कोसाइन के साथ फ़ंक्शन की उपयोगी सीमा

Krystian Karczyński

कृष्टियन कार्चिंस्की

eTrapez सेवा के संस्थापक और प्रमुख।

पोलैंड के पोज़्नान तकनीकी विश्वविद्यालय के गणित में मास्टर। वर्षों से गणित के निजी शिक्षक। पोलैंड के सभी छात्रों के बीच बहुत लोकप्रिय हो चुके eTrapez के पहले कोर्सेज के निर्माता।

स्ज़ेचिन (पोलैंड) में रहते हैं। जंगल में टहलना, समुद्र तट पर आराम करना और कयाकिंग करना पसंद है।

साइन वाले फ़ंक्शन की सीमाओं के सवालों को हम आमतौर पर इस सूत्र का उपयोग करके हल करते हैं: (आप इस सूत्र की व्युत्पत्ति यहां देख सकते हैं)। मैं इस तरीके को अपने सीमाएँ कोर्स में भी दिखाता हूँ।

प्रश्न: तो कॉसिन x के बारे में क्या?

कॉसिन वाले फ़ंक्शन की सीमा के लिए सूत्र

जाहिर है, यह नहीं होता: , क्योंकि फ़ंक्शन की सीमा बिल्कुल भी अनिश्चित रूप नहीं है।

कॉसिन x वाली सीमाओं के लिए, निम्नलिखित सूत्र अक्सर सहायक होता है:

– कई पाठ्यपुस्तकों में यह सूत्र बिना प्रमाण के “शुरुआत में ही” दिया जाता है, जबकि कई में इसे फ़ंक्शन की सीमा के रूप में प्रस्तुत किया जाता है जिसे पहले गणना करनी होती है।

आपकी स्थिति चाहे जो भी हो, इस सूत्र को निकालने का तरीका जानना फायदेमंद है, और यह इस प्रकार है:

इस बिंदु पर, मैं अंश में त्रिकोणमिति पहचान का उपयोग करता हूँ:

फ़ंक्शन की सीमा की ओर अभिसरण करती है, क्योंकि:

और फ़ंक्शन की सीमा की ओर अभिसरण करती है, क्योंकि , तो हमारे पास परिणाम है: