Kalkulator do równań różniczkowych

Krystian Karczyński

Przedstawiam kolejny z serii kalkulatorów, tym razem do równań różniczkowych (a propos nowo powstającego Kursu):

Jak używać kalkulatora?

Kalkulator jest gotowy do obliczeń, trzeba tylko wpisać do niego równanie (zgodnie z ogólną instrukcją wpisywania formuł matematycznych), kliknąc na 'Oblicz' i mamy rozwiązanie. Jako pochodną funkcji y mozna wpisywać zarówno: y', jak i: dy/dx .

Kalukatorek ma swoje ograniczenia, to znaczy na pewno nie rozwiąże każdego możliwego równania i bardzo uparcie (za bardzo) wyznacza rozwiązanie w postaci rozwikłanej (co to jest postać uwikłana i rozwikłana rozwiązania równania różniczkowego możesz dowiedzieć się z mojego Kursu Równań Różniczkowych, który powinien ukazać się już w przyszłym tygodniu).

Nie widać też toku rozwiązywania równania, ale i tak przyda się każdemu, kto chce sprawdzić wynik, albo po prostu szybko coś policzyć, co jest potrzebne do czegoś innego.

Z tymi wynikami też trzeba uważać, bo jak wiemy w równaniach różniczkowych na przykład: $1 minus C x$ i $1 plus C x$ to jedno i te same rozwiązanie równania różniczkowego (dlaczego? – zapraszam znowu do mojego Kursu). Bez paniki więc, jeśli to co mamy na kartce różni się z pozoru od tego, co nam wyszło w kalkulatorze. Ta sama uwaga zresztą tyczy się sprawdzania z odpowiedziami np. w książce.

Jeśli macie jakieś pytania odnośnie kalkulatora, nie wiecie, jak wpisać do niego jakieś równanie – wrzucajcie je śmiało w komentarzach 🙂

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Nigdy nie spotkałem się z tak łopatologicznym (i skutecznym) tłumaczeniem Królowy Nauk. Nie jeden z moich towarzyszy niedoli na polibudzie chwalił te kursy (każdy, który z nich skorzystał). Nie jeden uważa, że za ects powinno się Panu Krystianowi postawić pomnik na kampusie. Kursy ogląda się z wielką przyjemnością gdyż po kilku porażkach nauki z pomocą dydaktyczną z ćwiczeń i wykładów człowiek tracił wiarę w siebie. Jednak po każdej minucie z e-trapezem odzyskuje się wiarę w siebie gdyż wszystko staje się jasne. Polecam!

Pozostaw odpowiedź Mariusz Anuluj pisanie odpowiedzi

Karolina pisze:
23 stycznia 2013 o 10:27
y”=+4y=4(cos2x+sin2x)
y(pi)=y' (pi)=2pi
Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  23 stycznia 2013 o 17:39
  Witam, rozumiem, że mam rozwiązać Pani równanie? 🙂
  Bo WolframAlpha rozwiązuje je tak:
  y”+4y=4(cos2x+sin2x), y(pi)=2pi, y’(pi)=2pi
  
  No, a my poradzilibyśmy sobie tak (lecę metodą przewidywań pokazaną w moim Kursie Video):
  Na początku rozwiązujemy równanie jednorodne:
  ${y}''+4y=0$
  Równanie charakterystyczne ma więc postać:
  ${{r}^{2}}+4=0$
  \Delta jest tu ujemna, ale jest ono bardzo proste i możemy sobie poradzić bez delty:
  ${{r}^{2}}=-4$
  $r=\sqrt{-4}$
  A wiemy, że te pierwiastki istnieją i są zespolone:
  $r=2i \vee r=-2i$ , bo $\sqrt{-4}=\sqrt{\left( -1 \right)\cdot 4}=\sqrt{{{i}^{2}}}\cdot \sqrt{4}=\pm 2i$
  Czyli korzystając z ogólnego wzoru na rozwiązanie równania jednorodnego (zawarty w Kursie) mam:
  ${{y}_{j}}={{e}^{0\cdot x}}\left( Acos 2x+Bsin 2x \right)$
  czyli mam rozwiązanie równania jednorodnego $y_j$ :
  ${{y}_{j}}=Acos 2x+Bsin 2x$
  Teraz jedno rozwiązanie szczególne. Zgodnie ze schematem, biorę postać:
  ${{y}_{p}}=Acos 2x+Bsin 2x$
  Teraz ważny moment. Zauważam, że to rozwiązanie zawiera się już w rozwiązaniu równania jednorodnego $y_j$ , zatem muszę zwiększyć stopień wielomianów o 1, „przewiduję” więc rozwiązanie w postaci:
  ${{y}_{p}}=\left( Ax+B \right)cos 2x+\left( Cx+D \right)sin 2x$
  Teraz liczę pochodną i drugą pochodną, porządkując je i pomagając sobie Wolframem:
  ${{y}_{p}}^{\prime }=\left( 2Cx+A+2D \right)cos 2x+\left( -2Ax-2B+C \right)sin 2x$ (obliczenia)
  ${{y}_{p}}{{^{\prime }}^{\prime }}=-4\left( Ax+B-C \right)cos 2x-4\left( Cx+A+D \right)sin 2x$ (obliczenia)
  Wstawiam drugą pochodną i funkcję do wyjściowego równania i mam:
  $-4\left( Ax+B-C \right)cos 2x-4\left( Cx+A+D \right)sin 2x+4\left( \left( Ax+B \right)cos 2x+\left( Cx+D \right)sin 2x \right)=4\left( cos 2x+sin 2x \right)$
  Po ponownym uporządkowaniu Wolframem mam więc:
  $4Ccos 2x-4Asin 2x=4cos 2x+4sin 2x$
  Ponieważ stałe $B$ i $D$ zredukowały się, mogę przyjąć za nie $0$ .
  Przyrównując więc współczynniki przy $cos2x$ i $sin2x$ mam:
  $\{ \begin{matrix} & 4C=4 \\ & -4A=4 \\ \end{matrix} \Rightarrow \{ \begin{matrix} & C=1 \\ & A=-1 \\ \end{matrix}$
  Podstawiając więc wszystko do ogólnego wzoru ${{y}_{p}}=\left( Ax+B \right)cos 2x+\left( Cx+D \right)sin 2x$ mam policzone $y_p$ :
  ${{y}_{p}}=-xcos 2x+xsin 2x$
  Mając $y_j$ i $y_p$ mogę już wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania ze wzoru $y=y_j+y_p$ :
  $y=Acos 2x+Bsin 2x-xcos 2x+xsin 2x$
  Teraz przechodzę do rozwiązania szczególnego, uwzględniając warunki początkowe y(pi)=2pi, y'(pi)=2pi.
  Najpierw liczę pochodną z rozwiązania ogólnego:
  ${y}'=\left( 2x-2A+1 \right)sin 2x+\left( 2x+2B-1 \right)cos 2x$ (obliczenia)
  Teraz do rozwiązania ogólnego i do jego pochodnej wstawiam wartości z warunków początkowych otrzymując układ równań:
  $\{ \begin{matrix} & 2\pi =Acos 2\pi +Bsin 2\pi -\pi cos 2\pi +\pi sin 2\pi \\ & 2\pi =\left( 2\pi -2A+1 \right)sin 2\pi +\left( 2\pi +2B-1 \right)cos 2\pi \\ \end{matrix}$
  $cos 2\pi =1$ i $sin 2\pi =0$ , zatem:
  $\{ \begin{matrix} & 2\pi =A-\pi \\ & 2\pi =2\pi +2B-1 \\ \end{matrix}$
  $\{ \begin{matrix} & A=3\pi \\ & B=\frac{1}{2} \\ \end{matrix}$
  Podstawiając tak obliczone stałe do rozwiązania ogólnego mam rozwiązanie szczególne przy danych warunkach początkowych:
  ${{y}_{SZ}}=3\pi cos 2x+\frac{1}{2}sin 2x-xcos 2x+xsin 2x$
  KONIEC
  Polecam też moje:
  Kurs Video Równań Różniczkowych
2. Marcin pisze:
  31 stycznia 2013 o 14:05
  Witam czy pomoze ktos rozwiazac rownanie
  1/5*y’+y=-3*x^2*e^(3x-1)+2/5*cos2x
3. Maciej pisze:
  29 sierpnia 2014 o 16:28
  Witam. Mógłbym prosić o pomoc z równaniem:
  (x*siny +y+2x)dx + ((x^2)*cosy + x*ln(x))dy = 0
  Nasz docent ma fantazję 😛
Mariusz pisze:
12 września 2013 o 21:21
Czy mógłby Pan rozwiązać poniższe równanie?
xy’=x+3y, y(1)=2
Pozdrawiam serdecznie!
Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  16 września 2013 o 10:04
  Dobra, krok po kroku:
  $x{y}'=x+3y,\quad y\left( 1 \right)=2$
  $x{y}'-3y=x$
  Czyli to jest zwykłe, liniowe równanie I rzędu. Ruszam ze schematem z mojego Kursu Równań Różniczkowych.
  $x{y}'-3y=0$
  $x{y}'=3y$
  $x\frac{dy}{dx}=3y\quad /:x\ \cdot dx\ :y$
  $\frac{dy}{y}=\frac{3}{x}dx\quad /\int{{}}$
  $\int{\frac{dy}{y}}=\int{\frac{3}{x}dx}\quad /\int{{}}$
  $\ln \left| y \right|=3\ln \left| x \right|+C$
  $\ln \left| y \right|=\ln {{\left| x \right|}^{3}}+C\quad /{{e}^{\left( \ldots \right)}}$
  ${{e}^{\ln \left| y \right|}}={{e}^{\ln {{\left| x \right|}^{3}}+C}}$
  $\left| y \right|={{e}^{\ln {{\left| x \right|}^{3}}}}{{e}^{C}}$
  $y=C{{x}^{3}}$
  „Uzmienniam” stałą:
  $y=C\left( x \right){{x}^{3}}$
  ${y}'={C}'\left( x \right){{x}^{3}}+C\left( x \right)\cdot 3{{x}^{2}}$
  $x\left( {C}'\left( x \right){{x}^{3}}+C\left( x \right)\cdot 3{{x}^{2}} \right)-3C\left( x \right){{x}^{3}}=x$
  ${C}'\left( x \right){{x}^{4}}+3C\left( x \right){{x}^{3}}-3C\left( x \right){{x}^{3}}=x$
  ${C}'\left( x \right){{x}^{4}}=x\quad /:{{x}^{4}}$
  ${C}'\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{3}}}\quad /\int{{}}$
  $C\left( x \right)=\int{\frac{1}{{{x}^{3}}}dx}=\int{{{x}^{-3}}dx}=\frac{1}{-3+1}{{x}^{-3+1}}+C=$
  $=-\frac{1}{2}{{x}^{-2}}+C=-\frac{1}{2}\frac{1}{{{x}^{2}}}+C=-\frac{1}{2{{x}^{2}}}+C$
  Czym mam rozwiązanie równania ogólnego:
  $y=\left( -\frac{1}{2{{x}^{2}}}+C \right){{x}^{3}}=-\frac{x}{2}+C{{x}^{3}}$
  Teraz uwzględniam warunek początkowy $y\left( 1 \right)=2$ :
  $2=-\frac{1}{2}+C\cdot {{1}^{3}}$
  $C=2\tfrac{1}{2}$
  I mogę pisać odpowiedź:
  $y=-\frac{x}{2}+2\tfrac{1}{2}{{x}^{3}}$
2. Michał pisze:
  18 września 2013 o 11:54
  Czy mógłbym prosić o pomoc w rozwiązaniu tego równania: dy/dx-xy^3=-xy ? Dochodzę do momentu gdzie mam już dwie całki i mam problem przy policzeniu całki z dy/y(y^2-1). Można rozłożyć sobie to na trzy ułamki proste, ale nie potrafię potem rozwikłać y.
3. Ryhor Abramovich pisze:
  23 października 2016 o 15:53
  $fraction numerator d y over denominator d x end fraction minus x times y cubed equals negative x times y$
  Rozwiązanie:
  Zapiszem to równanie w postaci:
  $y apostrophe plus x y equals x y cubed$
  To jest równanie Bernoulli' ego typu
  $y apostrophe plus p open parentheses x close parentheses times y equals q open parentheses x close parentheses times y to the power of \alpha$ ,
  gdzie $\alpha equals 3$
  Najpierw – podstawa
  $z equals y to the power of 1 minus \alpha end exponent equals y to the power of 1 minus 3 end exponent equals y to the power of negative 2 end exponent equals 1 over y \squared$
  I liczymy:
  $z apostrophe equals open parentheses y to the power of negative 2 end exponent close parentheses apostrophe equals negative 2 y to the power of negative 3 end exponent times y apostrophe equals negative fraction numerator 2 y apostrophe over denominator y cubed end fraction$
  Dalej,
  $y apostrophe plus x y equals x y to the power of 3 space end exponent divided by times open parentheses negative 2 over y cubed close parentheses$
  $y apostrophe times open parentheses negative 2 over y cubed close parentheses plus x y times open parentheses negative 2 over y cubed close parentheses equals x y cubed times open parentheses negative 2 over y cubed close parentheses$
  $negative fraction numerator 2 y apostrophe over denominator y cubed end fraction minus 2 x times 1 over y squared equals negative 2 x$
  $z apostrophe minus 2 x z equals negative 2 x$
  To jest równanie liniowe I rzędu. Rozwiązujemy go wg schematu z lekcji 3.
  $z apostrophe minus 2 x z equals 0$
  $fraction numerator d z over denominator d x end fraction equals 2 x z space divided by times fraction numerator d x over denominator z end fraction$
  $fraction numerator d z over denominator z end fraction equals 2 x d x space divided by \integral$
  $integral fraction numerator d z over denominator z end fraction equals \integral 2 x d x$
  $ln open vertical bar z close vertical bar equals x squared plus C space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent$
  $e to the power of ln open vertical bar z close vertical bar end exponent equals e to the power of x squared plus C end exponent$
  $open vertical bar z close vertical bar equals e to the power of C times e to the power of x squared end exponent$
  $z equals C times e to the power of x squared end exponent$
  Mamy więc postać rozwiązania równania jednorodnego. „Uzmienniam” stałą:
  $z equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent$
  $z apostrophe equals open parentheses C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent close parentheses apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x$
  Wstawiamy wyniki do początkowego równania:
  $z apostrophe minus 2 x z equals negative 2 x$
  $C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x minus 2 x times C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x$
  $C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x space divided by divided by e to the power of x squared end exponent$
  $C apostrophe open parentheses x close parentheses equals negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent space divided by \integral$
  $integral C apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals \integral negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent d x$
  $C open parentheses x close parentheses equals open vertical bar table row cell negative x squared equals t end cell row cell negative 2 x d x equals d t end cell end table close vertical bar equals \integral e to the power of t d t equals e to the power of t plus C equals e to the power of negative x squared end exponent plus C$
  Tak wyliczoną stałą wstawiam do równania z „uzmiennioną” stałą:
  $z open parentheses x close parentheses equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals open parentheses e to the power of negative x squared end exponent plus C close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals 1 plus C e to the power of x squared end exponent$
  Ponieważ $z equals 1 over y \squared$ , to
  $y open parentheses x close parentheses equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of z open parentheses x close parentheses end root end fraction equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of 1 plus C e to the power of x squared end exponent end root end fraction$
Agatha pisze:
22 stycznia 2014 o 01:51
Witam czy mógłby Pan rozwiązać równanie
[latex] x \frac{dy}{dx} + y \frac{dy}{dy} + z^2 y \frac{dy}{dz} = 0 [/latex]
Kurs równań różniczkowych nie bardzo i tu pomógł.
Odpowiedz
1. Amelia pisze:
  22 stycznia 2014 o 14:24
  Jak jest Pan takim kozakiem to dlaczego po przerobieniu całego kursu z równań różniczkowych nikt z mojego roku nie zdał kolokwium. O chyba robi Pan trywialne przykłady, które mój wykładowca pomija bo są zbyt oczywiste.
  Chcecie fun?! Rozwiążcie to:
  [latex] \frac{x^2}{y^2 + yx} \frac{du}{dx} + {du}{dy} + (1+z^2) \frac{du}{dz} = 0 [/latex]
2. Krystian Karczyński pisze:
  22 stycznia 2014 o 14:40
  To jest przykład z równań różniczkowych cząstkowych, mój Kurs jest do równań różniczkowych zwyczajnych. Sorry, że nie zdaliście kolokwium.
3. Amelia pisze:
  24 stycznia 2014 o 03:12
  Więc może już nadszedł czas, aby stworzyć kolejny kurs.
Adam Kołodziejski pisze:
5 lutego 2014 o 11:59
Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu tego równania
((3/2)*(y^2)*cos(x)+2)*dx= -(3y*sin(x)+1)*dy
Odpowiedz
KM pisze:
8 maja 2014 o 06:54
Dlaczego wynik w kalkulatorze y”-2y' = x nie zgadza sie z wynikiem z kursu
Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  8 maja 2014 o 08:16
  A gdzie w Kursie jest taki przykład?
2. Ryhor Abramovich pisze:
  23 października 2016 o 15:02
  $y apostrophe apostrophe minus 2 y apostrophe equals x$
  Rozwiązanie:
  To jest równanie różniczkowe II rzędu, nie zawierające niewiadomej funkcji (y). Dlatego możemy obniżyć rząd tego równania za pomocy podstawy.
  Niech $y apostrophe equals p open parentheses x close parentheses$ . Wtedy $y apostrophe apostrophe equals p apostrophe open parentheses x close parentheses$ , i równanie zapiszemy w postaci:
  $p apostrophe minus 2 p equals x$
  To jest równanie I rzędu (liniowe). Rozwiązujemy go na 2 sposoby.
  Sposob 1 (wg schematu z lekcji 3):
  $p apostrophe minus 2 p equals 0$
  $fraction numerator d p over denominator d x end fraction equals 2 p space divided by times d x space divided by p$
  $fraction numerator d p over denominator p end fraction equals 2 d x space divided by \integral$
  $integral fraction numerator d p over denominator p end fraction equals \integral 2 d x$
  $ln open vertical bar p close vertical bar equals 2 x plus C space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent$
  $e to the power of ln open vertical bar p close vertical bar end exponent equals e to the power of 2 x plus C end exponent$
  $open vertical bar p close vertical bar equals e to the power of C times e to the power of 2 x end exponent$
  $p equals C times e to the power of 2 x end exponent$
  Mamy więc postać rozwiązania równania jednorodnego. „Uzmienniamy” stałą:
  $p equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of 2 x end exponent$
  $p apostrophe equals open parentheses C open parentheses x close parentheses times e to the power of 2 x end exponent close parentheses apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of 2 x end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of 2 x end exponent times 2$
  Podstawiamy wyniki do równania $p apostrophe minus 2 p equals x$ :
  $C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of 2 x end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of 2 x end exponent times 2 minus 2 times C open parentheses x close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals x$
  $C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals x space divided by divided by e to the power of 2 x end exponent$
  $C apostrophe open parentheses x close parentheses equals x times e to the power of negative 2 x end exponent space divided by \integral$
  $integral C apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals \integral x times e to the power of negative 2 x end exponent d x space$
  Całkę liczymy przez części: $integral u times v apostrophe equals u times v minus \integral v times u apostrophe$
  $C open parentheses x close parentheses equals open vertical bar table row cell u equals x end cell cell v apostrophe equals e to the power of negative 2 x end exponent d x end cell row cell u apostrophe equals d x end cell cell v equals negative 1 half e to the power of negative 2 x end exponent end cell end table close vertical bar equals x times open parentheses negative 1 half e to the power of negative 2 x end exponent close parentheses minus \integral open parentheses negative 1 half e to the power of negative 2 x end exponent close parentheses times d x equals$
  $equals negative x over 2 e to the power of negative 2 x end exponent plus 1 half \integral e to the power of negative 2 x end exponent d x equals negative x over 2 e to the power of negative 2 x end exponent plus 1 half times open parentheses negative 1 half e to the power of negative 2 x end exponent close parentheses plus C equals$
  $negative x over 2 e to the power of negative 2 x end exponent minus 1 fourth e to the power of negative 2 x end exponent plus C equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C$
  Tak wyliczoną stałą wstawiam do równania z „uzmiennioną” stałą:
  $p open parentheses x close parentheses equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C times e to the power of 2 x end exponent$
  Dalej, $p open parentheses x close parentheses equals y apostrophe open parentheses x close parentheses$ , czyli
  $y apostrophe open parentheses x close parentheses equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent space divided by \integral$
  $y open parentheses x close parentheses equals \integral y apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals \integral open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent close parentheses d x equals$
  $equals negative fraction numerator x squared plus x over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 over 2 e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 2$
  Sposób 2.
  $p apostrophe minus 2 p equals x$
  Podstawa: $p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses$ , czyli $p equals u v$ . Wtedy
  $p apostrophe equals u apostrophe v plus u v apostrophe$ , i zapiszemy, podstawiając wyniki do pierwotnego równania:
  $u apostrophe v plus u v apostrophe minus 2 u v equals x$
  $u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x$
  Wyznaczymy funkcję $v equals v open parentheses x close parentheses$ w taki sposób, żeby wyraz w nawiasie był równym zera:
  $v apostrophe minus 2 v equals 0$
  $fraction numerator d v over denominator d x end fraction equals 2 v$
  $fraction numerator d v over denominator v end fraction equals 2 d x$
  $integral fraction numerator d v over denominator v end fraction equals \integral 2 d x$
  $ln open vertical bar v close vertical bar equals 2 x$
  Uwaga! Do prawej czężci tego równania stałą C nie dodajemy. Dalej:
  $e to the power of ln open vertical bar v close vertical bar end exponent equals e to the power of 2 x end exponent$
  $open vertical bar v close vertical bar equals e to the power of 2 x end exponent$
  $v equals e to the power of 2 x end exponent$
  Podstawiamy do równania, w ktorym były nawiasy:
  $u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x$
  $u apostrophe times e to the power of 2 x end exponent plus u times 0 equals x$
  $u apostrophe e to the power of 2 x end exponent equals x$
  $u apostrophe equals x e to the power of negative 2 x end exponent$
  Skorzystamy z wyników, otrzymanych podczas obliczeń w sposób 1:
  $u open parentheses x close parentheses equals \integral u apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals \integral x e to the power of negative 2 x end exponent d x equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C$
  Stąd
  $p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses equals open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent$
  i, odpowiednio,
  $y open parentheses x close parentheses equals \integral y apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals \integral p open parentheses x close parentheses d x equals \integral open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent close parentheses d x equals$
  $negative fraction numerator x squared plus x over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 over 2 e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 2$
RN pisze:
30 maja 2014 o 12:01
Witam mam problem z równaniem y’=y(2(x^3)-1) y=(2)=1
a mianowicie przy liczeniu rozwiązania szczególnego.
Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  30 maja 2014 o 12:31
  Zakładam, że warunek początkowy był taki: y(2)=1
  Jedziemy 🙂
  ${y}'=y\left( 2{{x}^{3}}-1 \right)$
  $\frac{dy}{dx}=y\left( 2{{x}^{3}}-1 \right)\quad /:y/\cdot dx$
  $\frac{dy}{y}=\left( 2{{x}^{3}}-1 \right)dx\quad /\int{{}}$
  $\int{\frac{dy}{y}}=\int{\left( 2{{x}^{3}}-1 \right)dx}$
  $\int{\left( 2{{x}^{3}}-1 \right)dx}=\int{2{{x}^{3}}dx}-\int{dx}=2\int{{{x}^{3}}dx}-x+C=2\cdot \frac{1}{4}{{x}^{4}}-x+C=\frac{1}{2}{{x}^{4}}-x+C$
  $\ln \left| y \right|=\frac{1}{2}{{x}^{4}}-x+C\quad /{{e}^{\left( \ldots \right)}}$
  ${{e}^{\ln \left| y \right|}}={{e}^{\frac{1}{2}{{x}^{4}}-x+C}}$
  $y={{e}^{\frac{1}{2}{{x}^{4}}-x}}\cdot {{e}^{C}}$
  $y=C{{e}^{\frac{1}{2}{{x}^{4}}-x}}$
  Teraz uwzględniamy warunek początkowy:
  $1=C{{e}^{\frac{1}{2}\cdot {{2}^{4}}-2}}$
  $1=C{{e}^{6}}\quad /:{{e}^{6}}$
  $C=\frac{1}{{{e}^{6}}}$
  Zatem nasza odpowiedź to:
  ${{y}_{sz}}=\frac{1}{{{e}^{6}}}\cdot {{e}^{\frac{1}{2}{{x}^{4}}-x}}=\frac{{{e}^{\frac{1}{2}{{x}^{4}}-x}}}{{{e}^{6}}}={{e}^{\frac{1}{2}{{x}^{4}}-x-6}}$
Monika pisze:
11 czerwca 2014 o 19:50
Witam, mam problem z różniczka: dy/dx+y/x=2 proszę o pomoc
Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  13 czerwca 2014 o 19:47
  Po pierwsze: to jest „równanie różniczkowe”, a nie: „różniczka” 🙂
  A po drugie…
  $\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=2$
  Równanie jest także liniowe, ale rozwiążę je jako jednorodne względem y i x:
  Podstawiam:
  $t=\frac{y}{x}$
  $y=tx$
  ${y}'={{\left( tx \right)}^{\prime }}={t}'x+t{x}'={t}'x+t$
  Wracam się do równania z tymi podstawieniami:
  ${t}'x+t+t=2$
  $\frac{dt}{dx}x+2t=2$
  $\frac{dt}{dx}x=2-2t\quad /:x/\cdot dx/\left( 2-2t \right)$
  $\frac{dt}{2-2t}=\frac{dx}{x}\quad /\int{{}}$
  $\int{\frac{dt}{2-2t}}=\int{\frac{dx}{x}}$
  Całkę po lewej stronie liczę na boku:
  $\int{\frac{dt}{2-2t}}=\left| \begin{matrix} & u=2-2t \\ & du=-2dt \\ & dt=\frac{du}{-2} \\ \end{matrix} \right|=-\frac{1}{2}\ln \left| u \right|+C=-\frac{1}{2}\ln \left| 2-2t \right|+C$
  $-\frac{1}{2}\ln \left| 2-2t \right|=\ln \left| x \right|+C\quad /\cdot \left( -2 \right)$
  $\ln \left| 2-2t \right|=-2\ln \left| x \right|+C\quad /{{e}^{\left( \ldots \right)}}$
  ${{e}^{\ln \left| 2-2t \right|}}={{e}^{-2\ln \left| x \right|+C}}$
  ${{e}^{\ln \left| 2-2t \right|}}={{e}^{\ln {{\left| x \right|}^{-2}}}}\cdot {{e}^{C}}$
  $2-2t=C\cdot \frac{1}{{{x}^{2}}}$
  $-2\cdot \frac{y}{x}=C\cdot \frac{1}{{{x}^{2}}}-2\quad /\cdot x/:\left( -2 \right)$
  $y=\frac{C}{x}+x$
Aleksandra pisze:
30 czerwca 2014 o 18:27
A to jak by Pan rozwiązał :y'-2/x*y=4x^3 ? Mam potem problem ze ”skreśleniem”.
Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  23 lipca 2014 o 20:06
  Nie wiem, czy dobrze odczytałem, lecę metodami z mojego Kursu Video do równań różniczkowych:
  ${y}'-\frac{2}{x}y=4{{x}^{3}}$
  ${y}'-\frac{2}{x}y=0$
  $\frac{dy}{dx}=\frac{2y}{x}$
  $\frac{dy}{y}=\frac{2dx}{x}\quad /\int{\left( \ldots \right)}$
  $\int{\frac{dy}{y}}=\int{\frac{2dx}{x}}$
  $\ln \left| y \right|=2\ln \left| x \right|+C$
  $\ln \left| y \right|=\ln {{\left| x \right|}^{2}}+C\quad /{{e}^{\left( \ldots \right)}}$
  ${{e}^{\ln \left| y \right|}}={{e}^{\ln {{\left| x \right|}^{2}}+C}}$
  ${{e}^{\ln \left| y \right|}}={{e}^{\ln {{\left| x \right|}^{2}}}}{{e}^{C}}$
  $y=C{{x}^{2}}$
  $y=C\left( x \right){{x}^{2}}$
  ${y}'={C}'\left( x \right){{x}^{2}}+C\left( x \right)\cdot 2x$
  Podstawiając do wyjściowego równania:
  ${C}'\left( x \right){{x}^{2}}+C\left( x \right)\cdot 2x-\frac{2}{x}C\left( x \right){{x}^{2}}=4{{x}^{3}}$
  ${C}'\left( x \right){{x}^{2}}+2xC\left( x \right)-2xC\left( x \right)=4{{x}^{3}}$
  ${C}'\left( x \right){{x}^{2}}=4{{x}^{3}}\quad /:{{x}^{2}}$
  ${C}'\left( x \right)=4x\quad /\int{\left( \ldots \right)}$
  $C\left( x \right)=\int{4x}dx=2{{x}^{2}}+C$
  I mam rozwiązanie:
  $y=\left( 2{{x}^{2}}+C \right){{x}^{2}}=2{{x}^{4}}+C{{x}^{2}}$
Paweł pisze:
2 lipca 2014 o 10:32
Witam, dziękuję za kalkulator, super sprawa 🙂 Aczkolwiek chyba to dla mnie niewystarczające, bo nie potrafię dojść do tego czemu nie wychodzi mi takie rozwiązanie jak powinno. Jakbym mógł prosić o pomoc w rozwiązaniu równania różniczkowego to byłbym bardzo wdzięczny 🙂 Równanie: x * y' = y * ln (x/y)
Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  16 lipca 2014 o 20:06
  Witam. To równanie jednorodne względem y i x, polecam odpowiednią Lekcję z mojego Kursu Równań Różniczkowych, na której omawiam wszystkie potrzebne patenty i przejścia.
  $x{y}'=yln \left( \frac{x}{y} \right)$
  $x{y}'=yln \left( \frac{x}{y} \right)\quad /:x$
  ${y}'=\frac{y}{x}ln \left( \frac{1}{\tfrac{y}{x}} \right)\quad /:x$
  Teraz odpowiednie podstawienie:
  $t=\frac{y}{x}$
  $y=tx$
  ${y}'={{\left( tx \right)}^{\prime }}={t}'x+t$
  ${t}'x+t=tln \left( \frac{1}{t} \right)$
  $\frac{dt}{dx}x=tln \left( \frac{1}{t} \right)-t\quad /\cdot dx/:x$
  $dt=t\left( ln \left( \frac{1}{t} \right)-1 \right)\frac{dx}{x}\quad /:t\left( ln \left( \frac{1}{t} \right)-1 \right)$
  $\frac{dt}{t\left( ln \left( \tfrac{1}{t} \right)-1 \right)}=\frac{dx}{x}\quad /\int{{}}$
  $\int{\frac{dt}{t\left( ln \left( \tfrac{1}{t} \right)-1 \right)}}=\int{\frac{dx}{x}}$
  Na boku liczę całkę $\int{\frac{dt}{t\left( ln \left( \tfrac{1}{t} \right)-1 \right)}}$
  $\int{\frac{dt}{t\left( ln \left( \tfrac{1}{t} \right)-1 \right)}}=\int{\frac{dt}{t\left( ln \left( {{t}^{-1}} \right)-1 \right)}}=\int{\frac{dt}{t\left( -ln t-1 \right)}}=\left| \begin{matrix} & u=-ln t-1 \\ & du=-\frac{1}{t}dt \\ & -du=\frac{dt}{t} \\ \end{matrix} \right|=\int{\frac{-du}{u}}=-ln \left| u \right|+C=$
  $=-ln \left| -ln t-1 \right|+C$
  Wracam się z wynikiem do równania różniczkowego:
  $-ln \left| -ln t-1 \right|=ln \left| x \right|+C$
  $ln \left| -ln t-1 \right|=-ln \left| x \right|+C$
  $ln \left| -ln t-1 \right|=ln {{\left| x \right|}^{-1}}+C\quad /{{e}^{\left( \ldots \right)}}$
  ${{e}^{ln \left| -ln t-1 \right|}}={{e}^{ln {{\left| x \right|}^{-1}}}}{{e}^{C}}$
  $-ln t-1=\frac{C}{x}$
  $-ln t=\frac{C}{x}+1$
  $ln t=\frac{C}{x}-1\quad /{{e}^{\left( \ldots \right)}}$
  $t={{e}^{\tfrac{C}{x}-1}}$
  $\frac{y}{x}={{e}^{\tfrac{C}{x}-1}}\quad /\cdot x$
  $y=x{{e}^{\tfrac{C}{x}-1}}$ – i to jest wynik 🙂
2. Paweł pisze:
  4 września 2014 o 22:17
  Bardzo dziękuję, jestem niezmiernie wdzięczny 🙂 A z Pana lekcji na pewno skorzystam 🙂
Joanna pisze:
13 sierpnia 2014 o 11:01
Witam mam problem z równaniem różniczkowym dy/dx- (2yx)/(x^2 + 4)= 1/(x+2) bardzo proszę o pomoc byłabym bardzo wdzięczna 🙂
Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  14 sierpnia 2014 o 12:06
  Witam, to zwykłe liniowe, z tym, że trochę się przedłuży, bo wyjdzie po drodze całka wymierna. Lecę metodami z mojego Kursu Równań Różniczkowych:
  $\frac{dy}{dx}-\frac{2x}{{{x}^{2}}+4}y=\frac{1}{x+2}$
  $\frac{dy}{dx}-\frac{2x}{{{x}^{2}}+4}y=0$
  $\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{{{x}^{2}}+4}y\quad /:y/\cdot dx$
  $\frac{dy}{y}=\frac{2x}{{{x}^{2}}+4}dx\quad /\int{{}}$
  $\int{\frac{dy}{y}}=\int{\frac{2x}{{{x}^{2}}+4}dx}$
  $ln \left| y \right|=ln \left| {{x}^{2}}+4 \right|+C\quad /{{e}^{\left( \ldots \right)}}$
  ${{e}^{ln \left| y \right|}}={{e}^{ln \left| {{x}^{2}}+4 \right|+C}}$
  $\left| y \right|={{e}^{ln \left| {{x}^{2}}+4 \right|}}{{e}^{C}}$
  $y=C\left( {{x}^{2}}+4 \right)$
  $y=C\left( x \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)$
  ${y}'={C}'\left( x \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)+C\left( x \right)2x$
  ${C}'\left( x \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)+C\left( x \right)2x-\frac{2x}{{{x}^{2}}+4}C\left( x \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)=\frac{1}{x+2}$
  ${C}'\left( x \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)=\frac{1}{x+2}\quad /:\left( {{x}^{2}}+4 \right)$
  ${C}'\left( x \right)=\frac{1}{\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)}\quad /\int{{}}$
  $C\left( x \right)=\int{\frac{1}{\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)}dx}$
  No i to jest właśnie ta wymierna do rozwalenia. Prosta, ale żmudna. Pokazuję cały schemat na tej Lekcji, a tutaj tylko stosuję:
  $\int{\frac{1}{\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)}dx}$
  $\frac{1}{\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)}=\frac{A}{x+2}+\frac{Bx+C}{{{x}^{2}}+4}\quad /\cdot \left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)$
  $1=A\left( {{x}^{2}}+4 \right)+\left( Bx+C \right)\left( x+2 \right)$
  $1=A{{x}^{2}}+4A+B{{x}^{2}}+2Bx+Cx+2C$
  $\{ \begin{matrix} & 0=A+B\quad \Rightarrow A=-B \\ & 0=2B+C \\ & 1=4A+2C \\ \end{matrix}$
  $\{ \begin{matrix} & 0=2B+C\quad \Rightarrow C=-2B \\ & 1=-4B+2C \\ \end{matrix}$
  $1=-4B-4B$
  $B=-\frac{1}{8}$
  $C=\frac{1}{4},A=\frac{1}{8}$
  Wracam się do całki:
  $\int{\frac{1}{\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)}dx}=\int{\frac{\tfrac{1}{8}}{x+2}dx}+\int{\frac{-\tfrac{1}{8}x+\tfrac{1}{4}}{{{x}^{2}}+4}dx}=$
  $=\frac{1}{8}\int{\frac{1}{x+2}dx}-\frac{1}{8}\int{\frac{x}{{{x}^{2}}+4}dx+\frac{1}{4}\int{\frac{1}{{{x}^{2}}+4}dx}}=$
  Tu trochę przyspieszę, bo wszystkie trzy całki są proste:
  $=\frac{1}{8}ln \left| x+2 \right|-\frac{1}{16}ln \left| {{x}^{2}}+4 \right|+\frac{1}{8}arctg\frac{x}{2}+C$
  Mając rozwiązaną całkę, wracam się do równania:
  $C\left( x \right)=\frac{1}{8}ln \left| x+2 \right|-\frac{1}{16}ln \left| {{x}^{2}}+4 \right|+\frac{1}{8}arctg\frac{x}{2}+C$
  Czyli jeszcze jeden „powrót” i mam rozwiązanie:
  $y=\left( \frac{1}{8}ln \left| x+2 \right|-\frac{1}{16}ln \left| {{x}^{2}}+4 \right|+\frac{1}{8}arctg\frac{x}{2}+C \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)$
2. Joanna pisze:
  20 sierpnia 2014 o 21:15
  Dziękuje za pomoc 🙂
studentka pisze:
22 września 2014 o 18:03
Bardzo proszę o rozwiązanie tego równania różniczkowego próbowałam wiele razy i wychodzą mi jakieś głupoty. Bardzo proszę o pomoc : 2y’lnt+y/t=(1/y)(cost)^2
Odpowiedz
1. Kamil Kocot pisze:
  17 października 2016 o 02:11
  Równanie
  $2 y apostrophe ln t plus y over t equals 1 over y cos squared t$
  jest równaniem różniczkowym Bernoulliego tzn. równaniem typu
  $p \left parenthesis x right parenthesis times y apostrophe plus q \left parenthesis x right parenthesis times y equals r \left parenthesis x right parenthesis times y to the power of n$ .
  Rozwiążemy je zgodnie ze schematem podanym w kursie Pana Krystiana
  https://akademia.etrapez.pl/wybor-kursu/rownania-rozniczkowe/lekcja-4-niektore-rownania-nieliniowe-rzedu-pierwszego-rownanie-rozniczkowe-rodziny-linii/
  Z postaci równania wynika, że $n equals negative 1$ . Robimy podstawienie $z equals y to the power of 1 minus n end exponent$ czyli $z equals y \squared$ . Następnie obliczamy pochodną pamiętając o tym, że y jest funkcją zmiennej t, zatem pochodną $y \squared$ wyliczamy jako pochodną złożoną tzn.
  $z equals y \squared z apostrophe equals 2 y y apostrophe$
  Wracamy do równania, troszeczkę przekształcamy i podstawiamy to co powyżej
  $2 y apostrophe ln t plus y over t equals 1 over y cos squared t space divided by asterisk times y 2 y y apostrophe ln t plus y squared over t equals cos squared t z apostrophe ln t plus z over t equals cos squared t$
  Powyższe równanie jest równaniem liniowym, rozwiązujemy je metodą uzmienniania stałej
  1) Równanie jednorodne
  $z apostrophe ln t plus z over t equals 0 fraction numerator d z over denominator d t end fraction ln t equals negative z over t d z space ln t equals negative z over t d t minus fraction numerator d z over denominator z end fraction equals fraction numerator 1 over denominator t times ln t end fraction d t minus ln vertical line z vertical line equals ln vertical line ln t vertical line plus C space ln vertical line z to the power of negative 1 end exponent vertical line equals ln vertical line ln t vertical line plus C space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent e to the power of ln vertical line z to the power of negative 1 end exponent vertical line end exponent equals e to the power of ln vertical line ln t vertical line plus C end exponent equals e to the power of negative ln vertical line ln t vertical line end exponent times e to the power of C z to the power of negative 1 end exponent equals C times ln t \left right double arrow 1 over z equals C times ln t rightwards double arrow z equals fraction numerator 1 over denominator C times ln t end fraction equals 1 over C times fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction equals C times fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction$
  2) Uzmiennianie stałej
  $z equals C \left parenthesis t right parenthesis space fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction z apostrophe equals C apostrophe \left parenthesis t right parenthesis fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction plus C \left parenthesis t right parenthesis times fraction numerator negative 1 times begin display style 1 over t end style over denominator ln squared t end fraction equals C apostrophe \left parenthesis t right parenthesis fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction minus C \left parenthesis t right parenthesis times fraction numerator 1 over denominator t ln squared t end fraction$
  Wstawiamy do $z apostrophe ln t plus z over t equals cos squared t$ i dostajemy
  $open parentheses C apostrophe \left parenthesis t right parenthesis fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction minus C \left parenthesis t right parenthesis times fraction numerator 1 over denominator t ln squared t end fraction close parentheses ln t plus fraction numerator C \left parenthesis t right parenthesis fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction over denominator t end fraction equals cos squared t C apostrophe \left parenthesis t right parenthesis minus C \left parenthesis t right parenthesis times fraction numerator 1 over denominator t times ln t end fraction plus fraction numerator C \left parenthesis t right parenthesis over denominator t times ln t end fraction equals cos squared t C apostrophe \left parenthesis t right parenthesis equals cos squared t C \left parenthesis t right parenthesis equals \integral cos squared t space d t space equals 1 half open parentheses t plus sin t cos t close parentheses plus C$
  Po wstawieniu do 2) mamy
  $z equals C \left parenthesis t right parenthesis fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction equals open square brackets 1 half open parentheses t plus sin t cos t close parentheses plus C close square brackets fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction z equals fraction numerator t plus sin t cos plus 2 C over denominator 2 end fraction times fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction z equals fraction numerator t plus sin t cos plus 2 C over denominator 2 ln t end fraction$
  Na sam koniec powracamy z podstawieniem $y squared equals z$ czyli
  $y squared equals z rightwards double arrow y equals plus-or-minus square root of z y equals plus-or-minus square root of fraction numerator t plus sin t cos plus 2 C over denominator 2 ln t end fraction end root$
  Uwaga! Program Wolfram zwraca troszkę inny wynik ale jest on równoważny powyższemu.
JOANNA pisze:
17 października 2014 o 12:21
proszę o rozwiązanie równania u”-u'-y=0 lub p'-p-y=0. Bardzo proszę o pomoc.
Odpowiedz
Karolina pisze:
7 stycznia 2015 o 00:01
A równań różniczkowych II rzędu nie liczy?
Odpowiedz
Kamil pisze:
31 stycznia 2015 o 15:40
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu równania:
y’=y+y/x+x
Odpowiedz
1. Kamil Kocot pisze:
  17 października 2016 o 01:15
  Mamy tutaj równanie liniowe, które można zapisać w postaci
  $y apostrophe minus y open parentheses 1 plus 1 over x close parentheses equals x$ .
  1) Rozwiązujemy równanie jednorodne
  $y apostrophe minus y open parentheses 1 plus 1 over x close parentheses equals 0 fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals y open parentheses 1 plus 1 over x close parentheses d y equals y open parentheses 1 plus 1 over x close parentheses d x fraction numerator d y over denominator y end fraction equals open parentheses 1 plus 1 over x close parentheses d x space divided by \integral ln vertical line y vertical line equals x plus ln vertical line x vertical line plus C space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent e to the power of ln vertical line y vertical line end exponent equals e to the power of x plus ln vertical line x vertical line plus C end exponent equals e to the power of x e to the power of ln vertical line x vertical line end exponent e to the power of C y equals C x e to the power of x$
  2) Uzmienniamy stałą
  $y equals C \left parenthesis x right parenthesis x e to the power of x$
  i obliczamy pochodną jako iloczyn 3 funkcji
  $y apostrophe equals C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis x e to the power of x plus C \left parenthesis x right parenthesis e to the power of x plus C \left parenthesis x right parenthesis x e to the power of x$ .
  Wstawiając do równania początkowego $y apostrophe minus y open parentheses 1 plus 1 over x close parentheses equals x$ dostajemy
  $C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis x e to the power of x plus C \left parenthesis x right parenthesis e to the power of x plus C \left parenthesis x right parenthesis x e to the power of x minus C \left parenthesis x right parenthesis x e to the power of x open parentheses 1 plus 1 over x close parentheses equals x C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis x e to the power of x plus C \left parenthesis x right parenthesis e to the power of x plus C \left parenthesis x right parenthesis x e to the power of x minus C \left parenthesis x right parenthesis x e to the power of x minus C \left parenthesis x right parenthesis e to the power of x equals x C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis x e to the power of x equals x C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis e to the power of x equals 1 space divided by asterisk times e to the power of negative x end exponent C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis equals e to the power of negative x end exponent space divided by \integral C \left parenthesis x right parenthesis equals \integral e to the power of negative x space end exponent d x equals negative e to the power of negative x end exponent plus C$
  Następnie powracając do 2) i wstawiając w miejsce C(x) otrzymujemy rozwiązani
  $y equals open parentheses negative e to the power of negative x end exponent plus C close parentheses x e to the power of x y equals negative x plus C x e to the power of x$
ROck pisze:
10 maja 2015 o 19:09
Kto pomoże ? y'-(y +cosx)sinx=0
Odpowiedz
1. Kamil Kocot pisze:
  17 października 2016 o 00:51
  Mamy tu do czynienia z równaniem liniowym I-go rzędu. Rozwiązujemy w dwóch etapach 1) równanie jednorodne i 2) równanie niejednorodne metodą uzmienniania stałej.
  $y apostrophe minus open parentheses y plus cos x close parentheses sin x equals 0 y apostrophe minus y sin x equals sin x cos x$
  1) Równanie jednorodne
  $y apostrophe minus y sin x equals 0 fraction numerator d y over denominator d x end fraction minus y sin x equals 0 fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals y sin x d y equals y sin x space d x fraction numerator d y over denominator y end fraction equals sin x space d x space divided by \integral integral fraction numerator d y over denominator y end fraction equals \integral sin x space d x ln vertical line y vertical line equals negative cos x plus C space divided by e to the power of horizontal ellipsis e to the power of ln vertical line y vertical line end exponent equals e to the power of negative cos x plus C end exponent equals e to the power of negative cos x end exponent e to the power of C y equals C e to the power of negative cos x end exponent$
  2) Uzmiennianie stałej
  $y equals C \left parenthesis x right parenthesis e to the power of negative cos x end exponent y apostrophe equals C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis e to the power of negative cos x end exponent plus C \left parenthesis x right parenthesis e to the power of negative cos x end exponent sin x$
  Wstawiamy do równania $y apostrophe minus y sin x equals sin x cos x$ i dostajemy
  $C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis e to the power of negative cos x end exponent plus C \left parenthesis x right parenthesis e to the power of negative cos x end exponent sin x minus C \left parenthesis x right parenthesis e to the power of negative cos x end exponent sin x equals sin x cos x C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis e to the power of negative cos x end exponent equals sin x cos x space divided by asterisk times e to the power of cos x end exponent C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis equals sin x cos x e to the power of cos x end exponent C \left parenthesis x right parenthesis equals \integral sin x cos x e to the power of cos x end exponent d x$
  Wyliczamy całkę na boku
  $table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row cell \integral sin x cos x e to the power of cos x end exponent d x end cell equals cell open vertical bar table row cell cos x equals t end cell row cell negative sin x space d x equals d t end cell row cell sin x space d x equals negative d t end cell end table close vertical bar equals negative \integral t e to the power of t d t end cell row blank equals cell open vertical bar table row t cell e to the power of t end cell row 1 cell e to the power of t end cell end table close vertical bar equals negative open parentheses t e to the power of t minus e to the power of t close parentheses plus C equals e to the power of t minus t e to the power of t plus C end cell row blank equals cell open parentheses 1 minus cos x close parentheses e to the power of cos x end exponent plus C end cell end table$
  czyli $C \left parenthesis x right parenthesis equals open parentheses 1 minus cos x close parentheses e to the power of cos x end exponent plus C$ oraz ostateczna odpowiedź po wstawieniu do 2) za C(x):
  $y equals open square brackets open parentheses 1 minus cos x close parentheses e to the power of cos x end exponent plus C close square brackets asterisk times e to the power of negative cos x end exponent y equals C e to the power of negative cos x end exponent plus \left parenthesis 1 minus cos x right parenthesis$
Piter pisze:
8 lutego 2016 o 12:29
Proszę o pomoc u”+u=cos2x
Odpowiedz
1. Syll pisze:
  23 maja 2016 o 20:04
  xdy/dx-y = 2x^3
  pilnie proszę o pomoc..
2. Kamil Kocot pisze:
  16 października 2016 o 12:47
  Równanie $u apostrophe apostrophe plus u equals cos 2 x$ jest równaniem różniczkowym rzędu II-ego. Rozwiążemy je w dwóch etapach, najpierw równanie jednorodne a później równanie niejednorodne metodą przewidywań. Wszystko zostało omówione też w lekcji Pana Krystiana
  https://akademia.etrapez.pl/wybor-kursu/rownania-rozniczkowe/lekcja-5-rownania-rozniczkowe-ii-rzedu-liniowe-o-stalych-wspolczynnikach-sprowadzalne-do-rownan-i-go-rzedu/
  Zatem
  1) Etap I (za prawą stronę podstawiamy zero, rozwiązujemy równanie charakterystyczne)
  $u apostrophe apostrophe plus u equals 0 r squared plus 1 equals 0 r squared equals negative 1 r equals plus-or-minus i$
  Ponieważ rozwiązanie wychodzi zespolone $r equals \alpha plus-or-minus \beta i$ stąd rozwiązaniem równania jednorodnego jest zgodnie ze schematem $u subscript j equals e to the power of \alpha x end exponent open parentheses C subscript 1 cos \beta x plus C subscript 2 i sin \beta x close parentheses$ czyli
  $u subscript j equals e to the power of 0 x end exponent open parentheses cos 1 x plus i sin 1 x close parentheses u subscript j equals cos x plus i sin x$
  2) Etap II
  Przewidujemy rozwiązanie równania niejednorodnego $u apostrophe apostrophe plus u equals cos 2 x$ na podstawie funkcji znajdującej się po prawej stronie tj. $r \left parenthesis x right parenthesis equals cos 2 x$ . Przewidujemy je jako
  $u subscript p equals A cos 2 x plus B sin 2 x$
  Podane $u subscript p$ nie zawiera się w rozwiązaniu równania jednorodnego (mamy w nim $cos x$ a tu jest $cos 2 x$ ), tym samym jest to dobre rozwiązanie. W dalszym etapie wyliczamy $u apostrophe comma space u apostrophe apostrophe$ i podstawiamy do początkowego równania.
  $u subscript p apostrophe equals negative 2 A sin 2 x plus 2 B cos 2 x u subscript p apostrophe apostrophe equals negative 4 A cos 2 x minus 4 B sin 2 x u apostrophe apostrophe plus u equals cos 2 x minus 4 A c o s 2 x minus 4 B sin 2 x plus A c o s 2 x plus B sin 2 x equals c o s 2 x$
  Porównując współczynniki przy $cos 2 x comma space sin 2 x$ po lewej i prawej stronie dostajemy
  $open negative 4 A plus A equals 1 minus 4 B plus B equals 0 close curly brackets rightwards double arrow A equals negative 1 divided by 3 semicolon space B equals 0$
  czyli
  $u subscript p equals negative bevelled 1 third cos 2 x$
  Odp.: $u equals u subscript j plus u subscript p equals C subscript 1 cos x plus C subscript 2 sin x minus bevelled 1 third cos 2 x$
Syll pisze:
23 maja 2016 o 20:05
x*dy/dx-y = 2x^3
pilnie proszę o pomoc..
Odpowiedz
1. Kamil Kocot pisze:
  15 października 2016 o 05:33
  Witam
  To jest zwykłe równanie liniowe, rozwiążę je metodą uzmienniania stałej.
  $x asterisk times fraction numerator d y over denominator d x end fraction minus y equals 2 x cubed$
  1) równanie jednorodne
  $x asterisk times fraction numerator d y over denominator d x end fraction minus y equals 0 x asterisk times fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals y x d y equals y d x space fraction numerator d y over denominator y end fraction equals fraction numerator d x over denominator x end fraction integral fraction numerator d y over denominator y end fraction equals \integral fraction numerator d x over denominator x end fraction ln open vertical bar y close vertical bar equals ln open vertical bar x close vertical bar plus C y equals C asterisk times x$
  Przejście w ostatniej linijce jest standardowe, należy zapamiętać bo to wynika z definicji logarytmu, własności logarytmu
  $log subscript a b equals c \left right double arrow b equals a to the power of c a to the power of log subscript a x end exponent equals x$
  oraz własności potęgowania. Wyjaśnienie jest następujące
  $ln open vertical bar f \left parenthesis x right parenthesis close vertical bar equals ln open vertical bar g \left parenthesis x right parenthesis close vertical bar plus C f \left parenthesis x right parenthesis equals e to the power of ln open vertical bar g \left parenthesis x right parenthesis close vertical bar plus C end exponent equals e to the power of ln open vertical bar g \left parenthesis x right parenthesis close vertical bar end exponent e to the power of C equals g \left parenthesis x right parenthesis asterisk times C subscript 1 rightwards double arrow f \left parenthesis x right parenthesis equals C asterisk times g \left parenthesis x right parenthesis$
  gdzie przyjmujemy w skrócie, że $e to the power of C equals C subscript 1 equals C$ .
  Powracając do przykładu, w punkcie
  2) uzmienniamy stałą tzn.
  $y equals C \left parenthesis x right parenthesis asterisk times x$
  3) Obliczamy pochodną $y apostrophe equals C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis asterisk times x plus C \left parenthesis x right parenthesis asterisk times 1$
  4) Wstawiamy do początkowego równania (zarówno y jak i y') tzn.
  $x asterisk times fraction numerator d y over denominator d x end fraction minus y equals 2 x cubed x asterisk times open parentheses C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis asterisk times x plus C \left parenthesis x right parenthesis asterisk times 1 close parentheses minus C \left parenthesis x right parenthesis asterisk times x equals 2 x cubed C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis asterisk times x squared plus C \left parenthesis x right parenthesis asterisk times x minus C \left parenthesis x right parenthesis asterisk times x equals 2 x cubed C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis asterisk times x squared equals 2 x cubed C apostrophe \left parenthesis x right parenthesis equals 2 x C \left parenthesis x right parenthesis equals \integral 2 x d x C \left parenthesis x right parenthesis equals x squared plus C$
  Wyliczone C(x) wstawiamy do punktu 2) i dostajemy rozwiązanie
  $y equals \left parenthesis x squared plus C right parenthesis asterisk times x$
Martyna pisze:
18 października 2016 o 15:49
Jak potraktować takie równanie:d^(2)x/dt^2 + x =0potrzebuję tylko początkowego wyjścia.Nie jestem pewna czy mogę zapisać to w takiej postaci: x” +x =0
Odpowiedz
1. Anna Zalewska pisze:
  2 listopada 2016 o 13:55
  $fraction numerator d squared x over denominator d t squared end fraction plus x equals 0$
  Faktycznie, można to równanie zapisać w postaci: $x apostrophe apostrophe plus x equals 0$ , gdzie $x equals x \left parenthesis t right parenthesis$ .
  Mamy tu do czynienia z równaniem różniczkowym drugiego rzędu linowym jednorodnym o stałych współczynnikach.
  Dla takiego równania przewidujemy rozwiązanie szczególne w postaci funkcji wykładniczej: $x equals e to the power of s t end exponent$ .
  Mamy więc: $x apostrophe equals s e to the power of s t end exponent semicolon space space space space x apostrophe apostrophe equals s squared e to the power of s t end exponent$ .
  Podstawiamy do podanego równania i otrzymujemy:
  $s squared e to the power of s t end exponent plus e to the power of s t end exponent equals 0 space space space space space space space space space space space space divided by colon e to the power of s t end exponent$
  $s squared plus 1 equals 0$
  Ponieważ w tym równaniu mamy $capital delta less than 0$ , postąpimy według następującego schematu:
  $s subscript 1 equals a plus b i semicolon space space space space space s subscript 2 equals a minus b i$
  całki szczególne: $x subscript 1 equals e to the power of a t end exponent cos \left parenthesis b t right parenthesis semicolon space space space space space x subscript 2 equals e to the power of a t end exponent sin \left parenthesis b t right parenthesis$
  całka ogólna: $x equals e to the power of a t end exponent open parentheses C subscript 1 cos \left parenthesis b t right parenthesis plus C subscript 2 sin \left parenthesis b t right parenthesis close parentheses$
  
  Dla naszego przykładu:
  $s subscript 1 equals i semicolon space space space space space s subscript 2 equals negative i$
  całki szczególne: $x subscript 1 equals e to the power of 0 t end exponent cos t equals cos t semicolon space space space space space x subscript 2 equals e to the power of 0 t end exponent sin t equals sin t$
  całka ogólna: $x equals e to the power of 0 t end exponent open parentheses C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t close parentheses equals C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t$
Mateusz pisze:
7 grudnia 2016 o 17:11
y(x) = x (y'(x) – y”(x)) bardzo proszę o pomoc z tym rownaniem.
Odpowiedz
Paulina pisze:
20 grudnia 2016 o 14:10
Witam można prosić o pomoc? Ogólnie mam takie równanie: $mu space equals space R times space fraction numerator phi subscript o minus space phi subscript n over denominator 4 times n end fraction space times c t g beta$ i z tego potrzebuję : $fraction numerator \partial differential mu over denominator \partial differential R end fraction$ , $fraction numerator \partial differential mu over denominator \partial differential phi subscript o end fraction$ , $fraction numerator \partial differential mu over denominator \partial differential phi subscript n end fraction$ , $fraction numerator \partial differential mu over denominator \partial differential \beta end fraction$ . Niby wiem na jakiej zasadzie to działa, ale nie mam pojęcia jak to rozpisać. Byłabym bardzo wdzięczna za pomoc i ewentualne wytłumaczenie.
Odpowiedz
1. Paulina pisze:
  20 grudnia 2016 o 14:27
  : $mu equals space fraction numerator R \left parenthesis phi subscript o space minus space phi subscript n right parenthesis space c t g \beta over denominator 4 times n end fraction$ , to czy te rozwiązania są poprawne? $fraction numerator \partial differential mu over denominator \partial differential R end fraction space space equals space fraction numerator 1 \left parenthesis space phi subscript o space end subscript minus space phi subscript n right parenthesis space c t g space \beta over denominator 4 n end fraction$ $fraction numerator \partial differential mu over denominator \partial differential phi subscript o end fraction space equals space fraction numerator R space \left parenthesis space 1 space minus space phi subscript n right parenthesis space c t g \beta over denominator 4 n end fraction$ $fraction numerator \partial differential mu over denominator \partial differential phi subscript n end fraction space equals space fraction numerator R space \left parenthesis space phi subscript o space end subscript minus space 1 right parenthesis space c t g \beta over denominator 4 n end fraction$ czy to raczej totalna głupota?
Ada pisze:
28 stycznia 2017 o 23:36
3 dy/dx = – [1 + 3y kwadrat] y(0) = 1/3
Nie mogę sobie poradzić z tą całką. Proszę o pomoc.
Odpowiedz
ewcia5665 pisze:
18 kwietnia 2017 o 12:49
ydy/dx=1-x
Odpowiedz
1. Joanna Grochowska pisze:
  27 kwietnia 2017 o 08:12
  $y fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals 1 minus x$
  Jest to równanie liniowe o zmiennych rozdzielonych, doprowadzam do tego, by po jednej stronie mieć same „y”, po drugie stronie wyrażenia z „x” i pozostałe.
  $y fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals 1 minus x space space space space divided by times d x$
  $y space d y equals open parentheses 1 minus x close parentheses space d x$
  Całkuję obie strony
  $integral space y space d y equals \integral open parentheses 1 minus x close parentheses space d x$
  $1 half y squared equals x minus 1 half x squared plus C space space space divided by times 2$
  $y squared equals 2 x minus x squared plus C subscript 1 space$
  $y equals square root of 2 x minus x squared plus C subscript 1 space end root space space space space l u b space space y equals negative square root of 2 x minus x squared plus C subscript 1 space end root$
ewcia5665 pisze:
18 kwietnia 2017 o 13:09
ydy/dx=1-xy dx/dy=(1-x)ydy=(1-x)dx $integral y d y equals \integral x d x$ y^2=x^2+c i nie nie wiem co dalej
Odpowiedz
1. Joanna Grochowska pisze:
  27 kwietnia 2017 o 08:13
  Domyślam się, że to to samo równanie zamieszczone wyżej prawda? Wyżej pokazałam jak je rozwiązać 🙂
andtom pisze:
29 maja 2017 o 09:00
Czy mógłbym prosić o rozwiązanie równania różniczkowego xdx+(y+1)dy=0Wartości y otrzymuje w postaci uwikłanej, czy jest jakiś sposób na rozwikłanie tego.
Odpowiedz
1. Joanna Grochowska pisze:
  29 maja 2017 o 11:38
  $space x space d x plus \left parenthesis y plus 1 right parenthesis space d y equals 0$
  Jest to równanie liniowe o zmiennych rozdzielonych. Porządkuję więc je tak, by po jednej stronie mieć wyrażenia związane z „y”, a po drugiej z „x”.
  $left parenthesis y plus 1 right parenthesis space d y equals space minus x space d x$ – całkuję obustronnie
  $integral \left parenthesis y plus 1 right parenthesis space d y equals space \integral negative x space d x$
  $1 half y squared plus y space equals space minus 1 half x squared plus C$
  Mam więc rozwiązane równanie, ale w postaci uwikłanej (tzn. nie mam wprost wyliczonego „y=….”, ale jakieś wyrażenie z „y”).
  Alby je „rozwikłać”, czyli wyliczyć samego „y”, musimy popatrzeć jakie mamy to wyrażenie/równanie z igrekami. Jak widać jest to równanie kwadratowe, z tym że inaczej niż pamiętamy ze szkoły średniej (bo nie na „x”, ale na „y” – to jest moja zmienna). Dla pełnej jasności przeniosę wszystko na jedną stronę
  $1 half y squared plus y space plus 1 half x squared minus C equals 0$
  Stąd mam że: $a equals 1 half space space space comma space space space b equals 1 space space comma space c equals 1 half x squared minus C$
  Liczę deltę: $increment equals b squared minus 4 a c equals 1 squared minus 4 times 1 half times open parentheses 1 half x squared minus C close parentheses equals 1 minus x squared plus 4 C space equals space 1 minus x squared plus C subscript 1$
  Stąd moje wartości y, czyli „jawne” rozwiązania:
  $y subscript 1 equals fraction numerator negative b minus square root of increment over denominator 2 a end fraction equals fraction numerator negative 1 minus square root of 1 minus x squared plus C subscript 1 end root over denominator 2 times begin display style 1 half end style end fraction equals negative square root of negative x squared plus 1 plus C subscript 1 end root space minus 1$
  $y subscript 2 equals fraction numerator negative b plus square root of increment over denominator 2 a end fraction equals fraction numerator negative 1 plus square root of 1 minus x squared plus C subscript 1 end root over denominator 2 times begin display style 1 half end style end fraction equals square root of negative x squared plus 1 plus C subscript 1 end root plus 1$
2. andtom pisze:
  30 maja 2017 o 06:08
  Serdeczne dzięki za pomoc. Pozdrawiam.
andtom pisze:
30 maja 2017 o 09:48
Mam jeszcze problem z następujacym zadaniem:( x^2+2xy-y^2)dx+(y^2+2xy-x^2)dy=0Nie jest ono zupełne bo różniczki nie są takie same, nie są też postaci f(y/x)O ile to możliwe, to prosiłbym o pomoc.Z góry dziękujęAndtom
Odpowiedz
Krzysiek22 pisze:
1 czerwca 2017 o 20:00
Witam, mam problem z rozwiązaniem równania y’+ty=t za pomocą czynnika całkującego. Przez uzmiennianie stałej wychodzi mi dobry wynik y=1+Ce^(-0,5t^2).Z góry dziękuję
Odpowiedz
Maciej1 pisze:
6 czerwca 2017 o 21:10
Witam, mam problem z rozwiązaniem równania (2xy^2-y)dx+(y^2+x+y)=0.
Odpowiedz
Ania pisze:
22 czerwca 2017 o 11:06
Witam. Czy mógłby mi ktoś pomóc z równaniem : x^2*y’=sin(1/x)? 🙁
Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  18 lipca 2017 o 15:08
  To będzie równanie o zmiennych rozdzielonych. Pójdzie to tak (polecam tutaj mój Kurs, gdzie pokazuję, jak to się robi):
  $x squared y apostrophe equals sin 1 over x x squared fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals sin 1 over x space space divided by times d x space colon x squared d y equals fraction numerator sin 1 over x over denominator x squared end fraction d x \integral d y equals \integral fraction numerator sin 1 over x over denominator x squared end fraction d x$
  …
  Całkę po prawej stronie rozwiązujemy „na boczku” przez podstawienie:
  $integral fraction numerator sin begin display style 1 over x end style over denominator x squared end fraction d x equals open vertical bar table row cell t equals fraction numerator begin display style 1 end style over denominator begin display style x end style end fraction end cell row cell d t equals negative 1 over x squared d x end cell end table close vertical bar equals \integral negative sin t d t equals cos t plus C equals cos 1 over x plus C$
  Wracając więc do równania mamy:
  …
  $y equals cos 1 over x plus C$
  I rozwiązane.
BBB pisze:
28 sierpnia 2017 o 15:50
W kursie, w lekcji drugiej jest błąd, w przykładzie $y apostrophe equals fraction numerator y squared minus x y over denominator x squared minus x y plus y squared end fraction$ , w momencie $fraction numerator d t over denominator d x end fraction cross times x equals fraction numerator t squared minus t over denominator 1 minus t plus t squared end fraction minus t$ za „t” podstawiasz $fraction numerator 1 minus t plus t squared over denominator 1 minus t plus t squared end fraction$ a przecież mamy podstawić „t” a nie „1”, dzięki temu rozwinięcie przykładu wygląda zupełnie inaczej, wynik pewnie też. Pozdrawiam. Prosiłbym o ewentualne rozwinięcie prawidłowego przykładu.
Odpowiedz
Dawid pisze:
8 grudnia 2017 o 13:55
y1=(1-y1-y2)y1 y’2=(a-y2-4a2y1)y2 a to jak zapisać ?
Odpowiedz
1. Dawid pisze:
  8 grudnia 2017 o 13:56
  dla a=0.1
haniasss pisze:
21 stycznia 2018 o 18:54
Potrzebuję pomocy z rozwiązaniem następującego zdania:y(3)+y'-10y=10e^x*sin2x
Odpowiedz
Berner paulina pisze:
25 stycznia 2018 o 14:33
pomoze mi ktos rozwiazac zadanie ?x’=pod pierwiastkiem arctg(t) / t^2+1
Odpowiedz
Moniaa pisze:
3 marca 2018 o 13:45
Witam. Pomoże ktoś w rozwiązaniu układu dx/dt=y dy/dt=-x metodą różniczkowa?
Odpowiedz
Kumori pisze:
18 kwietnia 2018 o 14:21
Dzień dobry! Czy ktoś jest w stanie pomóc mi z analitycznym rozwiązaniem krok po kroku równania:y' + 3 y = 4 Sin4x, y(0)=1Z góry dziękuję!
Odpowiedz
Kasia pisze:
16 maja 2018 o 12:39
Potrzebuję pomocy z równaniem różniczkowym II rzędu: y”- 2y' +2y = [e^(2x)] +xy=yj + ypPoliczyłam yj= [e^(x)]*(C1cosx + C2sinx)Nie wiem jak policzyć yp, czy ktoś wie jak to rozwiązać?
Odpowiedz
1. Kasia pisze:
  16 maja 2018 o 12:45
  y”- 2y’ +2y = [e^(2x)] +x piszę jeszcze raz, bo pomimo spacji źle się zapisało
eliza pisze:
17 maja 2018 o 10:24
Dzień dobry Potrzebuje pomocy w rozwiązaniu następującego równaniady/dx=x/y* (1+x)/(1+y)
Odpowiedz
Kasia pisze:
17 maja 2018 o 13:56
Dzień dobry, czy ktoś mógłby mi pomóc z rozwiązaniem równania różniczkowego: (y”)^2 =4y' Byłabym wdzięczna za pomoc 🙂
Odpowiedz
Paweł pisze:
22 maja 2018 o 19:39
a co jeśli mamy równanie i do tego warunki początkowe x0 ,y0=…….
Odpowiedz
Łukasz pisze:
12 czerwca 2018 o 14:58
$integral fraction numerator square root of ln x end root over denominator x end fraction d x$ $integral open parentheses 3 x squared plus 5 x minus 1 close parentheses e to the power of x d x$ $integral open parentheses 2 x squared plus 1 close parentheses ln x d x$ tą chyba rozwiązałęm mam taki wynik = $fraction numerator 2 x squared plus 1 over denominator x end fraction minus 4 x plus C$ to jest ok?
Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  13 czerwca 2018 o 11:04
  Pierwsza pójdzie tak (metoda przez podstawienie):
  $integral fraction numerator square root of ln x end root over denominator x end fraction d x equals open vertical bar table row cell t equals ln x end cell row cell d t equals 1 over x d x end cell end table close vertical bar equals \integral square root of t d t equals \integral t to the power of begin inline style 1 half end style end exponent d t equals fraction numerator 1 over denominator 1 plus 1 half end fraction t to the power of 1 plus begin inline style 1 half end style end exponent plus C equals equals fraction numerator 1 over denominator 3 over 2 end fraction t to the power of begin inline style 3 over 2 end style end exponent plus C equals 2 over 3 t to the power of begin inline style 3 over 2 end style end exponent plus C equals fraction numerator begin display style 2 end style over denominator begin display style 3 end style end fraction open parentheses ln x close parentheses to the power of begin inline style 3 over 2 end style end exponent plus C$
  Druga przez części:
  $integral open parentheses 3 x squared plus 5 x minus 1 close parentheses e to the power of x d x equals open vertical bar table row cell u open parentheses x close parentheses equals 3 x squared plus 5 x minus 1 end cell cell v apostrophe open parentheses x close parentheses equals e to the power of x end cell row cell u apostrophe open parentheses x close parentheses equals 6 x plus 5 end cell cell v open parentheses x close parentheses equals e to the power of x end cell end table close vertical bar equals equals open parentheses 3 x squared plus 5 x minus 1 close parentheses e to the power of x minus \integral open parentheses 6 x plus 5 close parentheses e to the power of x d x equals open vertical bar table row cell u open parentheses x close parentheses equals 6 x plus 5 end cell cell v apostrophe open parentheses x close parentheses equals e to the power of x end cell row cell u apostrophe open parentheses x close parentheses equals 6 end cell cell v open parentheses x close parentheses equals e to the power of x end cell end table close vertical bar equals equals open parentheses 3 x squared plus 5 x minus 1 close parentheses e to the power of x minus open square brackets open parentheses 6 x plus 5 close parentheses e to the power of x minus \integral 6 e to the power of x d x close square brackets equals open parentheses 3 x squared plus 5 x minus 1 close parentheses e to the power of x minus open parentheses 6 x plus 5 close parentheses e to the power of x plus 6 \integral e to the power of x d x equals equals 3 x squared e to the power of x plus 5 x e to the power of x minus e to the power of x minus 6 x e to the power of x minus 5 e to the power of x plus 6 e to the power of x plus C equals 3 x squared e to the power of x minus x e to the power of x plus C equals equals open parentheses 3 x squared minus x close parentheses e to the power of x plus C$
  Trzecia też przez części:
  $integral open parentheses 2 x squared plus 1 close parentheses ln x d x equals open vertical bar table row cell u open parentheses x close parentheses equals ln x end cell cell v apostrophe open parentheses x close parentheses equals 2 x squared plus 1 end cell row cell u apostrophe open parentheses x close parentheses equals 1 over x end cell cell v open parentheses x close parentheses equals 2 over 3 x cubed plus x end cell end table close vertical bar equals open parentheses 2 over 3 x cubed plus x close parentheses ln x minus \integral 1 over x open parentheses 2 over 3 x cubed plus x close parentheses d x equals equals open parentheses 2 over 3 x cubed plus x close parentheses ln x minus \integral open parentheses 2 over 3 x squared plus 1 close parentheses d x equals open parentheses 2 over 3 x cubed plus x close parentheses ln x minus \integral 2 over 3 x squared d x minus \integral d x equals equals open parentheses 2 over 3 x cubed plus x close parentheses ln x minus 2 over 9 x cubed minus x plus C$
GalachadV (Edyta) pisze:
23 sierpnia 2018 o 21:43
Witam! W jakiej postaci należy przewidzieć rozwiązanie równania niejednorodnego różniczkowego: y” – 2y' +10y = 6e^(x) sin (3x), równanie jednorodne ma rozwiązanie ogólne: y = C(1) e^(x) sin (3x) + C(2) e^(x) cos (3x). Będę wdzięczna za pomoc. Pozdrawiam Edyta (GalachadV)
Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  6 września 2018 o 10:25
  Witam!
  Zaglądamy do odpowiedniej tabelki i orientujemy się, że prawa strona równania pasuje nam do postaci:
  $W I E L O M I A N times e to the power of a x end exponent sin b x space plus space W I E L O M I A N times e to the power of a x end exponent cos b x$
  bo:
  $6 e to the power of x sin 3 x equals 6 times e to the power of 1 times x end exponent sin open parentheses 3 times x close parentheses plus 0 times e to the power of 1 times x end exponent cos open parentheses 3 times x close parentheses$
  $a comma b$ z tabelki równają się odpowiednio $a equals 1 comma space b equals 3$ , WIELOMIAN jest zerowego stopnia (stałe).
  Zgodnie z tabelką, przewidujemy więc rozwiązanie w postaci:
  $y subscript p equals A e to the power of x sin 3 x plus B e to the power of x cos 3 x$
  Nie jest to jednak prawidłowa odpowiedź! Tak jak pokazuję w moim Kursie do równań różniczkowych, trzeba tutaj zorientować się, że…
  Uwaga!
  Rozwiązanie w tej postaci przewidywanej zawiera się w rozwiązaniu równania jednorodnego! ( $y subscript j equals C subscript 1 e to the power of x sin 3 x plus C subscript 2 e to the power of x cos 3 x$ , jaką literką oznaczymy stałą nie ma znaczenia)
  Co w tej sytuacji robimy?
  Ano zwiększamy o 1 stopnie wielomianów w postaci przewidywanej, uzyskując wielomiany pierwszego stopnia, czyli:
  $y subscript p equals open parentheses A x plus B close parentheses e to the power of x sin 3 x plus open parentheses C x plus D close parentheses e to the power of x cos 3 x$
  I to jest dopiero postać, w której przewidujemy rozwiązanie szczególne równania.
  Odp. $y subscript p equals open parentheses A x plus B close parentheses e to the power of x sin 3 x plus open parentheses C x plus D close parentheses e to the power of x cos 3 x$
  Ten i podobne „myki” związane z równaniami różniczkowymi II rzędu pokazuję w mojej Lekcji Video im poświęconej. Cały Kurs tutaj.
Agata pisze:
29 sierpnia 2018 o 13:34
Czy mogłby mi ktoś pomóc z rozwiązaniem ?
y'-y=(x^2+ 2x + 1)e^x
Bardzo proszę ! 🙂
Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  6 września 2018 o 10:43
  Jasne.
  Stosując metodę „uzmienniania stałej”, pokazaną w Lekcji 3 mojego Kursu do równań różniczkowych, jadę tak:
  $y apostrophe minus y equals open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses e to the power of x$
  Rozwiązuję najpierw odpowiadające temu równaniu równanie jednorodne:
  $y apostrophe minus y equals 0 fraction numerator d y over denominator d x end fraction minus y equals 0 fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals y space space space space divided by colon y space space divided by times d x fraction numerator d y over denominator y end fraction equals d x space space space divided by \integral integral fraction numerator d y over denominator y end fraction equals \integral d x ln open vertical bar y close vertical bar equals x plus C space space space space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent e to the power of ln open vertical bar y close vertical bar end exponent equals e to the power of x plus C end exponent open vertical bar y close vertical bar equals e to the power of x times e to the power of C y equals C e to the power of x$
  Mam w ten sposób rozwiązanie równania jednorodnego. W rozwiązaniu tym „uzmienniam stałą” i wiem, że rozwiązanie będzie postaci:
  $y equals C open parentheses x close parentheses e to the power of x$
  Liczę pochodną z tej postaci:
  $y apostrophe equals open square brackets C open parentheses x close parentheses e to the power of x close square brackets apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of x plus C open parentheses x close parentheses open parentheses e to the power of x close parentheses apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of x plus C open parentheses x close parentheses e to the power of x$
  Wstawiam tą postać i jej pochodną do równania na samym początku, czyli do równania $y apostrophe minus y equals open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses e to the power of x$ , i mam:
  $C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of x plus C open parentheses x close parentheses e to the power of x minus C open parentheses x close parentheses e to the power of x equals open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses e to the power of x C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of x equals open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses e to the power of x space space space divided by colon e to the power of x C apostrophe open parentheses x close parentheses equals x squared plus 2 x plus 1 space space space space divided by \integral C open parentheses x close parentheses equals \integral open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses d x integral open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses d x equals \integral x squared d x plus \integral 2 x d x plus \integral d x equals 1 third x cubed plus x squared plus x plus C$
  Czyli:
  $C open parentheses x close parentheses equals 1 third x cubed plus x squared plus x plus C$
  Moje rozwiązanie równania jest więc równe:
  Odp. $y equals open parentheses 1 third x cubed plus x squared plus x plus C close parentheses e to the power of x$
  Zapraszam do mojego Kursu z równań różniczkowych.
Magda pisze:
12 stycznia 2019 o 12:15
mogę prosic o rozwiązanie?
Zadanie. Rozwiązać rownanie różniczkowe postaci y’=3×2-y , w przedziale od x=0 do x=2, warunek początkowy y(0)=-1, krok calkowania h=0,5. Użyć polepszoną metodę eulera. narysować wykres obliczonej funkcji.
Odpowiedz

Granica ciągu z wzorem na liczbę e (VIDEO)

22 stycznia 2021 / Krystian Karczyński

read on

Kup Kurs eTrapez i zgarnij dwupak Red Bull

18 stycznia 2021 / Jan Rychlewski

read on

Dzielenie wielomianów w Z5. Fragment Kursu Rekurencje, Notacja O, Grupy i Pierścienie (VIDEO)

29 grudnia 2020 / Krystian Karczyński

read on