blog

Układ równań z parametrem metodą Gaussa (VIDEO)

Krystian Karczyński

Na filmiku niżej pokazuję, jak rozwiązać układ równań liniowych z parametrem metodą Gaussa. Na studiach często tutaj preferuje się twierdzenie Kroneckera-Capellego, lub bezpośrednio wzory Cramera, ale myślę, że Gauss ma swoje zalety, zobaczcie sami:

Jeśli chcesz się nauczyć metody Gaussa, polecam Ci mocno mój Kurs Macierzy .

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

  1. Anonimowy! pisze:

    Panie Krystianie!

    Wielkie dzieki!

    Jestes niesamowity gość, fenomen na skale miedzynarodową! wszyscy z Krakowa pozdrawiają! 🙂

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Pozdrawiam Kraków 🙂

  2. Natalia pisze:

    Witam serdecznie,
    Spotkałam się na egzaminie z matematyki z poniższym zadaniem:

    Dla jakich wartości p i q układ równań liniowych:
    3x-2y+z=q
    5x-8y+9z=3
    2x+y+pz=1
    ma:
    1. jedno i tylko jedno rozwiązanie
    2. nieskończenie wiele rozwiązań
    3. nie ma rozwiązania

    Po egzaminie otrzymałam informację, że zadanie powinno być rozwiązane metodą Kroneckera (co wzbudziło moje wątpliwości, gdyż dla mnie układ ma więcej niewiadomych niż równań). Wiem że wartość p=-3, a wartość q=-5/3 jednakże nie wiem jak do tego dojść. Czy mogę prosić o podpowiedź? niestety do piątku muszę się przygotować do egzaminu poprawkowego, a nigdzie nie mogę znaleźć odpowiedzi. Wolfram określił wartości, aczkolwiek nie rozumiem w jaki sposób zostały one uzyskane. Będę wdzięczna za odpowiedź :). Pozdrawiam, Natalia

    1. Natalia pisze:

      poprawka – chodziło o metodę cramera

    2. Krystian Karczyński pisze:

      Witam. Przepraszam, że nie odpowiedziałem, ale pozwolę sobie rozwiązać to zadanie, może komuś się przyda.

      Układ ma tylko trzy niewiadome: x,y i z. Zmienne p i q to nie są niewiadome, to są parametry, które trzeba wyznaczyć. Jak najbardziej można więc stosować wzory Cramera.

      Zasady są takie:

      1. Układ ma jedno i dokładnie jedno rozwiązanie, gdy wyznacznik główny jest różny od zera.

      2. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy wyznacznik główny jest równy zero i wszystkie wyznaczniki przy zmiennych są równe zero.

      3. Układ nie ma rozwiązań, gdy wyznacznik główny jest równy zero i chociaż jeden wyznacznik przy zmiennych jest różny od zera.

      W=\left| \begin{matrix}
      3 & -2 & 1 \\
      5 & -8 & 9 \\
      2 & 1 & p \\
      \end{matrix} \right|=-24p+5-36+16-27+10p=-14p-42

      -14p-42=0

      -14p=42\quad /:\left( -3 \right)

      p=-3

      W=0 dla p=-3 i W0 dla r-3. Zatem: układ ma jedno i tylko jedno rozwiązanie dla p-3 i wszystko jedno dla jakiego q.

      Dla p=-3:

      {{W}_{x}}=\left| \begin{matrix}
      q & -2 & 1 \\
      3 & -8 & 9 \\
      1 & 1 & -3 \\
      \end{matrix} \right|=24q+3-18+8-9q-18=15q-25

      15q-25=0

      15q=25\quad /:15

      q=\frac{5}{3}

      Czyli dla q\ne \frac{5}{3}i p=-3 układ nie ma rozwiązania.

      Liczę dalej dla p=-3 i q=5/3:

      {{W}_{y}}=\left| \begin{matrix}
      3 & \frac{5}{3} & 1 \\
      5 & 3 & 9 \\
      2 & 1 & -3 \\
      \end{matrix} \right|=-27+5+30-6-27+25=0

      {{W}_{z}}=\left| \begin{matrix}
      3 & -2 & \frac{5}{3} \\
      5 & -8 & 3 \\
      2 & 1 & 1 \\
      \end{matrix} \right|=-24+\frac{25}{3}-12+\frac{80}{3}-9+10=0

      Zatem, mogę pisać odpowiedź:

      1. Układ ma jedno i tylko jedno rozwiązanie dla p-3

      2. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań dla p=-3 i q=5/3.

      3. Układ nie ma rozwiązania dla p=-3 i q5/3.

    3. Natalia pisze:

      bardzo dziękuję za odpowiedź :). Życzę sukcesów. Natalia

    4. ula pisze:

      4×1 + 7×2 -3×3 = 12×1 + (m-1)x2 +3×3 = 5-x1 + 2×2 – 4×3 = -3dla jakiej wartości m układ równań liniowych jest nieoznaczony a dla jakiej sprzeczny bardzo proszę o pomoc!!

    5. ula pisze:

      tu lepiej widać ten układ 🙁

  3. Maro pisze:

    Gdybym teraz chciał wyznaczyć to rozwiązanie dla p-3 to liczę tak samo wyznacznik macierzy i wyznaczniki dla zmiennych, tyle że bez podstawiania za p i q?

  4. Kasia pisze:

    Nigdzie, ale to nigdzie nie mogę znaleźć odpowiedzi na moje pytanie, a niestety muszę znać odpowiedz. Jeżeli jest układ liniowy i są już zrobione schodki i na jednym z nich są 2 wartości to muszę zastosować parametr – to wiem. Ale w jakim przypadku nie mogłabym użyć któregoś z nich? Cały czas byłam przekonana, że nie ma różnicy która z wartości wezmę jako parametr. Pomocy! ?