श्रेणी: इंटीग्रल्स

मैंने एक नया व्याख्यान लिखा है जो पूरी तरह से हाइपरबोलिक फ़ंक्शंस और उनके विपरीत के लिए समर्पित है। इसमें मैं समझाता हूं कि हाइपरबोलिक फ़ंक्शंस क्या हैं, वे कब – उदाहरण के लिए – उपयोगी होते हैं, और क्यों वे कभी-कभी Wolfram के परिणामों में दिखते हैं, जो आमतौर पर छात्रों के बीच डर पैदा करते हैं। हालांकि, हाइपरबोलिक साइन इतना भी डरावना नहीं है – मैं आपको व्याख्यान में आमंत्रित करता हूं।

विश्वविद्यालयों में प्रोफेसरों की अपनी मांगें होती हैं। अपने छात्रों की भलाई के लिए, वे समस्याओं को हल करने के नियमों को बहुत विस्तार से निर्दिष्ट करने में संकोच नहीं करते।

कुछ लोग कुछ अनिश्चित समाकल के लिए तैयार सूत्रों को मान्यता नहीं देते। देखें कि वे कहां से आए हैं।

मान लीजिए हमें एक दीर्घवृत्त की आयतन गणना करनी है: {x^2}/4+{y^2}/5+{z^2}/9=1। यह एक दीर्घवृत्त है जो क्रमशः 2, \sqrt{5} और 3 पर x, y, z अक्षों को काटता है।

यह एक घूर्णन दीर्घवृत्त नहीं है, यह किसी भी वक्र को किसी भी अक्ष के चारों ओर घुमाकर नहीं बनता है, इसलिए हम घूर्णन निकाय की आयतन के मानक सूत्र का उपयोग नहीं कर सकते। हमें कुछ और सोचना होगा।

पिछली पोस्टों में, मैंने दिखाया कि बहुपद ax^2+bx+c के अवकलों में यूएलर प्रतिस्थापन का उपयोग कैसे करें।

जब a>0 था तब यूएलर प्रतिस्थापन I प्रकार का उपयोग किया गया था, और जब c>0 था तब यूएलर प्रतिस्थापन II प्रकार का उपयोग किया गया था। इस पोस्ट में, हम यूएलर प्रतिस्थापन के तीसरे और अंतिम प्रकार से निपटेंगे, जिसे तब उपयोग किया जा सकता है जब अवकल में द्विघात बहुपद के दो अलग-अलग मूल x1, x2 हों, अर्थात जब इसका डेल्टा धनात्मक हो। देखें कि इस मामले में क्या करना है।

पिछली पोस्ट में: यूलर प्रतिस्थापन का पहला प्रकार, हमने {ax^2+bx+c} त्रिनोम के मूल वाले समाकलों को हल किया, जहाँ a>0।

लेकिन, अगर त्रिनोम में “a” ऋणात्मक हो? तब यूलर प्रतिस्थापन का दूसरा प्रकार, c>0 के लिए, हमारी मदद कर सकता है (लेकिन जरूरी नहीं…)।