Blog eTrapez

Matematyka na studiach i w szkole średniej

logo
Główna / Granice / Granica ciągu / Granica ciągu z sumą nieskończoną

Granica ciągu z sumą nieskończoną

przez 3 komentarzy

Weźmy następującą granicę ciągu:

{lim}under{n{right}{infty}}(1/{1*2}+1/{2*3}+1/{3*4}+...+1/{(n-1)*n})

W zadaniu jakoś tak „wyczuwamy”, że trzeba korzystać ze wzorów na sumę ciągu (arytmetycznego lub geometrycznego) ale niestety, niestety… Ten ciąg nie jest ani arytmetyczny, ani geometryczny…

Co robić?

Trzeba to zrobić zupełnie inaczej. Każdy ułamków rozłożyć na ułamki proste. Robi się dosyć intensywnie takie rzeczy przy okazji całek nieoznaczonych wymiernych na przykład. Chodzi o to, żeby znaleźć takie stałe A i B, żeby…

1/{(n-1)*n}=A/{n-1}+B/n

Mnożymy obie strony powyższego równania przez (n-1)*n, otrzymując:

1=An+B(n-1)

Dalej:

1=An+Bn-B

Porównujemy współczynniki wielomianów po lewej i prawej stronie (równość wielomianów – szkoła średnia) i mamy układ równań:

Układ równań w rozkładzie na ułamki prosteZ drugiego równania: B=-1

Wstawiając to do pierwszego równania:

A-1=0

Mamy także A=1

Nasz dowolny ułamek więc można rozłożyć na:

1/{(n-1)*n}=1/{n-1}+{-1}/n

1/{(n-1)*n}=1/{n-1}-1/n

Wracając więc do naszej granicy ciągu i rozkładając każdy z ułamków na ułamki proste:

{lim}under{n{right}{infty}}(1/{1*2}+1/{2*3}+1/{3*4}+...+1/{(n-1)*n})

{lim}under{n{right}{infty}}(1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/{n-1}-1/n)

Skracając część składników zostanie nam:

{lim}under{n{right}{infty}}(1-1/n)

A ta granica ciągu nie jest już straszna, rzecz jasna:

{lim}under{n{right}{infty}}(1-1/n)=1

W kategorii: Granica ciągu, Granice, Studia

Darmowe konto na eTrapez

Uzyskaj dostęp do 22 Lekcji Video i poznaj podstawy edukacji matematycznej na studiach i w szkole średniej.

Otrzymuj powiadomienia o nowych materiałach eTrapez, a także kody rabatowe i promocje.

[wppb-register]

Reader Interactions

Komentarze

    • Tak, jasne. Mamy wielomian:

      1=An+Bn-B

      Porównujemy za sobą wielomian po lewej i prawej stronie. A konkretnie współczynniki przy odpowiednich potęgach.

      Współczynnik przy npo lewej równy jest 0(bo o lewej w ogóle nie ma składnika z n). Współczynnik przy npo prawej jest równy A+B, bo takie są współczynniki przy npo prawej stronie. Stąd równanie:

      0=A+B

      Wyraz wolny (liczba nie będąca w ogóle współczynnikiem jakiejś potęgi n) po lewej równy jest 1. Po prawej: -B. Stąd równanie:

      1=-B

      🙂

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *