यूलर प्रतिस्थापन की तीसरी प्रकार – सारांश
Krystian Karczyński
कृष्टियन कार्चिंस्की
eTrapez सेवा के संस्थापक और प्रमुख।
पोलैंड के पोज़्नान तकनीकी विश्वविद्यालय के गणित में मास्टर। वर्षों से गणित के निजी शिक्षक। पोलैंड के सभी छात्रों के बीच बहुत लोकप्रिय हो चुके eTrapez के पहले कोर्सेज के निर्माता।
स्ज़ेचिन (पोलैंड) में रहते हैं। जंगल में टहलना, समुद्र तट पर आराम करना और कयाकिंग करना पसंद है।
यूएलर प्रतिस्थापन के प्रकार I, II, III – अधिक की आवश्यकता नहीं
पिछली पोस्टों में, मैंने दिखाया कि यूएलर प्रतिस्थापन का उपयोग कैसे किया जाता है, निम्न प्रकार की इंटीग्रल्स में:
- यूएलर प्रतिस्थापन के प्रकार I (जब a>0)
- यूएलर प्रतिस्थापन के प्रकार II (जब c>0)
इस पोस्ट में, हम यूएलर प्रतिस्थापन के तीसरे और अंतिम प्रकार से निपटेंगे, जिसका उपयोग हम तब कर सकते हैं, जब इंटीग्रल में:
द्विघात बहुपद
लेकिन इससे पहले कि हम आगे बढ़ें, आइए ध्यान दें कि ये तीन मामले:
- पहला प्रकार, जब a>0
- दूसरा प्रकार, जब c>0
- तीसरा प्रकार जब दो अलग-अलग मूल होते हैं
हमें प्रत्येक प्रकार की इंटीग्रल को हल करने की अनुमति देते हैं:
वास्तव में, केवल पहले और तीसरे प्रकार ही पर्याप्त हैं।
क्यों?
मामला, जब
लेकिन जब a<0 (पहले प्रकार के अनुकूल नहीं है) और द्विघात बहुपद के एक या कोई भी मूल नहीं है (तीसरे प्रकार के अनुकूल नहीं है) तो क्या करें?
फिर इसका ग्राफ ऐसा दिखेगा (मिडिल स्कूल से याद रखें – बाहें नीचे):
या, यदि इसमें कोई मूल नहीं होते, तो ऐसा:
इसका क्या निष्कर्ष है? कि दोनों ही मामलों में द्विघात बहुपद नकारात्मक मान लेगा (अधिकतम एक बिंदु को छोड़कर), और मैं आपको याद दिला दूं, हम इंटीग्रल की गणना कर रहे हैं:
अर्थात, इंटीग्रल के तहत द्विघात बहुपद जड़ के नीचे है, और जड़ को नकारात्मक मानों से नहीं निकाला जा सकता (हम स्पष्ट रूप से वास्तविक संख्याओं से खेल रहे हैं)। अर्थात, ऐसी फ़ंक्शन का डोमेन अधिकतम एक बिंदु होगा, जो बिल्कुल भी समझ में नहीं आता है, और हम निश्चित रूप से ऐसा उदाहरण नहीं पाएंगे। जब तक कि प्रोफेसर वास्तव में प्रश्नों को बनाने में बहुत थके हुए न हों।
इसलिए, जब a<0 और द्विघात बहुपद
तो, चलिए यूएलर प्रतिस्थापन के तीसरे प्रकार पर चलते हैं।
यूएलर प्रतिस्थापन के प्रकार III
हमारे पास एक इंटीग्रल है:
जिसमें
जहां
यहां हम जो प्रतिस्थापन करते हैं, वह है:
हम इस प्रतिस्थापन को वर्ग करते हैं, बाएँ तरफ का द्विघात बहुपद गुणन रूप में लिखते हैं (हम जानते हैं कि हम कर सकते हैं), दोनों तरफ को
अंत में, हम सभी को प्रारंभिक इंटीग्रल में डालते हैं और एक सामान्यतः कष्टप्रद परिमेय इंटीग्रल पर समाप्त होते हैं।
चलो शुरू करें।
उदाहरण
हमारे
पहले हम गणना करते हैं
हम यूएलर प्रतिस्थापन के तीसरे प्रकार का उपयोग करते हैं:
हम दोनों तरफ को वर्ग करते हैं:
हम बाएँ तरफ के द्विघात बहुपद को गुणन रूप में लिखते हैं (याद रखें
हम दोनों तरफ को
हम
हमारे पास
हमारे पहले प्रतिस्थापन में लौटते हैं, हमारे पास है:
हम निर्धारित
हमने
तो हमने निर्धारित किया है:
, सब कुछ चर
हम सरल बनाते हैं:
जैसा कि अपेक्षित था, हम वास्तव में जटिल परिमेय इंटीग्रल पर आते हैं, जिसे मैं गणना नहीं करूंगा।
अंत में, यह उल्लेखनीय है कि…
यूएलर प्रतिस्थापन के बारे में नोट
हमारे पास एक इंटीग्रल है:
जिसमें:
- पहला प्रकार, जब a>0
- दूसरा प्रकार, जब c>0
- तीसरा प्रकार जब दो अलग-अलग मूल होते हैं
यह स्पष्ट है कि इसे अक्सर यूएलर के दो प्रतिस्थापनों में से किसी एक का उपयोग करके, या यहां तक कि उनमें से किसी एक का उपयोग करके हल किया जा सकता है (जब a>0, c>0 और साथ ही साथ
कोई समस्या नहीं, हालांकि गणना की आसानी के कारण मैं पहले प्रकार का उपयोग करने की सिफारिश करूंगा, यदि यह काम नहीं करता है, तो दूसरा, और यदि यह भी काम नहीं करता है, तो अंततः तीसरा।
यूएलर प्रतिस्थापन का उपयोग करने के बारे में बस इतना ही, मुझे आशा है कि यह आपके अध्ययन में सहायक होगा, और हमेशा की तरह, पोस्ट के नीचे टिप्पणियों में स्वतंत्र महसूस करें।
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