
Kilka Rzeczy, Których Powinieneś Się Dobrze Nauczyć w Średniej, Ale Nikt Ci Tego Nie Powiedział – część 5 Obustronne mnożenie lub dzielenie nierówności

Krystian Karczyński
Założyciel i szef serwisu eTrapez.
Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.
Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.
W tym poście będę kontynuował tematykę zagadnień ze szkoły średniej, na które – być może – nie miałeś położonego zbyt wielkiego nacisku, a które bardzo ułatwią Ci życie na studia.
To już część 5 – jeśli wskoczyłeś tutaj dopiero teraz możesz zerknąć na 4 poprzednie posty 🙂
Tutaj zajmę się obustronnym mnożeniem i dzieleniem nierówności.
Dzielenie nierówności? A to już chyba wiem, o co chodzi…
No tak. Wszyscy już wiemy (chociaż czasami zapominamy) o zmianie znaku nierówności przy mnożeniu/dzieleniu jej przez liczbę ujemną.
Na przykład:
/:(-2)
(zmienił się znak nierówności, bo podzieliłem obie strony przez liczbę ujemną)
albo:
/
(znak nierówności się zmienił po pomnożeniu obu stron przez liczbę ujemną)
Co jednak z mnożeniem i dzieleniem nie przez LICZBĘ, tylko przez ZMIENNĄ, na przykład:
Możemy zrobić takie mnożenie i wyjść na:
…?
Prawidłowa odpowiedź to: NIE, NIE MOŻEMY.
Pamiętamy zasadę: “Jeśli mnożymy przez dodatnią nie zmieniamy znaku, jeśli mnożymy przez ujemną zmieniamy”. Mnożąc przez zmienną
Jeśli tego nie wiemy, nie możemy przechodzić na…
…bo na taką nierówność moglibyśmy wyjść tylko wtedy, kiedy mnożylibyśmy przez liczbę dodatnią (nie zmieniając znaku), a tego NIE WIEMY.
Analogiczna zasada obowiązuje w dzieleniu, nie możemy więc wykonać sobie czegoś takiego:
…bo, jeszcze raz powtórzmy: nie wiemy, czy x jest liczbą dodatnią, czy ujemną.
Podsumowując więc
Nie dzielimy obustronnie nierówności przez zmienne.
I jeszcze….
Ciekawostka
Jeżeli – skądinąd – mielibyśmy informację, że zmienna (albo całe wyrażenie) przez które obustronnie chcemy pomnożyć/podzielić JEST zawsze dodatnie (albo ujemne) możemy sobie śmiało mnożyć/dzielić.
Na przykład jeśli dziedziną (o dziedzinie będzie jeszcze post powtórkowy później)
Wtedy MOŻEMY machnąć sobie…
…pamiętając jednak o tym, żeby w otrzymanym zbiorze rozwiązań uwzględnić dziedzinę (wziąć z niego tylko
Bestsellery w tym miesiącu
-
Kurs Statystyka
Studia / Autor: mgr Krystian Karczyński 39,00 zł Dodaj do koszyka -
Kurs Prawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo, Statystyka, Ekonometria / Autor: mgr Krystian Karczyński 39,00 zł Dodaj do koszyka -
Kurs Równania Różniczkowe
Analiza / Autor: mgr Krystian Karczyński 39,00 zł Dodaj do koszyka -
Kurs Mechanika – Statyka
Fizyka / Autor: mgr inż. Adam Kasprzak 39,00 zł Dodaj do koszyka -
Kurs Ekonometria
Ekonometria / Autor: mgr Joanna Grochowska 39,00 zł Dodaj do koszyka
Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?
Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.
Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.
@Bob Tak, oczywiście, poprawiłem i dziękuję za zwrócenie uwagi.
W tym miejscu jest błąd
albo:
zakładam że miał Pan na myśli –
na samym początku prawda ?
Na Pańskim kursie Liczb Zespolonych spotkałem się z obustronnym dzieleniem przez jednostkę urojoną “i”.
I tak zastanawiam się jak to jest z tym dzieleniem. Skoro i^2 to -1, a i = \sqrt(-1), to do końca nie wiadomo czy dzieląc przez “i” dzielimy przez liczbę ujemną, bo przecież pierwiastek z takowej w rzeczywistych nie istnieje ;).
No, ale jakbyśmy to sobie wszystko do kwadratu podnieśli (obie strony nierówności) i podzielili przez i^2 które przecież wynosi -1, to znak wypadałoby zmienić, prawda?
Z góry dziękuję za odpowiedź, kurs fajny 🙂
Cześć!
Dzięki za pytanie. Serio jest gdzieś tam dzielenie przez “i”? Może jest ale na pewno w RÓWNOŚCI, a nie w NIERÓWNOŚCI.
Mnożyć i dzielić równości przez liczby dodatnie, ujemne i takie, o których nie wiem, czy są dodatnie, czy ujemne można bez problemu (no chyba, że nie chcemy po takim pomnożeniu “zepsuć” wykresu funkcji po lewej stronie równania – jak pokazuję w moim Kursie Pochodnych).
Problem jest tylko z dzieleniem i mnożeniem nierówności, w których nie możemy np. podzielić przez ‘x’, gdy nie wiemy, czy x jest liczbą dodatnią, czy ujemną.
Z zespolonymi liczbami w ogóle nie bawimy się w nierówności – bo nie określamy liczb zespolonych nie-rzeczywistych jako “dodatnich”, albo “ujemnych”, albo “większych” albo “mniejszych” 🙂
O proszę.
Ma Pan całkowitą rację, ten ostatnie przykład z Lekcji 7 absolutnie nie powinien znaleźć się w Kursie, bo wyszła z niego nierówność zespolona…
Czyli cały przykład jest źle ułożony przeze mnie i nie da się go “rozwiązać”.
Wszystkie wcześniejsze nierówności są O.K., bo rachują na sprzężeniach, częściach rzeczywistych i urojonych – czyli liczbach rzeczywistych.
Przepraszam i bardzo dziękuję za świetne i trafne pytanie.
Tak, tak, zgadza się o to mi chodziło. Rozwiązanie nierówności x-1>0 to zbiór


, dziedzina to zbiór 

, czyli rozwiązanie CAŁEJ nierówności to:



(część rozwiązania ostatniej nierówności i dziedziny)
…pamiętając jednak o tym, żeby w otrzymanym zbiorze rozwiązań uwzględnić dziedzinę:
Mamy dwa warunki:
x>1 i x należy (0, nieskończoność) więc rozwiązaniem będzie zbiór x należy (1, nieskończoność)
To tak a propos ostatnich dwóch linijek…