcze tak, jak w książce Fichtenholz’a. Przy okazji, jeśli naprawdę pasjonujesz się matematyką (a ściślej: analizą matematyczną) MUSISZ mieć tą 3 tomową książkę, wpisz w Google czy Allegro – Fichtenholz, każdy wie o co chodzi, nie ma możliwości pomyłki.
Zaczynajmy zatem…
Funkcje złożone. Pochodne funkcji złożonych.
Z funkcjami złożonymi powinniśmy się już zetknąć w szkole średniej. Są to funkcje, w których argumentem jakiejś funkcji nie jest taki sobie zwykły 'x’, jak Pan Bóg przykazał, tylko jakaś inna funkcja.
Na przykład:
Ta funkcja jest złożona. Argumentem funkcji sinus nie jest x (wtedy była by to prosta funkcja 
), tylko jakaś inna funkcja, a konkretnie – 
.
Funkcje złożone bywają bardziej podstępne, na przykład:
Tutaj potrzeba już bardziej wprawnego oka, żeby zauważyć, że mamy jest to funkcja 
, w której zamiast argumentu 
jest wstawiona funkcja 
.
Funkcję złożoną f, której argumentem jest jakaś inna funkcja g można przedstawić symbolem:
Ma to sens, prawda? f liczona nie z x, tylko z innej funkcji: g(x).
Jak wiemy, pochodną z funkcji złożonej liczy się ze wzoru:
Jak go rozczytać? Ano tak: pochodna z funkcji f, w której argumentem jest funkcja g równa jest pochodnej z funkcji f (argumentem tej pochodnej jest funkcja g), przemnożonej przez pochodną funkcji g.
Najlepiej załapać to na przykładzie. Weźmy naszą funkcję złożoną:
Podstawa to orientacja, która funkcja jest która, to znaczy, argumentem jakiej funkcji jest która funkcja, to znaczy która funkcja ze wzoru to nasza funkcja f (można też ją nazwać: „funkcja zewnętrzna”), a która to funkcja g (można też powiedzieć o niej: „funkcja wewnętrzna”). Nasza funkcja f w tym przykładzie to funkcja sinus, a jej argumentem jest funkcja g.
Zgodnie ze wzorem: , pochodna funkcji równa będzie pochodnej funkcji sinus (czyli cosinus), której argumentem jest funkcja g=lnx (czyli będziemy mieli cosinus z lnx) razy pochodna funkcji lnx (czyli 
):
Można zapisać ją ładniej:
I tyle 🙂
Zajmiemy się teraz formalnym udowodnieniem naszego wzorku. Najpierw udowodnimy jednak pomocniczo…
Twierdzenie o przyroście wartości funkcji
Jak wiemy już z poprzedniego wykładu, przyrost wartości funkcji (
) w dowolnym punkcie 
można zapisać jako:
Widać to wprost z rysunku:
Wzór na przyrost wartości funkcji w punkcie można jednak zapisać również inaczej, w nie tak bardzo oczywisty sposób:
Twierdzenie
Jeśli funkcja f(x) ma w punkcie skończoną pochodną, to przyrost wartości tej funkcji w tym punkcie można przedstawić jako:
gdzie 
jest wartością zależną od 
i wraz z dążącą do zera.
Dowód
Zauważmy, że zgodnie z definicją pochodnej i tego, czym jest (patrz wyżej):
Jeżeli przyjmiemy więc, że:
Widzimy, że zależy od i biorąc 
będziemy mieli 
(bo pokazaliśmy wyżej, że 
).
Tak obrana ma więc warunki określone w zadaniu.
Obie strony równania mnożę przez :
Przenoszę stronami i mam:
Wyprowadziliśmy więc w ten sposób wzór na przyrost wartości funkcji z twierdzenia, co kończy dowód.
Twierdzenie o przyroście funkcji wykorzystamy w dowodzie wzoru na pochodną funkcji złożonej.
Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej
Pochodna funkcji złożonej (przy spełnionych założeniach dotyczących istnienia pochodnych funkcji w punkcie) dana jest wzorem:
Dowód
Dla przyrostu argumentów otrzymamy pewien przyrost wartości funkcji g: 
i pewien przyrost wartości funkcji f: 
. Zauważmy teraz, że przyrost wartości funkcji g jest jednocześnie przyrostem argumentów dla funkcji f (bo wartości funkcji g są argumentami funkcji f).
Wykorzystując nasze twierdzenie o przyroście wartości funkcji (udowodnione wyżej) dla funkcji f mamy:
we wzorze z twierdzenia zastąpiłem – bo argumentami funkcji f są wartości funkcji g, a nie x-sy.
Dzielimy obie strony przez i mamy:
Biorąc teraz 
równe jest z definicji wartości pochodnej funkcji g w punkcie , 
.
Składnik: 
dąży więc do zera, bo samo 
dąży do wartości pochodnej funkcji g, a dąży do zera (zgodnie z twierdzeniem o przyroście funkcji), jedno zaś przemnożone przez drugie dąży do zera.
Mamy zatem (przechodząc do granicy przy ):
Co należało dowieść.
KONIEC
Pisząc tego posta korzystałem z…
1. „Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966.
Kliknij tutaj, aby przypomnieć sobie, jak wyprowadzić wzory na właściwości pochodnych (poprzedni Wykład) <–
Kliknij tutaj, aby powrócić na stronę z wykładami o pochodnych
Weronika
Potrafisz też liczyć pochodne funkcji podwójnie złożonych nie w sensie, że głębiej i głębiej są jeszcze jakieś funkcje, tylko że są na tym samym poziomie (np. logarytm do potęgi arcustangens)? Bo mam takich kilka do policzenia i jestem załamana
Maria Seweryn
ja na kolokwium miałam zadanie : ((cosx)^sin2x)’… , próbowałam robić to wzorem na (x^n)’, ale było źle, potem znalazłam jakiś wzór a^b = e^(blna)… i juz sama nie wiem jak to zrobic
Kamil Kocot
Powyższą pochodną można obliczyć następująco:
ANIA
Witam, na kolokwium miałam za zadanie policzyć pochodną z definicji z takiej funkcji:
f(x)= {-x^2+x ;dla x2
(dwie funkcje dla różnych przedziałów). Trzeba policzyć f'(2) o ile istnieje. Mogę prosić o pomoc?
dominooos
Miałem przyjemność spotkać się z zadaiem na kolokwium dotyczącym pochodnych, brzmi on tak 〖(sin^5〗(tg(x)))’. Niestety nie potrafię tego rozwiązać 🙁
dominooos
poprawiam wyglądowo (sin^5(tg(x)))’
uczeń :)
Witam 🙂
mam taki przykład
y=x^2 * e^(-5x-6) + 3/ (4-x)^2
W jaki sposób liczymy tutaj pochodną? Głównie chodzi mi o e z potęgą. Z jakich wzorów korzystamy?
Joanna Grochowska
\displaystyle y={{x}^{2}}{{e}^{{(-5x-6)}}}+\frac{3}{{{{{(4-x)}}^{2}}}}
Mam tutaj policzyć pochodną iloczynu oraz ilorazu dwóch funkcji.
Korzystam z wzorów:
https://etrapez.pl/wp-content/uploads/domowe/kp/pochodne.pdf
\displaystyle \begin{matrix} y'=\left( {{{x}^{2}}{{e}^{{(-5x-6)}}}+\frac{3}{{{{{(4-x)}}^{2}}}}} \right)'=\left( {{{x}^{2}}{{e}^{{(-5x-6)}}}} \right)'+\left( {\frac{3}{{{{{(4-x)}}^{2}}}}} \right)'= \\ \left[ {\left( {{{x}^{2}}} \right)'\cdot {{e}^{{(-5x-6)}}}+{{x}^{2}}\cdot \left( {{{e}^{{(-5x-6)}}}} \right)'} \right]+\left[ {\frac{{\left( 3 \right)'\cdot {{{(4-x)}}^{2}}-3\cdot \left( {{{{(4-x)}}^{2}}} \right)'}}{{{{{\left( {{{{(4-x)}}^{2}}} \right)}}^{2}}}}} \right]= \\ \left[ {2x\cdot {{e}^{{(-5x-6)}}}+{{x}^{2}}\cdot {{e}^{{(-5x-6)}}}\cdot (-5x-6)'} \right]+\left[ {\frac{{0\cdot {{{(4-x)}}^{2}}-3\cdot \left( {2\cdot (4-x)\cdot (4-x)'} \right)}}{{{{{(4-x)}}^{4}}}}} \right]= \\ 2x\cdot {{e}^{{(-5x-6)}}}+{{x}^{2}}\cdot {{e}^{{(-5x-6)}}}\cdot (-5-0)+\frac{{-6\cdot (4-x)\cdot (0-1)}}{{{{{(4-x)}}^{4}}}} = \\ {{e}^{{(-5x-6)}}}\cdot \left( {2x-5{{x}^{2}}} \right)+\frac{{6\cdot (4-x)}}{{{{{(4-x)}}^{4}}}}={{e}^{{(-5x-6)}}}\cdot \left( {2x-5{{x}^{2}}} \right)+\frac{6}{{{{{(4-x)}}^{3}}}}\end{matrix}
beata
podaj definicje ilorazu różnicowego funkcji f:R–>R w punkcie xo=2
podaj warunek na to aby funkcja f:R–>R była malejąca w przedziale (a,b)
jak to trzeba zrobic?
Edyta Hudzik
Witam, mam problem z policzeniem pochodnej, a już nie pamiętam jak się to robiło.
2ω pod pierwiastkiem 1+3cos^2(ω t)
Lbz
Czy ktoś potrafi obliczyć pochodną drugiego rzędu funkcji y=f(cos x) gdzie f należy do C^2(a,b) i przy okazji mi wyjaśnić czym jest klasa C^2?
Kamil
A co jeśli funkcja jest złożona z 3 funkcji ? np. f(g(h(x)))=cos{arctg[ln(x)]} ?
Paweł
wiem że post był dawno ale może się komuś to przyda (cos{arctg[ln(x)]})’= (-sin{arctg[ln(x)]})*(1{1+[ln(x)]^2}*(1x), czyli liczysz od lewej do prawej mnożąc wszystko
Malwina
Witam czy w przydatku liczenia pochodnej f(x) = (2x + 4 – ln6)’
mam uznać że chodzi o logarytm naturalny z 6 i że pochodna z tego to 0 czy mam zły tok myślenia?
Krystian Karczyński
Tak, pochodna z ln6to zero, ma Pani dobry tok myślenia 🙂
Ania
Witam. Mam problem z policzeniem ekstremum lokalnych funkcji z drugiego warunku wystarczającego.
f(x) = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4
i f(x) = 3(x+5)^4
Czy mogłabym prosić o pomoc w rozwiązaniu?
Krystian Karczyński
Dobra, zacznę od tej pierwszej:
f\left( x \right)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-4
{f}'\left( x \right)={{\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-4 \right)}^{\prime }}=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+12x
4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+12x=0
4x\left( {{x}^{2}}-3x+3 \right)=0
4x=0\quad \vee \quad {{x}^{2}}-3x+3=0
x=0\quad \vee \quad \Delta ={{\left( -3 \right)}^{2}}-4\cdot 1\cdot 3=9-12=-3
x=0
Czyli mamy jeden punkt x=0„podejrzany” o bycie ekstremum. Dalej postępujemy sposobem „z drugiej pochodnej”, opisanym tutaj :
{f}''\left( x \right)={{\left( 4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+12x \right)}^{\prime }}=12{{x}^{2}}-24x+12
{f}''\left( 0 \right)=12\cdot {{0}^{2}}-24\cdot 0+12=12
…czyli funkcja osiąga w tym punkcie minimum. Liczymy jeszcze jego wartość:
{{f}_{MIN}}\left( x \right)={{0}^{4}}-4\cdot {{0}^{3}}+6\cdot {{0}^{2}}-4=-4
KONIEC
Apprentice
Witam. Mam dosyć poważne pytanie. Jak wyprowadzić z definicji pochodną funkcji x-> f(ax+b) wiedząc, że funkcja f jest różniczkowalna w całej dziedzinie, którą tworzą wszystkie liczby rzeczywiste x? Otóż jest to jedno z tych charakterystycznych zadań, ale towarzyszy mu kompletny brak pomysłu.
Z góry dziękuję.
Małgosia
Witam,
mam problem z policzeniem pochodnej po x, y i z z funkcji f(x,y,z)= x sin(xyz).
Czy mogłabym prosić o pomoc w rozwiązaniu?
Pozdrawiam
Krystian Karczyński
Jasne, jedziemy metodami omówionymi w moim Kursie Funkcje Wielu Zmiennych :
f\left( x,y,z \right)=xsin \left( xyz \right)
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left( xsin \left( xyz \right) \right)=\frac{\partial }{\partial x}\left( x \right)sin \left( xyz \right)+x\frac{\partial }{\partial x}\left( sin \left( xyz \right) \right)=sin \left( xyz \right)+xcos \left( xyz \right)\cdot yz=sin \left( xyz \right)+xyzcos \left( xyz \right)
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( xsin \left( xyz \right) \right)=x\frac{\partial }{\partial y}\left( sin \left( xyz \right) \right)=xcos \left( xyz \right)\cdot xz={{x}^{2}}zcos \left( xyz \right)
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{\partial }{\partial z}\left( xsin \left( xyz \right) \right)=x\frac{\partial }{\partial z}\left( sin \left( xyz \right) \right)=xcos \left( xyz \right)\cdot xy={{x}^{2}}ycos \left( xyz \right)
Małgosia
Dziękuję bardzo!
K.P.
Witam, miałem przyjemność uczyć się z Twojego kursu 🙂 Na ćwiczeniach z analizy miałem taki przykład do policzenia: (e^sinx)’ Po obliczeniu: (e^sinx)’ = sinx * e^(sinx – 1) * (sinx)’ = sinx * e^(sinx – 1) * cosx prowadzący stwierdził, że to jest źle. Dlaczego tu jest błąd? Z góry dzięki za odpowiedź.
Krystian Karczyński
Witam 🙂 Przykład jest źle policzony, bo skorzystał Pan z niewłaściwego wzoru w pierwszym kroku. Pan skorzystał ze wzoru na x^n(czyli na xdo liczby), a trzeba było skorzystać ze wzoru na e^x.
Powinno być więc tak:
{{\left( {{e}^{sin x}} \right)}^{\prime }}={{e}^{sin x}}\cdot {{\left( sin x \right)}^{\prime }}={{e}^{sin x}}cos x
K.P.
A no tak, dopiero teraz zauważyłem. Dziękuje za odpowiedź 🙂