DODAJ SOBIE SKRZYDEŁ NA SESJI - ZGARNIJ DWUPAKA RED BULLA!
Razem z każdym zakupem Kursów studenckich otrzymujesz kod na odbiór darmowych Red Bulli.

blog

Kalkulator do równań różniczkowych

Krystian Karczyński

Przedstawiam  kolejny z serii kalkulatorów, tym razem do równań różniczkowych (a propos nowo powstającego Kursu):

Jak używać kalkulatora?

Kalkulator jest gotowy do obliczeń, trzeba tylko wpisać do niego równanie (zgodnie z ogólną instrukcją wpisywania formuł matematycznych), kliknąc na 'Oblicz' i mamy rozwiązanie. Jako pochodną funkcji y mozna wpisywać zarówno: y', jak i: dy/dx .

Kalukatorek ma swoje ograniczenia, to znaczy na pewno nie rozwiąże każdego możliwego równania i bardzo uparcie (za bardzo) wyznacza rozwiązanie w postaci rozwikłanej (co to jest postać uwikłana i rozwikłana rozwiązania równania różniczkowego możesz dowiedzieć się z mojego Kursu Równań Różniczkowych, który powinien ukazać się już w przyszłym tygodniu).

Nie widać też toku rozwiązywania równania, ale i tak przyda się każdemu, kto chce sprawdzić wynik, albo po prostu szybko coś policzyć, co jest potrzebne do czegoś innego.

Z tymi wynikami też trzeba uważać, bo jak wiemy w równaniach różniczkowych na przykład: 1 minus C x1 plus C x to jedno i te same rozwiązanie równania różniczkowego (dlaczego? – zapraszam znowu do mojego Kursu). Bez paniki więc, jeśli to co mamy na kartce różni się z pozoru od tego, co nam wyszło w kalkulatorze. Ta sama uwaga zresztą tyczy się sprawdzania z odpowiedziami np. w książce.

Jeśli macie jakieś pytania odnośnie kalkulatora, nie wiecie, jak wpisać do niego jakieś równanie – wrzucajcie je śmiało w komentarzach 🙂

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Szczerze powiedziawszy nie żałuję dokonanego wyboru. Przy pomocy tych kursów nie ma zagadnień, których nie dałoby się zrozumieć, ponieważ wszystko jest świetnie tłumaczone, a potem materiał można przećwiczyć na zadaniach i kończąc dany kurs ma się pewność, że ma się wszystko opanowane na 100%. Reasumując jak najbardziej polecam kursy Etrapeza

Pozostaw odpowiedź Paulina Anuluj pisanie odpowiedzi

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Karolina pisze:

    y”=+4y=4(cos2x+sin2x)
    y(pi)=y' (pi)=2pi

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam, rozumiem, że mam rozwiązać Pani równanie? 🙂

      Bo WolframAlpha rozwiązuje je tak:

      y”+4y=4(cos2x+sin2x), y(pi)=2pi, y’(pi)=2pi

       

      No, a my poradzilibyśmy sobie tak (lecę metodą przewidywań pokazaną w moim Kursie Video):

      Na początku rozwiązujemy równanie jednorodne:

      {y}''+4y=0

      Równanie charakterystyczne ma więc postać:

      {{r}^{2}}+4=0

      \Delta jest tu ujemna, ale jest ono bardzo proste i możemy sobie poradzić bez delty:

      {{r}^{2}}=-4

      r=\sqrt{-4}

      A wiemy, że te pierwiastki istnieją i są zespolone:

      r=2i \vee r=-2i, bo  \sqrt{-4}=\sqrt{\left( -1 \right)\cdot 4}=\sqrt{{{i}^{2}}}\cdot \sqrt{4}=\pm 2i

      Czyli korzystając z ogólnego wzoru na rozwiązanie równania jednorodnego (zawarty w Kursie) mam:

      {{y}_{j}}={{e}^{0\cdot x}}\left( Acos 2x+Bsin 2x \right)

      czyli mam rozwiązanie równania jednorodnego y_j:

      {{y}_{j}}=Acos 2x+Bsin 2x

      Teraz jedno rozwiązanie szczególne. Zgodnie ze schematem, biorę postać:

      {{y}_{p}}=Acos 2x+Bsin 2x

      Teraz ważny moment. Zauważam, że to rozwiązanie zawiera się już w rozwiązaniu równania jednorodnego  y_j, zatem muszę zwiększyć stopień wielomianów o 1, „przewiduję” więc rozwiązanie w postaci:

      {{y}_{p}}=\left( Ax+B \right)cos 2x+\left( Cx+D \right)sin 2x

      Teraz liczę pochodną i drugą pochodną, porządkując je i pomagając sobie Wolframem:

      {{y}_{p}}^{\prime }=\left( 2Cx+A+2D \right)cos 2x+\left( -2Ax-2B+C \right)sin 2x(obliczenia)

      {{y}_{p}}{{^{\prime }}^{\prime }}=-4\left( Ax+B-C \right)cos 2x-4\left( Cx+A+D \right)sin 2x(obliczenia)

      Wstawiam drugą pochodną i funkcję do wyjściowego równania i mam:

      -4\left( Ax+B-C \right)cos 2x-4\left( Cx+A+D \right)sin 2x+4\left( \left( Ax+B \right)cos 2x+\left( Cx+D \right)sin 2x \right)=4\left( cos 2x+sin 2x \right)

      Po ponownym uporządkowaniu Wolframem mam więc:

      4Ccos 2x-4Asin 2x=4cos 2x+4sin 2x

      Ponieważ stałe Bi Dzredukowały się, mogę przyjąć za nie 0.

      Przyrównując więc współczynniki przy cos2x sin2xmam:

      \{ \begin{matrix}
      & 4C=4 \\
      & -4A=4 \\
      \end{matrix} \Rightarrow \{ \begin{matrix}
      & C=1 \\
      & A=-1 \\
      \end{matrix}

      Podstawiając więc wszystko do ogólnego wzoru  {{y}_{p}}=\left( Ax+B \right)cos 2x+\left( Cx+D \right)sin 2xmam policzone y_p:

      {{y}_{p}}=-xcos 2x+xsin 2x

      Mając y_j y_pmogę już wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania ze wzoru y=y_j+y_p:

      y=Acos 2x+Bsin 2x-xcos 2x+xsin 2x

      Teraz przechodzę do rozwiązania szczególnego, uwzględniając warunki początkowe y(pi)=2pi, y'(pi)=2pi.

      Najpierw liczę pochodną z rozwiązania ogólnego:

      {y}'=\left( 2x-2A+1 \right)sin 2x+\left( 2x+2B-1 \right)cos 2x(obliczenia)

      Teraz do rozwiązania ogólnego i do jego pochodnej wstawiam wartości z warunków początkowych otrzymując układ równań:

      \{ \begin{matrix}
      & 2\pi =Acos 2\pi +Bsin 2\pi -\pi cos 2\pi +\pi sin 2\pi \\
      & 2\pi =\left( 2\pi -2A+1 \right)sin 2\pi +\left( 2\pi +2B-1 \right)cos 2\pi \\
      \end{matrix}

      cos 2\pi =1 sin 2\pi =0, zatem:

      \{ \begin{matrix}
      & 2\pi =A-\pi \\
      & 2\pi =2\pi +2B-1 \\
      \end{matrix}

      \{ \begin{matrix}
      & A=3\pi \\
      & B=\frac{1}{2} \\
      \end{matrix}

      Podstawiając tak obliczone stałe do rozwiązania ogólnego mam rozwiązanie szczególne przy danych warunkach początkowych:

      {{y}_{SZ}}=3\pi cos 2x+\frac{1}{2}sin 2x-xcos 2x+xsin 2x

      KONIEC

      Polecam też moje:

      Kurs Video Równań Różniczkowych

       

    2. Marcin pisze:

      Witam czy pomoze ktos rozwiazac rownanie
      1/5*y’+y=-3*x^2*e^(3x-1)+2/5*cos2x

    3. Maciej pisze:

      Witam. Mógłbym prosić o pomoc z równaniem:

      (x*siny +y+2x)dx + ((x^2)*cosy + x*ln(x))dy = 0

      Nasz docent ma fantazję 😛

  2. Mariusz pisze:

    Czy mógłby Pan rozwiązać poniższe równanie?

    xy’=x+3y, y(1)=2

    Pozdrawiam serdecznie!

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Dobra, krok po kroku:

      x{y}'=x+3y,\quad y\left( 1 \right)=2

      x{y}'-3y=x

      Czyli to jest zwykłe, liniowe równanie I rzędu. Ruszam ze schematem z mojego Kursu Równań Różniczkowych.

      x{y}'-3y=0

      x{y}'=3y

      x\frac{dy}{dx}=3y\quad /:x\ \cdot dx\ :y

      \frac{dy}{y}=\frac{3}{x}dx\quad /\int{{}}

      \int{\frac{dy}{y}}=\int{\frac{3}{x}dx}\quad /\int{{}}

      \ln \left| y \right|=3\ln \left| x \right|+C

      \ln \left| y \right|=\ln {{\left| x \right|}^{3}}+C\quad /{{e}^{\left( \ldots \right)}}

      {{e}^{\ln \left| y \right|}}={{e}^{\ln {{\left| x \right|}^{3}}+C}}

      \left| y \right|={{e}^{\ln {{\left| x \right|}^{3}}}}{{e}^{C}}

      y=C{{x}^{3}}

      „Uzmienniam” stałą:

      y=C\left( x \right){{x}^{3}}

      {y}'={C}'\left( x \right){{x}^{3}}+C\left( x \right)\cdot 3{{x}^{2}}

      x\left( {C}'\left( x \right){{x}^{3}}+C\left( x \right)\cdot 3{{x}^{2}} \right)-3C\left( x \right){{x}^{3}}=x

      {C}'\left( x \right){{x}^{4}}+3C\left( x \right){{x}^{3}}-3C\left( x \right){{x}^{3}}=x

      {C}'\left( x \right){{x}^{4}}=x\quad /:{{x}^{4}}

      {C}'\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{3}}}\quad /\int{{}}

      C\left( x \right)=\int{\frac{1}{{{x}^{3}}}dx}=\int{{{x}^{-3}}dx}=\frac{1}{-3+1}{{x}^{-3+1}}+C=

      =-\frac{1}{2}{{x}^{-2}}+C=-\frac{1}{2}\frac{1}{{{x}^{2}}}+C=-\frac{1}{2{{x}^{2}}}+C

      Czym mam rozwiązanie równania ogólnego:

      y=\left( -\frac{1}{2{{x}^{2}}}+C \right){{x}^{3}}=-\frac{x}{2}+C{{x}^{3}}

      Teraz uwzględniam warunek początkowy y\left( 1 \right)=2:

      2=-\frac{1}{2}+C\cdot {{1}^{3}}

      C=2\tfrac{1}{2}

      I mogę pisać odpowiedź:

      y=-\frac{x}{2}+2\tfrac{1}{2}{{x}^{3}}

    2. Michał pisze:

      Czy mógłbym prosić o pomoc w rozwiązaniu tego równania: dy/dx-xy^3=-xy ? Dochodzę do momentu gdzie mam już dwie całki i mam problem przy policzeniu całki z dy/y(y^2-1). Można rozłożyć sobie to na trzy ułamki proste, ale nie potrafię potem rozwikłać y.

    3. Ryhor Abramovich pisze:

      fraction numerator d y over denominator d x end fraction minus x times y cubed equals negative x times y

      Rozwiązanie:

      Zapiszem to równanie w postaci:

      y apostrophe plus x y equals x y cubed

      To jest równanie Bernoulli' ego typu

      y apostrophe plus p open parentheses x close parentheses times y equals q open parentheses x close parentheses times y to the power of \alpha,

      gdzie \alpha equals 3

      Najpierw – podstawa

      z equals y to the power of 1 minus \alpha end exponent equals y to the power of 1 minus 3 end exponent equals y to the power of negative 2 end exponent equals 1 over y \squared

      I liczymy:

      z apostrophe equals open parentheses y to the power of negative 2 end exponent close parentheses apostrophe equals negative 2 y to the power of negative 3 end exponent times y apostrophe equals negative fraction numerator 2 y apostrophe over denominator y cubed end fraction

      Dalej,

      y apostrophe plus x y equals x y to the power of 3 space end exponent divided by times open parentheses negative 2 over y cubed close parentheses

      y apostrophe times open parentheses negative 2 over y cubed close parentheses plus x y times open parentheses negative 2 over y cubed close parentheses equals x y cubed times open parentheses negative 2 over y cubed close parentheses

      negative fraction numerator 2 y apostrophe over denominator y cubed end fraction minus 2 x times 1 over y squared equals negative 2 x

      z apostrophe minus 2 x z equals negative 2 x

      To jest równanie liniowe I rzędu. Rozwiązujemy go wg schematu z lekcji 3.

      z apostrophe minus 2 x z equals 0

      fraction numerator d z over denominator d x end fraction equals 2 x z space divided by times fraction numerator d x over denominator z end fraction

      fraction numerator d z over denominator z end fraction equals 2 x d x space divided by \integral

      integral fraction numerator d z over denominator z end fraction equals \integral 2 x d x

      ln open vertical bar z close vertical bar equals x squared plus C space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent

      e to the power of ln open vertical bar z close vertical bar end exponent equals e to the power of x squared plus C end exponent

      open vertical bar z close vertical bar equals e to the power of C times e to the power of x squared end exponent

      z equals C times e to the power of x squared end exponent

      Mamy więc postać rozwiązania równania jednorodnego. „Uzmienniam” stałą:

      z equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent

      z apostrophe equals open parentheses C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent close parentheses apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x

      Wstawiamy wyniki do początkowego równania:

      z apostrophe minus 2 x z equals negative 2 x

      C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x minus 2 x times C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x

      C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x space divided by divided by e to the power of x squared end exponent

      C apostrophe open parentheses x close parentheses equals negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent space divided by \integral

      integral C apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals \integral negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent d x

      C open parentheses x close parentheses equals open vertical bar table row cell negative x squared equals t end cell row cell negative 2 x d x equals d t end cell end table close vertical bar equals \integral e to the power of t d t equals e to the power of t plus C equals e to the power of negative x squared end exponent plus C

      Tak wyliczoną stałą wstawiam do równania z „uzmiennioną” stałą:

      z open parentheses x close parentheses equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals open parentheses e to the power of negative x squared end exponent plus C close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals 1 plus C e to the power of x squared end exponent

      Ponieważ z equals 1 over y \squared, to

      y open parentheses x close parentheses equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of z open parentheses x close parentheses end root end fraction equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of 1 plus C e to the power of x squared end exponent end root end fraction

       

       

  3. Agatha pisze:

    Witam czy mógłby Pan rozwiązać równanie
    [latex] x \frac{dy}{dx} + y \frac{dy}{dy} + z^2 y \frac{dy}{dz} = 0 [/latex]
    Kurs równań różniczkowych nie bardzo i tu pomógł.

    1. Amelia pisze:

      Jak jest Pan takim kozakiem to dlaczego po przerobieniu całego kursu z równań różniczkowych nikt z mojego roku nie zdał kolokwium. O chyba robi Pan trywialne przykłady, które mój wykładowca pomija bo są zbyt oczywiste.
      Chcecie fun?! Rozwiążcie to:

      [latex] \frac{x^2}{y^2 + yx} \frac{du}{dx} + {du}{dy} + (1+z^2) \frac{du}{dz} = 0 [/latex]

    2. Krystian Karczyński pisze:

      To jest przykład z równań różniczkowych cząstkowych, mój Kurs jest do równań różniczkowych zwyczajnych. Sorry, że nie zdaliście kolokwium.

    3. Amelia pisze:

      Więc może już nadszedł czas, aby stworzyć kolejny kurs.

  4. Adam Kołodziejski pisze:

    Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu tego równania
    ((3/2)*(y^2)*cos(x)+2)*dx= -(3y*sin(x)+1)*dy

  5. KM pisze:

    Dlaczego wynik w kalkulatorze y”-2y' = x nie zgadza sie z wynikiem z kursu

    1. Krystian Karczyński pisze:

      A gdzie w Kursie jest taki przykład?

    2. Ryhor Abramovich pisze:

      y apostrophe apostrophe minus 2 y apostrophe equals x

      Rozwiązanie:

      To jest równanie różniczkowe II rzędu, nie zawierające niewiadomej funkcji (y). Dlatego możemy obniżyć rząd tego równania za pomocy podstawy.

      Niech y apostrophe equals p open parentheses x close parentheses. Wtedy y apostrophe apostrophe equals p apostrophe open parentheses x close parentheses, i równanie zapiszemy w postaci:

      p apostrophe minus 2 p equals x

      To jest równanie I rzędu (liniowe). Rozwiązujemy go na 2 sposoby.

      Sposob 1 (wg schematu z lekcji 3):

      p apostrophe minus 2 p equals 0

      fraction numerator d p over denominator d x end fraction equals 2 p space divided by times d x space divided by p

      fraction numerator d p over denominator p end fraction equals 2 d x space divided by \integral

      integral fraction numerator d p over denominator p end fraction equals \integral 2 d x

      ln open vertical bar p close vertical bar equals 2 x plus C space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent

      e to the power of ln open vertical bar p close vertical bar end exponent equals e to the power of 2 x plus C end exponent

      open vertical bar p close vertical bar equals e to the power of C times e to the power of 2 x end exponent

      p equals C times e to the power of 2 x end exponent

      Mamy więc postać rozwiązania równania jednorodnego. „Uzmienniamy” stałą:

      p equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of 2 x end exponent

      p apostrophe equals open parentheses C open parentheses x close parentheses times e to the power of 2 x end exponent close parentheses apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of 2 x end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of 2 x end exponent times 2

      Podstawiamy wyniki do równania p apostrophe minus 2 p equals x:

      C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of 2 x end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of 2 x end exponent times 2 minus 2 times C open parentheses x close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals x

      C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals x space divided by divided by e to the power of 2 x end exponent

      C apostrophe open parentheses x close parentheses equals x times e to the power of negative 2 x end exponent space divided by \integral

      integral C apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals \integral x times e to the power of negative 2 x end exponent d x space

      Całkę liczymy przez części: integral u times v apostrophe equals u times v minus \integral v times u apostrophe

      C open parentheses x close parentheses equals open vertical bar table row cell u equals x end cell cell v apostrophe equals e to the power of negative 2 x end exponent d x end cell row cell u apostrophe equals d x end cell cell v equals negative 1 half e to the power of negative 2 x end exponent end cell end table close vertical bar equals x times open parentheses negative 1 half e to the power of negative 2 x end exponent close parentheses minus \integral open parentheses negative 1 half e to the power of negative 2 x end exponent close parentheses times d x equals

      equals negative x over 2 e to the power of negative 2 x end exponent plus 1 half \integral e to the power of negative 2 x end exponent d x equals negative x over 2 e to the power of negative 2 x end exponent plus 1 half times open parentheses negative 1 half e to the power of negative 2 x end exponent close parentheses plus C equals

      negative x over 2 e to the power of negative 2 x end exponent minus 1 fourth e to the power of negative 2 x end exponent plus C equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C

      Tak wyliczoną stałą wstawiam do równania z „uzmiennioną” stałą:

      p open parentheses x close parentheses equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C times e to the power of 2 x end exponent

      Dalej, p open parentheses x close parentheses equals y apostrophe open parentheses x close parentheses, czyli

      y apostrophe open parentheses x close parentheses equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent space divided by \integral

      y open parentheses x close parentheses equals \integral y apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals \integral open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent close parentheses d x equals

      equals negative fraction numerator x squared plus x over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 over 2 e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 2

      Sposób 2.

      p apostrophe minus 2 p equals x

      Podstawa: p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses, czyli p equals u v. Wtedy

      p apostrophe equals u apostrophe v plus u v apostrophe, i zapiszemy, podstawiając wyniki do pierwotnego równania:

      u apostrophe v plus u v apostrophe minus 2 u v equals x

      u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x

      Wyznaczymy funkcję v equals v open parentheses x close parentheses w taki sposób, żeby wyraz w nawiasie był równym zera:

      v apostrophe minus 2 v equals 0

      fraction numerator d v over denominator d x end fraction equals 2 v

      fraction numerator d v over denominator v end fraction equals 2 d x

      integral fraction numerator d v over denominator v end fraction equals \integral 2 d x

      ln open vertical bar v close vertical bar equals 2 x

      Uwaga! Do prawej czężci tego równania stałą C nie dodajemy. Dalej:

      e to the power of ln open vertical bar v close vertical bar end exponent equals e to the power of 2 x end exponent

      open vertical bar v close vertical bar equals e to the power of 2 x end exponent

      v equals e to the power of 2 x end exponent

      Podstawiamy do równania, w ktorym były nawiasy:

      u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x

      u apostrophe times e to the power of 2 x end exponent plus u times 0 equals x

      u apostrophe e to the power of 2 x end exponent equals x

      u apostrophe equals x e to the power of negative 2 x end exponent

      Skorzystamy z wyników, otrzymanych podczas obliczeń w sposób 1:

      u open parentheses x close parentheses equals \integral u apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals \integral x e to the power of negative 2 x end exponent d x equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C

      Stąd

      p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses equals open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent

      i, odpowiednio,

      y open parentheses x close parentheses equals \integral y apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals \integral p open parentheses x close parentheses d x equals \integral open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent close parentheses d x equals

      negative fraction numerator x squared plus x over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 over 2 e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 2

       

       

       

       

  6. RN pisze:

    Witam mam problem z równaniem y’=y(2(x^3)-1) y=(2)=1
    a mianowicie przy liczeniu rozwiązania szczególnego.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Zakładam, że warunek początkowy był taki: y(2)=1

      Jedziemy 🙂

      {y}'=y\left( 2{{x}^{3}}-1 \right)

      \frac{dy}{dx}=y\left( 2{{x}^{3}}-1 \right)\quad /:y/\cdot dx

      \frac{dy}{y}=\left( 2{{x}^{3}}-1 \right)dx\quad /\int{{}}

      \int{\frac{dy}{y}}=\int{\left( 2{{x}^{3}}-1 \right)dx}

      \int{\left( 2{{x}^{3}}-1 \right)dx}=\int{2{{x}^{3}}dx}-\int{dx}=2\int{{{x}^{3}}dx}-x+C=2\cdot \frac{1}{4}{{x}^{4}}-x+C=\frac{1}{2}{{x}^{4}}-x+C

      \ln \left| y \right|=\frac{1}{2}{{x}^{4}}-x+C\quad /{{e}^{\left( \ldots \right)}}

      {{e}^{\ln \left| y \right|}}={{e}^{\frac{1}{2}{{x}^{4}}-x+C}}

      y={{e}^{\frac{1}{2}{{x}^{4}}-x}}\cdot {{e}^{C}}

      y=C{{e}^{\frac{1}{2}{{x}^{4}}-x}}

      Teraz uwzględniamy warunek początkowy:

      1=C{{e}^{\frac{1}{2}\cdot {{2}^{4}}-2}}

      1=C{{e}^{6}}\quad /:{{e}^{6}}

      C=\frac{1}{{{e}^{6}}}

      Zatem nasza odpowiedź to:

      {{y}_{sz}}=\frac{1}{{{e}^{6}}}\cdot {{e}^{\frac{1}{2}{{x}^{4}}-x}}=\frac{{{e}^{\frac{1}{2}{{x}^{4}}-x}}}{{{e}^{6}}}={{e}^{\frac{1}{2}{{x}^{4}}-x-6}}

  7. Monika pisze:

    Witam, mam problem z różniczka: dy/dx+y/x=2 proszę o pomoc

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Po pierwsze: to jest „równanie różniczkowe”, a nie: „różniczka” 🙂

      A po drugie…

      \frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=2

      Równanie jest także liniowe, ale rozwiążę je jako jednorodne względem y i x:

      Podstawiam:

      t=\frac{y}{x}

      y=tx

      {y}'={{\left( tx \right)}^{\prime }}={t}'x+t{x}'={t}'x+t

      Wracam się do równania z tymi podstawieniami:

      {t}'x+t+t=2

      \frac{dt}{dx}x+2t=2

      \frac{dt}{dx}x=2-2t\quad /:x/\cdot dx/\left( 2-2t \right)

      \frac{dt}{2-2t}=\frac{dx}{x}\quad /\int{{}}

      \int{\frac{dt}{2-2t}}=\int{\frac{dx}{x}}

      Całkę po lewej stronie liczę na boku:

      \int{\frac{dt}{2-2t}}=\left| \begin{matrix}
      & u=2-2t \\
      & du=-2dt \\
      & dt=\frac{du}{-2} \\
      \end{matrix} \right|=-\frac{1}{2}\ln \left| u \right|+C=-\frac{1}{2}\ln \left| 2-2t \right|+C

      -\frac{1}{2}\ln \left| 2-2t \right|=\ln \left| x \right|+C\quad /\cdot \left( -2 \right)

      \ln \left| 2-2t \right|=-2\ln \left| x \right|+C\quad /{{e}^{\left( \ldots \right)}}

      {{e}^{\ln \left| 2-2t \right|}}={{e}^{-2\ln \left| x \right|+C}}

      {{e}^{\ln \left| 2-2t \right|}}={{e}^{\ln {{\left| x \right|}^{-2}}}}\cdot {{e}^{C}}

      2-2t=C\cdot \frac{1}{{{x}^{2}}}

      -2\cdot \frac{y}{x}=C\cdot \frac{1}{{{x}^{2}}}-2\quad /\cdot x/:\left( -2 \right)

      y=\frac{C}{x}+x

  8. Aleksandra pisze:

    A to jak by Pan rozwiązał :y'-2/x*y=4x^3 ? Mam potem problem ze ”skreśleniem”.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Nie wiem, czy dobrze odczytałem, lecę metodami z mojego Kursu Video do równań różniczkowych:

      {y}'-\frac{2}{x}y=4{{x}^{3}}

      {y}'-\frac{2}{x}y=0

      \frac{dy}{dx}=\frac{2y}{x}

      \frac{dy}{y}=\frac{2dx}{x}\quad /\int{\left( \ldots \right)}

      \int{\frac{dy}{y}}=\int{\frac{2dx}{x}}

      \ln \left| y \right|=2\ln \left| x \right|+C

      \ln \left| y \right|=\ln {{\left| x \right|}^{2}}+C\quad /{{e}^{\left( \ldots \right)}}

      {{e}^{\ln \left| y \right|}}={{e}^{\ln {{\left| x \right|}^{2}}+C}}

      {{e}^{\ln \left| y \right|}}={{e}^{\ln {{\left| x \right|}^{2}}}}{{e}^{C}}

      y=C{{x}^{2}}

      y=C\left( x \right){{x}^{2}}

      {y}'={C}'\left( x \right){{x}^{2}}+C\left( x \right)\cdot 2x

      Podstawiając do wyjściowego równania:

      {C}'\left( x \right){{x}^{2}}+C\left( x \right)\cdot 2x-\frac{2}{x}C\left( x \right){{x}^{2}}=4{{x}^{3}}

      {C}'\left( x \right){{x}^{2}}+2xC\left( x \right)-2xC\left( x \right)=4{{x}^{3}}

      {C}'\left( x \right){{x}^{2}}=4{{x}^{3}}\quad /:{{x}^{2}}

      {C}'\left( x \right)=4x\quad /\int{\left( \ldots \right)}

      C\left( x \right)=\int{4x}dx=2{{x}^{2}}+C

      I mam rozwiązanie:

      y=\left( 2{{x}^{2}}+C \right){{x}^{2}}=2{{x}^{4}}+C{{x}^{2}}

  9. Paweł pisze:

    Witam, dziękuję za kalkulator, super sprawa 🙂 Aczkolwiek chyba to dla mnie niewystarczające, bo nie potrafię dojść do tego czemu nie wychodzi mi takie rozwiązanie jak powinno. Jakbym mógł prosić o pomoc w rozwiązaniu równania różniczkowego to byłbym bardzo wdzięczny 🙂 Równanie: x * y' = y * ln (x/y)

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam. To równanie jednorodne względem y i x, polecam odpowiednią Lekcję z mojego Kursu Równań Różniczkowych, na której omawiam wszystkie potrzebne patenty i przejścia.

      x{y}'=yln \left( \frac{x}{y} \right)

      x{y}'=yln \left( \frac{x}{y} \right)\quad /:x

      {y}'=\frac{y}{x}ln \left( \frac{1}{\tfrac{y}{x}} \right)\quad /:x

      Teraz odpowiednie podstawienie:

      t=\frac{y}{x}

      y=tx

      {y}'={{\left( tx \right)}^{\prime }}={t}'x+t

      {t}'x+t=tln \left( \frac{1}{t} \right)

      \frac{dt}{dx}x=tln \left( \frac{1}{t} \right)-t\quad /\cdot dx/:x

      dt=t\left( ln \left( \frac{1}{t} \right)-1 \right)\frac{dx}{x}\quad /:t\left( ln \left( \frac{1}{t} \right)-1 \right)

      \frac{dt}{t\left( ln \left( \tfrac{1}{t} \right)-1 \right)}=\frac{dx}{x}\quad /\int{{}}

      \int{\frac{dt}{t\left( ln \left( \tfrac{1}{t} \right)-1 \right)}}=\int{\frac{dx}{x}}

      Na boku liczę całkę \int{\frac{dt}{t\left( ln \left( \tfrac{1}{t} \right)-1 \right)}}

      \int{\frac{dt}{t\left( ln \left( \tfrac{1}{t} \right)-1 \right)}}=\int{\frac{dt}{t\left( ln \left( {{t}^{-1}} \right)-1 \right)}}=\int{\frac{dt}{t\left( -ln t-1 \right)}}=\left| \begin{matrix}
      & u=-ln t-1 \\
      & du=-\frac{1}{t}dt \\
      & -du=\frac{dt}{t} \\
      \end{matrix} \right|=\int{\frac{-du}{u}}=-ln \left| u \right|+C=

      =-ln \left| -ln t-1 \right|+C

      Wracam się z wynikiem do równania różniczkowego:

      -ln \left| -ln t-1 \right|=ln \left| x \right|+C

      ln \left| -ln t-1 \right|=-ln \left| x \right|+C

      ln \left| -ln t-1 \right|=ln {{\left| x \right|}^{-1}}+C\quad /{{e}^{\left( \ldots \right)}}

      {{e}^{ln \left| -ln t-1 \right|}}={{e}^{ln {{\left| x \right|}^{-1}}}}{{e}^{C}}

      -ln t-1=\frac{C}{x}

      -ln t=\frac{C}{x}+1

      ln t=\frac{C}{x}-1\quad /{{e}^{\left( \ldots \right)}}

      t={{e}^{\tfrac{C}{x}-1}}

      \frac{y}{x}={{e}^{\tfrac{C}{x}-1}}\quad /\cdot x

      y=x{{e}^{\tfrac{C}{x}-1}}– i to jest wynik 🙂

    2. Paweł pisze:

      Bardzo dziękuję, jestem niezmiernie wdzięczny 🙂 A z Pana lekcji na pewno skorzystam 🙂

  10. Joanna pisze:

    Witam mam problem z równaniem różniczkowym dy/dx- (2yx)/(x^2 + 4)= 1/(x+2) bardzo proszę o pomoc byłabym bardzo wdzięczna 🙂

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam, to zwykłe liniowe, z tym, że trochę się przedłuży, bo wyjdzie po drodze całka wymierna. Lecę metodami z mojego Kursu Równań Różniczkowych:

      \frac{dy}{dx}-\frac{2x}{{{x}^{2}}+4}y=\frac{1}{x+2}

      \frac{dy}{dx}-\frac{2x}{{{x}^{2}}+4}y=0

      \frac{dy}{dx}=\frac{2x}{{{x}^{2}}+4}y\quad /:y/\cdot dx

      \frac{dy}{y}=\frac{2x}{{{x}^{2}}+4}dx\quad /\int{{}}

      \int{\frac{dy}{y}}=\int{\frac{2x}{{{x}^{2}}+4}dx}

      ln \left| y \right|=ln \left| {{x}^{2}}+4 \right|+C\quad /{{e}^{\left( \ldots \right)}}

      {{e}^{ln \left| y \right|}}={{e}^{ln \left| {{x}^{2}}+4 \right|+C}}

      \left| y \right|={{e}^{ln \left| {{x}^{2}}+4 \right|}}{{e}^{C}}

      y=C\left( {{x}^{2}}+4 \right)

      y=C\left( x \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)

      {y}'={C}'\left( x \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)+C\left( x \right)2x

      {C}'\left( x \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)+C\left( x \right)2x-\frac{2x}{{{x}^{2}}+4}C\left( x \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)=\frac{1}{x+2}

      {C}'\left( x \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)=\frac{1}{x+2}\quad /:\left( {{x}^{2}}+4 \right)

      {C}'\left( x \right)=\frac{1}{\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)}\quad /\int{{}}

      C\left( x \right)=\int{\frac{1}{\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)}dx}

      No i to jest właśnie ta wymierna do rozwalenia. Prosta, ale żmudna. Pokazuję cały schemat na tej Lekcji, a tutaj tylko stosuję:

      \int{\frac{1}{\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)}dx}

      \frac{1}{\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)}=\frac{A}{x+2}+\frac{Bx+C}{{{x}^{2}}+4}\quad /\cdot \left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)

      1=A\left( {{x}^{2}}+4 \right)+\left( Bx+C \right)\left( x+2 \right)

      1=A{{x}^{2}}+4A+B{{x}^{2}}+2Bx+Cx+2C

      \{ \begin{matrix}
      & 0=A+B\quad \Rightarrow A=-B \\
      & 0=2B+C \\
      & 1=4A+2C \\
      \end{matrix}

      \{ \begin{matrix}
      & 0=2B+C\quad \Rightarrow C=-2B \\
      & 1=-4B+2C \\
      \end{matrix}

      1=-4B-4B

      B=-\frac{1}{8}

      C=\frac{1}{4},A=\frac{1}{8}

      Wracam się do całki:

      \int{\frac{1}{\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)}dx}=\int{\frac{\tfrac{1}{8}}{x+2}dx}+\int{\frac{-\tfrac{1}{8}x+\tfrac{1}{4}}{{{x}^{2}}+4}dx}=

      =\frac{1}{8}\int{\frac{1}{x+2}dx}-\frac{1}{8}\int{\frac{x}{{{x}^{2}}+4}dx+\frac{1}{4}\int{\frac{1}{{{x}^{2}}+4}dx}}=

      Tu trochę przyspieszę, bo wszystkie trzy całki są proste:

      =\frac{1}{8}ln \left| x+2 \right|-\frac{1}{16}ln \left| {{x}^{2}}+4 \right|+\frac{1}{8}arctg\frac{x}{2}+C

      Mając rozwiązaną całkę, wracam się do równania:

      C\left( x \right)=\frac{1}{8}ln \left| x+2 \right|-\frac{1}{16}ln \left| {{x}^{2}}+4 \right|+\frac{1}{8}arctg\frac{x}{2}+C

      Czyli jeszcze jeden „powrót” i mam rozwiązanie:

      y=\left( \frac{1}{8}ln \left| x+2 \right|-\frac{1}{16}ln \left| {{x}^{2}}+4 \right|+\frac{1}{8}arctg\frac{x}{2}+C \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)

    2. Joanna pisze:

      Dziękuje za pomoc 🙂

  11. studentka pisze:

    Bardzo proszę o rozwiązanie tego równania różniczkowego próbowałam wiele razy i wychodzą mi jakieś głupoty. Bardzo proszę o pomoc : 2y’lnt+y/t=(1/y)(cost)^2

    1. Kamil Kocot pisze:

      Równanie

      2 y apostrophe ln t plus y over t equals 1 over y cos squared t

      jest równaniem różniczkowym Bernoulliego tzn. równaniem typu 

      p \left parenthesis x right parenthesis times y apostrophe plus q \left parenthesis x right parenthesis times y equals r \left parenthesis x right parenthesis times y to the power of n.

      Rozwiążemy je zgodnie ze schematem podanym w kursie Pana Krystiana

      https://akademia.etrapez.pl/wybor-kursu/rownania-rozniczkowe/lekcja-4-niektore-rownania-nieliniowe-rzedu-pierwszego-rownanie-rozniczkowe-rodziny-linii/

      Z postaci równania wynika, że n equals negative 1. Robimy podstawienie z equals y to the power of 1 minus n end exponent czyli z equals y \squared. Następnie obliczamy pochodną pamiętając o tym, że y jest funkcją zmiennej t, zatem pochodną y \squared wyliczamy jako pochodną złożoną tzn.

      z equals y \squared
z apostrophe equals 2 y y apostrophe

      Wracamy do równania, troszeczkę przekształcamy i podstawiamy to co powyżej

      2 y apostrophe ln t plus y over t equals 1 over y cos squared t space divided by asterisk times y
2 y y apostrophe ln t plus y squared over t equals cos squared t
z apostrophe ln t plus z over t equals cos squared t

      Powyższe równanie jest równaniem liniowym, rozwiązujemy je metodą uzmienniania stałej

      1) Równanie jednorodne

      z apostrophe ln t plus z over t equals 0
fraction numerator d z over denominator d t end fraction ln t equals negative z over t
d z space ln t equals negative z over t d t
minus fraction numerator d z over denominator z end fraction equals fraction numerator 1 over denominator t times ln t end fraction d t
minus ln vertical line z vertical line equals ln vertical line ln t vertical line plus C space
ln vertical line z to the power of negative 1 end exponent vertical line equals ln vertical line ln t vertical line plus C space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent
e to the power of ln vertical line z to the power of negative 1 end exponent vertical line end exponent equals e to the power of ln vertical line ln t vertical line plus C end exponent equals e to the power of negative ln vertical line ln t vertical line end exponent times e to the power of C
z to the power of negative 1 end exponent equals C times ln t \left right double arrow 1 over z equals C times ln t rightwards double arrow z equals fraction numerator 1 over denominator C times ln t end fraction equals 1 over C times fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction equals C times fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction

      2) Uzmiennianie stałej

      z equals C \left parenthesis t right parenthesis space fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction
z apostrophe equals C apostrophe \left parenthesis t right parenthesis fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction plus C \left parenthesis t right parenthesis times fraction numerator negative 1 times begin display style 1 over t end style over denominator ln squared t end fraction equals C apostrophe \left parenthesis t right parenthesis fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction minus C \left parenthesis t right parenthesis times fraction numerator 1 over denominator t ln squared t end fraction

      Wstawiamy do z apostrophe ln t plus z over t equals cos squared t i dostajemy

      open parentheses C apostrophe \left parenthesis t right parenthesis fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction minus C \left parenthesis t right parenthesis times fraction numerator 1 over denominator t ln squared t end fraction close parentheses ln t plus fraction numerator C \left parenthesis t right parenthesis fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction over denominator t end fraction equals cos squared t
C apostrophe \left parenthesis t right parenthesis minus C \left parenthesis t right parenthesis times fraction numerator 1 over denominator t times ln t end fraction plus fraction numerator C \left parenthesis t right parenthesis over denominator t times ln t end fraction equals cos squared t
C apostrophe \left parenthesis t right parenthesis equals cos squared t
C \left parenthesis t right parenthesis equals \integral cos squared t space d t space equals 1 half open parentheses t plus sin t cos t close parentheses plus C

      Po wstawieniu do 2) mamy

      z equals C \left parenthesis t right parenthesis fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction equals open square brackets 1 half open parentheses t plus sin t cos t close parentheses plus C close square brackets fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction
z equals fraction numerator t plus sin t cos plus 2 C over denominator 2 end fraction times fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction
z equals fraction numerator t plus sin t cos plus 2 C over denominator 2 ln t end fraction

      Na sam koniec powracamy z podstawieniem y squared equals z czyli

      y squared equals z rightwards double arrow y equals plus-or-minus square root of z
y equals plus-or-minus square root of fraction numerator t plus sin t cos plus 2 C over denominator 2 ln t end fraction end root

      Uwaga! Program Wolfram zwraca troszkę inny wynik ale jest on równoważny powyższemu. 

  12. JOANNA pisze:

    proszę o rozwiązanie równania u”-u'-y=0 lub p'-p-y=0. Bardzo proszę o pomoc.

  13. Karolina pisze:

    A równań różniczkowych II rzędu nie liczy?

  14. Kamil pisze:

    Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu równania:
    y’=y+y/x+x

    1. Kamil Kocot pisze:

      Mamy tutaj równanie liniowe, które można zapisać w postaci

      y apostrophe minus y open parentheses 1 plus 1 over x close parentheses equals x.

      1) Rozwiązujemy równanie jednorodne

      y apostrophe minus y open parentheses 1 plus 1 over x close parentheses equals 0
fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals y open parentheses 1 plus 1 over x close parentheses
d y equals y open parentheses 1 plus 1 over x close parentheses d x
fraction numerator d y over denominator y end fraction equals open parentheses 1 plus 1 over x close parentheses d x space divided by \integral
ln vertical line y vertical line equals x plus ln vertical line x vertical line plus C space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent
e to the power of ln vertical line y vertical line end exponent equals e to the power of x plus ln vertical line x vertical line plus C end exponent equals e to the power of x e to the power of ln vertical line x vertical line end exponent e to the power of C
y equals C x e to the power of x

      2) Uzmienniamy stałą

      y equals C \left parenthesis x right parenthesis x e to the power of x 

      i obliczamy pochodną jako iloczyn 3 funkcji

      y apostrophe equals C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis x e to the power of x plus C \left parenthesis x right parenthesis e to the power of x plus C \left parenthesis x right parenthesis x e to the power of x

      Wstawiając do równania początkowego y apostrophe minus y open parentheses 1 plus 1 over x close parentheses equals x dostajemy

      C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis x e to the power of x plus C \left parenthesis x right parenthesis e to the power of x plus C \left parenthesis x right parenthesis x e to the power of x minus C \left parenthesis x right parenthesis x e to the power of x open parentheses 1 plus 1 over x close parentheses equals x
C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis x e to the power of x plus C \left parenthesis x right parenthesis e to the power of x plus C \left parenthesis x right parenthesis x e to the power of x minus C \left parenthesis x right parenthesis x e to the power of x minus C \left parenthesis x right parenthesis e to the power of x equals x
C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis x e to the power of x equals x
C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis e to the power of x equals 1 space divided by asterisk times e to the power of negative x end exponent
C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis equals e to the power of negative x end exponent space divided by \integral
C \left parenthesis x right parenthesis equals \integral e to the power of negative x space end exponent d x equals negative e to the power of negative x end exponent plus C

      Następnie powracając do 2) i wstawiając w miejsce C(x) otrzymujemy rozwiązani

      y equals open parentheses negative e to the power of negative x end exponent plus C close parentheses x e to the power of x
y equals negative x plus C x e to the power of x

  15. ROck pisze:

    Kto pomoże ? y'-(y +cosx)sinx=0

    1. Kamil Kocot pisze:

      Mamy tu do czynienia z równaniem liniowym I-go rzędu. Rozwiązujemy w dwóch etapach 1) równanie jednorodne i 2) równanie niejednorodne metodą uzmienniania stałej.

      y apostrophe minus open parentheses y plus cos x close parentheses sin x equals 0
y apostrophe minus y sin x equals sin x cos x

      1) Równanie jednorodne

      y apostrophe minus y sin x equals 0
fraction numerator d y over denominator d x end fraction minus y sin x equals 0
fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals y sin x
d y equals y sin x space d x
fraction numerator d y over denominator y end fraction equals sin x space d x space divided by \integral
integral fraction numerator d y over denominator y end fraction equals \integral sin x space d x
ln vertical line y vertical line equals negative cos x plus C space divided by e to the power of horizontal ellipsis
e to the power of ln vertical line y vertical line end exponent equals e to the power of negative cos x plus C end exponent equals e to the power of negative cos x end exponent e to the power of C
y equals C e to the power of negative cos x end exponent

      2) Uzmiennianie stałej

      y equals C \left parenthesis x right parenthesis e to the power of negative cos x end exponent
y apostrophe equals C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis e to the power of negative cos x end exponent plus C \left parenthesis x right parenthesis e to the power of negative cos x end exponent sin x

      Wstawiamy do równania y apostrophe minus y sin x equals sin x cos x i dostajemy

      C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis e to the power of negative cos x end exponent plus C \left parenthesis x right parenthesis e to the power of negative cos x end exponent sin x minus C \left parenthesis x right parenthesis e to the power of negative cos x end exponent sin x equals sin x cos x
C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis e to the power of negative cos x end exponent equals sin x cos x space divided by asterisk times e to the power of cos x end exponent
C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis equals sin x cos x e to the power of cos x end exponent
C \left parenthesis x right parenthesis equals \integral sin x cos x e to the power of cos x end exponent d x

      Wyliczamy całkę na boku

      table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row cell \integral sin x cos x e to the power of cos x end exponent d x end cell equals cell open vertical bar table row cell cos x equals t end cell row cell negative sin x space d x equals d t end cell row cell sin x space d x equals negative d t end cell end table close vertical bar equals negative \integral t e to the power of t d t end cell row blank equals cell open vertical bar table row t cell e to the power of t end cell row 1 cell e to the power of t end cell end table close vertical bar equals negative open parentheses t e to the power of t minus e to the power of t close parentheses plus C equals e to the power of t minus t e to the power of t plus C end cell row blank equals cell open parentheses 1 minus cos x close parentheses e to the power of cos x end exponent plus C end cell end table

      czyli C \left parenthesis x right parenthesis equals open parentheses 1 minus cos x close parentheses e to the power of cos x end exponent plus C oraz ostateczna odpowiedź po wstawieniu do 2) za C(x):

      y equals open square brackets open parentheses 1 minus cos x close parentheses e to the power of cos x end exponent plus C close square brackets asterisk times e to the power of negative cos x end exponent
y equals C e to the power of negative cos x end exponent plus \left parenthesis 1 minus cos x right parenthesis

  16. Piter pisze:

    Proszę o pomoc u”+u=cos2x

    1. Syll pisze:

      xdy/dx-y = 2x^3

      pilnie proszę o pomoc..

    2. Kamil Kocot pisze:

      Równanie u apostrophe apostrophe plus u equals cos 2 x jest równaniem różniczkowym rzędu II-ego. Rozwiążemy je w dwóch etapach, najpierw równanie jednorodne a później równanie niejednorodne metodą przewidywań. Wszystko zostało omówione też w lekcji Pana Krystiana

      https://akademia.etrapez.pl/wybor-kursu/rownania-rozniczkowe/lekcja-5-rownania-rozniczkowe-ii-rzedu-liniowe-o-stalych-wspolczynnikach-sprowadzalne-do-rownan-i-go-rzedu/

      Zatem

      1) Etap I (za prawą stronę podstawiamy zero, rozwiązujemy równanie charakterystyczne)

      u apostrophe apostrophe plus u equals 0 r squared plus 1 equals 0 r squared equals negative 1 r equals plus-or-minus i

      Ponieważ rozwiązanie wychodzi zespolone r equals \alpha plus-or-minus \beta i stąd rozwiązaniem równania jednorodnego jest zgodnie ze schematem u subscript j equals e to the power of \alpha x end exponent open parentheses C subscript 1 cos \beta x plus C subscript 2 i sin \beta x close parentheses czyli

      u subscript j equals e to the power of 0 x end exponent open parentheses cos 1 x plus i sin 1 x close parentheses u subscript j equals cos x plus i sin x

      2) Etap II

      Przewidujemy rozwiązanie równania niejednorodnego u apostrophe apostrophe plus u equals cos 2 x  na podstawie funkcji znajdującej się po prawej stronie tj. r \left parenthesis x right parenthesis equals cos 2 x. Przewidujemy je jako

      u subscript p equals A cos 2 x plus B sin 2 x

      Podane u subscript p nie zawiera się w rozwiązaniu równania jednorodnego (mamy w nim cos x a tu jest cos 2 x), tym samym jest to dobre rozwiązanie. W dalszym etapie wyliczamy u apostrophe comma space u apostrophe apostrophe i podstawiamy do początkowego równania.

      u subscript p apostrophe equals negative 2 A sin 2 x plus 2 B cos 2 x u subscript p apostrophe apostrophe equals negative 4 A cos 2 x minus 4 B sin 2 x u apostrophe apostrophe plus u equals cos 2 x minus 4 A c o s 2 x minus 4 B sin 2 x plus A c o s 2 x plus B sin 2 x equals c o s 2 x

      Porównując współczynniki przy cos 2 x comma space sin 2 x po lewej i prawej stronie dostajemy

      open negative 4 A plus A equals 1 minus 4 B plus B equals 0 close curly brackets rightwards double arrow A equals negative 1 divided by 3 semicolon space B equals 0

      czyli

      u subscript p equals negative bevelled 1 third cos 2 x

      Odp.: u equals u subscript j plus u subscript p equals C subscript 1 cos x plus C subscript 2 sin x minus bevelled 1 third cos 2 x

  17. Syll pisze:

    x*dy/dx-y = 2x^3

    pilnie proszę o pomoc..

    1. Kamil Kocot pisze:

      Witam

      To jest zwykłe równanie liniowe, rozwiążę je metodą uzmienniania stałej.

      x asterisk times fraction numerator d y over denominator d x end fraction minus y equals 2 x cubed 

      1) równanie jednorodne

      x asterisk times fraction numerator d y over denominator d x end fraction minus y equals 0
x asterisk times fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals y
x d y equals y d x space
fraction numerator d y over denominator y end fraction equals fraction numerator d x over denominator x end fraction
integral fraction numerator d y over denominator y end fraction equals \integral fraction numerator d x over denominator x end fraction
ln open vertical bar y close vertical bar equals ln open vertical bar x close vertical bar plus C
y equals C asterisk times x

      Przejście w ostatniej linijce jest standardowe, należy zapamiętać bo to wynika z definicji logarytmu, własności logarytmu

      log subscript a b equals c \left right double arrow b equals a to the power of c
a to the power of log subscript a x end exponent equals x

      oraz własności potęgowania. Wyjaśnienie jest następujące

      ln open vertical bar f \left parenthesis x right parenthesis close vertical bar equals ln open vertical bar g \left parenthesis x right parenthesis close vertical bar plus C
f \left parenthesis x right parenthesis equals e to the power of ln open vertical bar g \left parenthesis x right parenthesis close vertical bar plus C end exponent equals e to the power of ln open vertical bar g \left parenthesis x right parenthesis close vertical bar end exponent e to the power of C equals g \left parenthesis x right parenthesis asterisk times C subscript 1 rightwards double arrow f \left parenthesis x right parenthesis equals C asterisk times g \left parenthesis x right parenthesis

      gdzie przyjmujemy w skrócie, że e to the power of C equals C subscript 1 equals C.

      Powracając do przykładu, w punkcie

      2) uzmienniamy stałą tzn.

      y equals C \left parenthesis x right parenthesis asterisk times x

      3) Obliczamy pochodną y apostrophe equals C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis asterisk times x plus C \left parenthesis x right parenthesis asterisk times 1 

      4) Wstawiamy do początkowego równania (zarówno y jak i y') tzn. 

      x asterisk times fraction numerator d y over denominator d x end fraction minus y equals 2 x cubed
x asterisk times open parentheses C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis asterisk times x plus C \left parenthesis x right parenthesis asterisk times 1 close parentheses minus C \left parenthesis x right parenthesis asterisk times x equals 2 x cubed
C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis asterisk times x squared plus C \left parenthesis x right parenthesis asterisk times x minus C \left parenthesis x right parenthesis asterisk times x equals 2 x cubed
C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis asterisk times x squared equals 2 x cubed
C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis equals 2 x
C \left parenthesis x right parenthesis equals \integral 2 x d x
C \left parenthesis x right parenthesis equals x squared plus C

      Wyliczone C(x) wstawiamy do punktu 2) i dostajemy rozwiązanie

      y equals \left parenthesis x squared plus C right parenthesis asterisk times x

  18. Martyna pisze:

    Jak potraktować takie równanie:d^(2)x/dt^2  + x =0potrzebuję tylko początkowego wyjścia.Nie jestem pewna czy mogę zapisać to w takiej postaci: x” +x =0

    1. fraction numerator d squared x over denominator d t squared end fraction plus x equals 0

      Faktycznie, można to równanie zapisać w postaci: x apostrophe apostrophe plus x equals 0, gdzie x equals x \left parenthesis t right parenthesis.

      Mamy tu do czynienia z równaniem różniczkowym drugiego rzędu linowym jednorodnym o stałych współczynnikach. 

      Dla takiego równania przewidujemy rozwiązanie szczególne w postaci funkcji wykładniczej: x equals e to the power of s t end exponent.
      Mamy więc: x apostrophe equals s e to the power of s t end exponent semicolon space space space space x apostrophe apostrophe equals s squared e to the power of s t end exponent.

      Podstawiamy do podanego równania i otrzymujemy:

      s squared e to the power of s t end exponent plus e to the power of s t end exponent equals 0 space space space space space space space space space space space space divided by colon e to the power of s t end exponent

      s squared plus 1 equals 0

      Ponieważ w tym równaniu mamy capital delta less than 0, postąpimy według następującego schematu:

      s subscript 1 equals a plus b i semicolon space space space space space s subscript 2 equals a minus b i

      całki szczególne: x subscript 1 equals e to the power of a t end exponent cos \left parenthesis b t right parenthesis semicolon space space space space space x subscript 2 equals e to the power of a t end exponent sin \left parenthesis b t right parenthesis

      całka ogólna: x equals e to the power of a t end exponent open parentheses C subscript 1 cos \left parenthesis b t right parenthesis plus C subscript 2 sin \left parenthesis b t right parenthesis close parentheses

       

      Dla naszego przykładu:

      s subscript 1 equals i semicolon space space space space space s subscript 2 equals negative i

      całki szczególne: x subscript 1 equals e to the power of 0 t end exponent cos t equals cos t semicolon space space space space space x subscript 2 equals e to the power of 0 t end exponent sin t equals sin t

      całka ogólna: x equals e to the power of 0 t end exponent open parentheses C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t close parentheses equals C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t

  19. Mateusz pisze:

    y(x) = x (y'(x) – y”(x)) bardzo proszę o pomoc z tym rownaniem.

  20. Paulina pisze:

    Witam można prosić o pomoc? Ogólnie mam takie równanie: mu space equals space R times space fraction numerator phi subscript o minus space phi subscript n over denominator 4 times n end fraction space times c t g betai z tego potrzebuję : fraction numerator \partial differential mu over denominator \partial differential R end fraction,  fraction numerator \partial differential mu over denominator \partial differential phi subscript o end fraction , fraction numerator \partial differential mu over denominator \partial differential phi subscript n end fraction , fraction numerator \partial differential mu over denominator \partial differential \beta end fraction.  Niby wiem na jakiej zasadzie to działa, ale nie mam pojęcia jak to rozpisać. Byłabym bardzo wdzięczna za pomoc i ewentualne wytłumaczenie. 

    1. Paulina pisze:

       : mu equals space fraction numerator R \left parenthesis phi subscript o space minus space phi subscript n right parenthesis space c t g \beta over denominator 4 times n end fraction , to czy te rozwiązania są poprawne? fraction numerator \partial differential mu over denominator \partial differential R end fraction space space equals space fraction numerator 1 \left parenthesis space phi subscript o space end subscript minus space phi subscript n right parenthesis space c t g space \beta over denominator 4 n end fractionfraction numerator \partial differential mu over denominator \partial differential phi subscript o end fraction space equals space fraction numerator R space \left parenthesis space 1 space minus space phi subscript n right parenthesis space c t g \beta over denominator 4 n end fractionfraction numerator \partial differential mu over denominator \partial differential phi subscript n end fraction space equals space fraction numerator R space \left parenthesis space phi subscript o space end subscript minus space 1 right parenthesis space c t g \beta over denominator 4 n end fractionczy to raczej totalna głupota?  

  21. Ada pisze:

    3 dy/dx = – [1 + 3y kwadrat] y(0) = 1/3

    Nie mogę sobie poradzić z tą całką. Proszę o pomoc.

  22. ewcia5665 pisze:

    ydy/dx=1-x

    1. y fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals 1 minus x

      Jest to równanie liniowe o zmiennych rozdzielonych, doprowadzam do tego, by po jednej stronie mieć same „y”, po drugie stronie wyrażenia z „x” i pozostałe.

      y fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals 1 minus x space space space space divided by times d x
      y space d y equals open parentheses 1 minus x close parentheses space d x
      Całkuję obie strony

      integral space y space d y equals \integral open parentheses 1 minus x close parentheses space d x
      1 half y squared equals x minus 1 half x squared plus C space space space divided by times 2
      y squared equals 2 x minus x squared plus C subscript 1 space
      y equals square root of 2 x minus x squared plus C subscript 1 space end root space space space space l u b space space y equals negative square root of 2 x minus x squared plus C subscript 1 space end root

  23. ewcia5665 pisze:

    ydy/dx=1-xy dx/dy=(1-x)ydy=(1-x)dxintegral y d y equals \integral x d xy^2=x^2+c i nie nie wiem co dalej 

    1. Domyślam się, że to to samo równanie zamieszczone wyżej prawda? Wyżej pokazałam jak je rozwiązać 🙂

  24. andtom pisze:

    Czy mógłbym prosić o rozwiązanie równania różniczkowego  xdx+(y+1)dy=0Wartości y otrzymuje w postaci uwikłanej, czy jest jakiś sposób na rozwikłanie tego.

    1. space x space d x plus \left parenthesis y plus 1 right parenthesis space d y equals 0

      Jest to równanie liniowe o zmiennych rozdzielonych. Porządkuję więc je tak, by po jednej stronie mieć wyrażenia związane z „y”, a po drugiej z „x”. 

      left parenthesis y plus 1 right parenthesis space d y equals space minus x space d x  – całkuję obustronnie

      integral \left parenthesis y plus 1 right parenthesis space d y equals space \integral negative x space d x

      1 half y squared plus y space equals space minus 1 half x squared plus C 

      Mam więc rozwiązane równanie, ale w postaci uwikłanej (tzn. nie mam wprost wyliczonego „y=….”, ale jakieś wyrażenie z „y”).

      Alby je „rozwikłać”, czyli wyliczyć samego „y”, musimy popatrzeć jakie mamy to wyrażenie/równanie z igrekami. Jak widać jest to równanie kwadratowe, z tym że inaczej niż pamiętamy ze szkoły średniej (bo nie na „x”, ale na „y” – to jest moja zmienna). Dla pełnej jasności przeniosę wszystko na jedną stronę

      1 half y squared plus y space plus 1 half x squared minus C equals 0

      Stąd mam że:  a equals 1 half space space space comma space space space b equals 1 space space comma space c equals 1 half x squared minus C

      Liczę deltę: increment equals b squared minus 4 a c equals 1 squared minus 4 times 1 half times open parentheses 1 half x squared minus C close parentheses equals 1 minus x squared plus 4 C space equals space 1 minus x squared plus C subscript 1

      Stąd moje wartości y, czyli „jawne” rozwiązania:

      y subscript 1 equals fraction numerator negative b minus square root of increment over denominator 2 a end fraction equals fraction numerator negative 1 minus square root of 1 minus x squared plus C subscript 1 end root over denominator 2 times begin display style 1 half end style end fraction equals negative square root of negative x squared plus 1 plus C subscript 1 end root space minus 1

      y subscript 2 equals fraction numerator negative b plus square root of increment over denominator 2 a end fraction equals fraction numerator negative 1 plus square root of 1 minus x squared plus C subscript 1 end root over denominator 2 times begin display style 1 half end style end fraction equals square root of negative x squared plus 1 plus C subscript 1 end root plus 1

    2. andtom pisze:

      Serdeczne dzięki za pomoc. Pozdrawiam.

  25. andtom pisze:

    Mam jeszcze problem z następujacym zadaniem:( x^2+2xy-y^2)dx+(y^2+2xy-x^2)dy=0Nie jest ono zupełne bo różniczki nie są takie same, nie są też postaci f(y/x)O ile to możliwe, to prosiłbym o pomoc.Z góry dziękujęAndtom

  26. Krzysiek22 pisze:

    Witam, mam problem z rozwiązaniem równania y’+ty=t za pomocą czynnika całkującego. Przez uzmiennianie stałej wychodzi mi dobry wynik y=1+Ce^(-0,5t^2).Z góry dziękuję

  27. Maciej1 pisze:

    Witam, mam problem z rozwiązaniem równania (2xy^2-y)dx+(y^2+x+y)=0.

  28. Ania pisze:

    Witam. Czy mógłby mi ktoś pomóc z równaniem : x^2*y’=sin(1/x)? 🙁

    1. To będzie równanie o zmiennych rozdzielonych. Pójdzie to tak (polecam tutaj mój Kurs, gdzie pokazuję, jak to się robi):

      x squared y apostrophe equals sin 1 over x x squared fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals sin 1 over x space space divided by times d x space colon x squared d y equals fraction numerator sin 1 over x over denominator x squared end fraction d x \integral d y equals \integral fraction numerator sin 1 over x over denominator x squared end fraction d x

      Całkę po prawej stronie rozwiązujemy „na boczku” przez podstawienie:

      integral fraction numerator sin begin display style 1 over x end style over denominator x squared end fraction d x equals open vertical bar table row cell t equals fraction numerator begin display style 1 end style over denominator begin display style x end style end fraction end cell row cell d t equals negative 1 over x squared d x end cell end table close vertical bar equals \integral negative sin t d t equals cos t plus C equals cos 1 over x plus C

      Wracając więc do równania mamy:

      y equals cos 1 over x plus C

      I rozwiązane.

  29. BBB pisze:

    W kursie, w lekcji drugiej jest błąd, w przykładzie y apostrophe equals fraction numerator y squared minus x y over denominator x squared minus x y plus y squared end fraction , w momencie fraction numerator d t over denominator d x end fraction cross times x equals fraction numerator t squared minus t over denominator 1 minus t plus t squared end fraction minus t   za „t” podstawiasz fraction numerator 1 minus t plus t squared over denominator 1 minus t plus t squared end fraction a przecież mamy podstawić „t” a nie „1”, dzięki temu rozwinięcie przykładu wygląda zupełnie inaczej, wynik pewnie też. Pozdrawiam. Prosiłbym o ewentualne rozwinięcie prawidłowego przykładu.

  30. Dawid pisze:

    y1=(1-y1-y2)y1 y’2=(a-y2-4a2y1)y2 a to jak zapisać ?

    1. Dawid pisze:

      dla a=0.1

  31. haniasss pisze:

    Potrzebuję pomocy z rozwiązaniem następującego zdania:y(3)+y'-10y=10e^x*sin2x 

  32. Berner paulina pisze:

    pomoze mi ktos rozwiazac zadanie ?x’=pod pierwiastkiem arctg(t) / t^2+1

  33. Moniaa pisze:

    Witam. Pomoże ktoś w rozwiązaniu układu dx/dt=y dy/dt=-x metodą różniczkowa?

  34. Kumori pisze:

    Dzień dobry! Czy ktoś jest w stanie pomóc mi z analitycznym rozwiązaniem krok po kroku równania:y' + 3 y = 4 Sin4x, y(0)=1Z góry dziękuję!

  35. Kasia pisze:

    Potrzebuję pomocy z równaniem różniczkowym II rzędu: y”- 2y' +2y = [e^(2x)] +xy=yj + ypPoliczyłam yj= [e^(x)]*(C1cosx + C2sinx)Nie wiem jak policzyć yp, czy ktoś wie jak to rozwiązać? 

    1. Kasia pisze:

      y”- 2y’ +2y = [e^(2x)] +x piszę jeszcze raz, bo pomimo spacji źle się zapisało

  36. eliza pisze:

    Dzień dobry Potrzebuje pomocy w rozwiązaniu następującego równaniady/dx=x/y* (1+x)/(1+y)

  37. Kasia pisze:

    Dzień dobry, czy ktoś mógłby mi pomóc z rozwiązaniem równania różniczkowego: (y”)^2 =4y' Byłabym wdzięczna za pomoc 🙂 

  38. Paweł pisze:

    a co jeśli mamy równanie i do tego  warunki początkowe  x0 ,y0=…….

  39. Łukasz pisze:

    integral fraction numerator square root of ln x end root over denominator x end fraction d x integral open parentheses 3 x squared plus 5 x minus 1 close parentheses e to the power of x d x integral open parentheses 2 x squared plus 1 close parentheses ln x d x tą chyba rozwiązałęm mam taki wynik  = fraction numerator 2 x squared plus 1 over denominator x end fraction minus 4 x plus C
 to jest ok?

  40. GalachadV (Edyta) pisze:

    Witam! W jakiej postaci należy przewidzieć rozwiązanie równania niejednorodnego różniczkowego: y” – 2y' +10y = 6e^(x) sin (3x), równanie jednorodne ma rozwiązanie ogólne: y = C(1) e^(x) sin (3x) + C(2) e^(x) cos (3x). Będę wdzięczna za pomoc. Pozdrawiam Edyta (GalachadV)

    1. Witam!

      Zaglądamy do odpowiedniej tabelki i orientujemy się, że prawa strona równania pasuje nam do postaci:

      W I E L O M I A N times e to the power of a x end exponent sin b x space plus space W I E L O M I A N times e to the power of a x end exponent cos b x

      bo:

      6 e to the power of x sin 3 x equals 6 times e to the power of 1 times x end exponent sin open parentheses 3 times x close parentheses plus 0 times e to the power of 1 times x end exponent cos open parentheses 3 times x close parentheses

      a comma b z tabelki równają się odpowiednio a equals 1 comma space b equals 3, WIELOMIAN jest zerowego stopnia (stałe).

      Zgodnie z tabelką, przewidujemy więc rozwiązanie w postaci:

      y subscript p equals A e to the power of x sin 3 x plus B e to the power of x cos 3 x

      Nie jest to jednak prawidłowa odpowiedź! Tak jak pokazuję w moim Kursie do równań różniczkowych, trzeba tutaj zorientować się, że…

      Uwaga!

      Rozwiązanie w tej postaci przewidywanej zawiera się w rozwiązaniu równania jednorodnego! ( y subscript j equals C subscript 1 e to the power of x sin 3 x plus C subscript 2 e to the power of x cos 3 x, jaką literką oznaczymy stałą nie ma znaczenia)

      Co  w tej sytuacji robimy?

      Ano zwiększamy o 1 stopnie wielomianów w postaci przewidywanej, uzyskując wielomiany pierwszego stopnia, czyli:

      y subscript p equals open parentheses A x plus B close parentheses e to the power of x sin 3 x plus open parentheses C x plus D close parentheses e to the power of x cos 3 x

      I to jest dopiero postać, w której przewidujemy rozwiązanie szczególne równania.

      Odp. y subscript p equals open parentheses A x plus B close parentheses e to the power of x sin 3 x plus open parentheses C x plus D close parentheses e to the power of x cos 3 x


      Ten i podobne „myki” związane z równaniami różniczkowymi II rzędu pokazuję w mojej Lekcji Video im poświęconej. Cały Kurs tutaj.

       

  41. Agata pisze:

    Czy mogłby mi ktoś pomóc z rozwiązaniem ?

    y'-y=(x^2+ 2x + 1)e^x

    Bardzo proszę ! 🙂

    1. Jasne.

      Stosując metodę „uzmienniania stałej”, pokazaną w Lekcji 3 mojego Kursu do równań różniczkowych, jadę tak:

      y apostrophe minus y equals open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses e to the power of x

      Rozwiązuję najpierw odpowiadające temu równaniu równanie jednorodne:

      y apostrophe minus y equals 0
fraction numerator d y over denominator d x end fraction minus y equals 0
fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals y space space space space divided by colon y space space divided by times d x
fraction numerator d y over denominator y end fraction equals d x space space space divided by \integral
integral fraction numerator d y over denominator y end fraction equals \integral d x
ln open vertical bar y close vertical bar equals x plus C space space space space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent
e to the power of ln open vertical bar y close vertical bar end exponent equals e to the power of x plus C end exponent
open vertical bar y close vertical bar equals e to the power of x times e to the power of C
y equals C e to the power of x

      Mam w ten sposób rozwiązanie równania jednorodnego. W rozwiązaniu tym „uzmienniam stałą” i wiem, że rozwiązanie będzie postaci:

      y equals C open parentheses x close parentheses e to the power of x

      Liczę pochodną z tej postaci:

      y apostrophe equals open square brackets C open parentheses x close parentheses e to the power of x close square brackets apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of x plus C open parentheses x close parentheses open parentheses e to the power of x close parentheses apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of x plus C open parentheses x close parentheses e to the power of x

      Wstawiam tą postać i jej pochodną do równania na samym początku, czyli do równania y apostrophe minus y equals open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses e to the power of x, i mam:

      C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of x plus C open parentheses x close parentheses e to the power of x minus C open parentheses x close parentheses e to the power of x equals open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses e to the power of x
C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of x equals open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses e to the power of x space space space divided by colon e to the power of x
C apostrophe open parentheses x close parentheses equals x squared plus 2 x plus 1 space space space space divided by \integral
C open parentheses x close parentheses equals \integral open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses d x
integral open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses d x equals \integral x squared d x plus \integral 2 x d x plus \integral d x equals 1 third x cubed plus x squared plus x plus C

      Czyli:

      C open parentheses x close parentheses equals 1 third x cubed plus x squared plus x plus C

      Moje rozwiązanie równania jest więc równe:

      Odp. y equals open parentheses 1 third x cubed plus x squared plus x plus C close parentheses e to the power of x


      Zapraszam do mojego Kursu z równań różniczkowych.

       

  42. Magda pisze:

    mogę prosic o rozwiązanie?
    Zadanie. Rozwiązać rownanie różniczkowe postaci y’=3×2-y , w przedziale od x=0 do x=2, warunek początkowy y(0)=-1, krok calkowania h=0,5. Użyć polepszoną metodę eulera. narysować wykres obliczonej funkcji.