Wykazywanie, że sinx nie osiąga granicy przy x dążącym do nieskończoności

19 września 2010 przez Krystian Karczyński 8 komentarzy

Mamy granicę funkcji:

Intuicyjnie czujemy, że powyższa granica nie istnieje. x-sy są coraz większe i większe, a wartości sinusa „majtają się” cały czas pomiędzy -1 a 1.

Formalny dowód

Jak jednak formalnie to wykazać i udowodnić?

Z definicji granicy funkcji przy x dążącym do nieskończoności wiemy, że granica istnieje, jeśli dla każdego ciągu argumentów funkcji rozbiegającego w odpowiadający im ciąg wartości funkcji zbiega do tej samej liczby (wtedy ta liczba właśnie jest tą granicą).

Żeby pokazać więc, że taka granica nie istnieje wystarczy wziąść dwa byle jakie ciągi argumentów rozbiegające w i pokazać, że odpowiadające im ciągi wartości zbiegają do dwóch różnych liczb.

Wiemy, że funkcja sinus jest okresowa, mogą to być więc na przykład ciągi:

$x_n_1={pi},2pi,3pi,...=n{pi}$

$x_n_2={pi}/2,{pi}/2+2pi,{pi}/2+4pi,...={pi}/2+2(n-1)pi$

Oczywiście oba ciągi rozbiegają w nieskończoność przy

Teraz spójrzmy na odpowiadające tym ciągom ciągi wartości funkcji :

$f(x_n_1)=sin{pi},sin{2pi},sin{3pi},...=0,0,0...$

$f(x_n_2)=sin{pi}/2,sin({pi}/2+2pi),sin({pi}/2+4pi),...=1,1,1...$

Oczywiście pierwszy ten ciąg zbiega do 0, a drugi ciąg zbiega do 1.

To wystarczy, żeby udowodnić, że granica funkcji:

nie istnieje.

Dołącz do ponad 7 200 użytkowników na Akademii eTrapez

Zarejestruj darmowe konto i uzyskaj natychmiastowy dostęp do 21 Lekcji Video.
Poznaj podstawy matematyczne na studiach. Za darmo. We własnym domu.

Zarejestruj darmowe konto

Komentarze

krecik napisał

5 grudnia 2011 at 16:19

Nie ‚wziąść’ tylko ‚wziąć’, jako humanista czuje się zobowiązany zwrócić Panu uwagę.

Odpowiedz
- Krystian Karczyński napisał
  
  5 grudnia 2011 at 16:39
  
  Dziękuję. Humanistyczny głos jest bardzo potrzebny na tym blogu 🙂
  
  Odpowiedz
Agata napisał

21 czerwca 2012 at 23:44

A w takim razie mam pytanie. Jeśli mam
lim n-> nieskończoności z sinx/x to jaki będzie wynik tej granicy? Mnie wysżło pi/2 ale mam wątpliwości czy to tak ma być ….

Odpowiedz
Agata napisał

22 czerwca 2012 at 00:22

Napisałam pi/2 dlatego, że stwierdziłam że nie moge zastosować wzoru na limn->- sinx/x =1
dlatego że w tym wzorrze lim dąży do 0 a w rozwiązywanym preze mnie przykładzie lim n dąży do nieskończoności.
Wobec tego zrobiłam małą szaloną twórczość 😀 i sinx/sinx razy sin , potem poskracałam wyszło mi sin 1 a z tabelki finkcji trygonometrycznych napisałam że sin1 =pi/2

Miałam ten przykład dzisiaj na kolosie i mam szczere wątpliwości czy nie napisałam głupot :/

Proszę mi pomóc – jaka miało być prawidłowe rozwiazanie?

Odpowiedz
- Krystian Karczyński napisał
  
  9 października 2012 at 10:11
  
  Witam, prawidłowe rozwiązanie to $0$ 🙂
  
  Oczywiście, nie można zastosować wzoru $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=1$ , bo x nie dąży do zera.
  
  To trzeba ruszyć twierdzeniem o trzech funkcjach, które omawiam w tym poście . To jest taki jakby odpowiednik twierdzenia o trzech ciągach.
  
  sinx jest zawsze mniejsze lub równe od 1 i większe lub równe od -1, zatem na pewno:
  
  $\frac{-1}{x}\le \frac{\sin x}{x}\le \frac{1}{x}$
  
  Teraz liczę granice z funkcji ograniczających z dołu i z góry i pokazuję, że są równe sobie:
  
  $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}=0$
  
  $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-1}{x}=0$
  
  Zatem, na mocy twierdzenia o trzech funkcjach, wynika stąd, że: $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=0$
  
  Odpowiedz
  - Damianos napisał
    
    30 września 2016 at 23:37
    
    No zajebiście wytłumaczone tutaj, tak samo zrobiłem te zadanie ;P
    
    Odpowiedz
Kuba napisał

23 listopada 2015 at 17:45

Jak należało by to zrobić dla sinx^3?

Odpowiedz
Łukasz napisał

16 kwietnia 2017 at 23:21

czy ktos pomoze zbadac zbieznosc calki okreslonej na przedziale od zera do nieskonczonosci i funkcji podcalkowej xsinxdx

Odpowiedz