blog

Jak zbadać monotoniczność funkcji? (VIDEO)

Krystian

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


Mój nowy filmik video jest odpowiedzią na pytanie p. Marcina w komentarzach.

Pokazuję na nim, jak zbadać monotoniczność funkcji f\left( x \right)={{\left( x-2 \right)}^{5}}{{\left( 2x+1 \right)}^{4}} i jak ważne – w tym konkretnym przykładzie – było umiejętne uporządkowanie wyniku. Przy okazji mała powtórka ze szkoły średniej i nierówności wielomianowych.

 

 

Przykład- jak powiedziałem w filmiku – dosyć nietypowy, ale się zdarza.

Tutaj jeszcze link do tej funkcji w WolframAlpha (omawiam go na końcu filmiku):

Przykład w WolframAlpha

 

Oraz do mojego darmowego Praktycznego Przewodnika do WolframAlpha, gdzie pokazuję, jak pomagać sobie nim do przykładów, które masz na studiach:

WolframAlpha Praktyczny Przewodnik

Jeśli masz jakieś pytania – zadaj je śmiało w komentarzach pod postem.

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Rewelacyjny sposób prowadzenia pozwala na skuteczne zrozumienie każdego omawianego zagadnienia, co ważne każdy kurs rozpoczyna się od podstaw więc mimo braku znajomości wstępnych zagadnień każdy jest w stanie skorzystać w 100%, jak dla mnie świetna sprawa i polecam serdecznie.

Mateusz Andrzejewski

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Konrad pisze:

    Witam,mam problem z rozwiązaniem zadania tego typu negative 1 half x to the power of 4 plus 5 over 3 x cubed plus 2 x squared minus 3 x plus 1 space o r a z space minus 1 fifth x to the power of 5 minus x cubed plus 4 x plus 5Po obliczeniu pochodnej, nie wiem co dalej zrobić.

  2. Madzia pisze:

    Witam! czy w przykładzie 7 (zadanie domowe) jest blad? delta wynosi u mnie zero a według odpowiedzi powinna wyjść na minusie ?

  3. Mariusz pisze:

    Jeśli pochodna rośnie to funkcja jest wypukła
    Jeśli pochodna maleje to funkcja jest wklęsła
    ale to już inna bajka

  4. Rafał pisze:

    Witam!!
    Mam problem z jedną sprawą, mam przykład xe^(1/x), w kursie jest że, gdy mianownik jest lub może być ujemny to nie mnożymy przez niego(kiedy przyrównuję pochodną do 0), na tym się zatrzymałem, a jak mimo to pomnożę to źle mi wychodzi

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam!

      Tak, dokładnie, to jest przykład, w którym można wpaść w pułapkę. Rozwiązuję krok po kroku:

      y=x{{e}^{\tfrac{1}{x}}}

      Dy:x\in R\backslash \{ 0 }

      {y}'={{\left( x{{e}^{\tfrac{1}{x}}} \right)}^{\prime }}={{\left( x \right)}^{\prime }}{{e}^{\tfrac{1}{x}}}+x{{\left( {{e}^{\tfrac{1}{x}}} \right)}^{\prime }}={{e}^{\tfrac{1}{x}}}+x{{e}^{\tfrac{1}{x}}}{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\prime }}={{e}^{\tfrac{1}{x}}}+x{{e}^{\tfrac{1}{x}}}\left( -\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)=

      ={{e}^{\tfrac{1}{x}}}-\frac{{{e}^{\tfrac{1}{x}}}}{x}={{e}^{\tfrac{1}{x}}}\left( 1-\frac{1}{x} \right)

      D{y}':x\in R\backslash \{ 0 }

      {{e}^{\tfrac{1}{x}}}\left( 1-\frac{1}{x} \right)=0\quad /:{{e}^{\tfrac{1}{x}}}– możemy podzielić przez {{e}^{\tfrac{1}{x}}}, bo {{e}^{\tfrac{1}{x}}}jest zawsze dodatnie

      1-\frac{1}{x}=0

      Tutaj jest ważny i krytyczny moment. NIE możemypomnożyć obustronnie przez x, ponieważ xprzyjmuje wartości albo dodatnie, albo ujemne. Czyli musimy zrobić tak:

      1-\frac{1}{x}=0\quad /\cdot {{x}^{2}}– możemy pomnożyć przez x^2, bo x^2jest zawsze dodatnie (w naszej dziedzinie funkcji).

      {{x}^{2}}-x=0

      x\left( x-1 \right)=0

      x=0\quad \vee \quad x=1

      Albo tak:

      1-\frac{1}{x}=0

      \frac{x}{x}-\frac{1}{x}=0

      \frac{x-1}{x}=0

      x\left( x-1 \right)=0

      x=0\quad \vee \quad x=1

      Teraz możemy narysować przybliżony wykres, według reguł podanych w Kursie:

      wykres

      No i napisać odpowiedź:

      Odp. Funkcja y=x{{e}^{\tfrac{1}{x}}}jest rosnąca dla x\in \left( -\infty ,0 \right)\cup \left( 1,\infty \right)malejąca dla x\in \left( 0,1 \right), osiąga minimum dla x=1.

      {{y}_{min }}\left( 1 \right)=1\cdot {{e}^{\tfrac{1}{1}}}=e

      Co potwierdza wykres funkcji y=x{{e}^{\tfrac{1}{x}}}:

      xedo1przezx

  5. Tomasz pisze:

    Wszystko się wyjaśniło. Tempo zmienności funkcji pokazane jest w tym temacie.

  6. Tomasz pisze:

    Witam, nurtuje mnie pewna kwestia.
    Jak odczytać, lub wyliczyć przedział w którym funkcja rośnie coraz szybciej, rośnie coraz wolniej, maleje coraz szybciej, maleje coraz wolniej?
    Pozdrawiam

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam, dobre pytanie.

      Trzeba policzyć jej pochodną. Im pochodna jest większa, tym funkcja rośnie “szybciej”

      Omówiłem to w tym wykładziku, zapraszam.

    2. Tomasz pisze:

      Dzięki za odpowiedź.

      Wiem, że:

      f ‘ (x) > 0
      f ” (x) > 0
      to funkcja rośnie coraz szybciej.

      f ‘ (x) > 0
      f ” (x) < 0
      to funkcja rośnie coraz wolniej.

      f ' (x) < 0
      f '' (x) < 0
      to funkcja maleje coraz szybciej.

      f ' (x) 0
      to funkcja maleje zoraz wolniej.

      Tyle z teorii, nie wiem jak wyznaczyć przedziały, w których dana funkcja właśnie rośnie coraz szybciej itd.
      Czy można liczyć na jakiś poradnik video związany z tempem zmian wartości funkcji?

    3. Tomasz pisze:

      W ostatnim wdarły się błędy, chodzi o.

      f ‘ (x) 0
      to funkcja maleje coraz szybciej.

    4. Tomasz pisze:

      Coś nie chce dobrze tego przedstawić, ale wie Pan o co chodzi. Da się te przedziały jakoś w miarę prosto odczytać lub obliczyć?

  7. Marcin pisze:

    Witam Panie Krystianie, czy byłby Pan w stanie zrobić video, gdzie od deski do deski wyjaśnione jest badanie przebiegu zmienności funkcji według punktów w schemacie, z tabelką, wykresem etc, na przykładzie takiej oto np nieskomplikowanej funkcji: y=(x^+1)/(x^2-4)
    Pozdrawiam, Marcin.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Na pewno, tylko takie badanie naprawdę długo trwa, myślę, że co najmniej 40 minut… Jakby co, to zapraszam do mojego Kursu, gdzie jest ono zawarte (oczywiście nie dokładnie na tym przykładzie):

      https://etrapez.pl/produkt/kurs-pochodne-i-badanie-przebiegu-zmiennosci-funkcji/

  8. Ania pisze:

    Uwielbiam pana kursy!
    Nie myślał pan o zrobieniu kursu z Badań operacyjnych?
    Pozdrawiam

  9. Piotr pisze:

    Kursy super , proponuje wydać książkę napisaną właśnie językiem potocznym 😀 , (oczywiście w granicach rozsądku) bo czasem naprawdę brakuje pod ręką dobrego poradnika matematycznego, żeby sobie szybko coś powtórzyć. (i nie siedzieć całego dnia przed komputerem)

    Pozdrawiam