Granica ciągu z sumą nieskończoną – Blog eTrapez

Komentarzy Dołącz do dyskusji

Granica ciągu z sumą nieskończoną

Krystian Karczyński

Weźmy następującą granicę ciągu:

{lim}under{n{right}{infty}}(1/{1*2}+1/{2*3}+1/{3*4}+...+1/{(n-1)*n})

W zadaniu jakoś tak „wyczuwamy”, że trzeba korzystać ze wzorów na sumę ciągu (arytmetycznego lub geometrycznego) ale niestety, niestety… Ten ciąg nie jest ani arytmetyczny, ani geometryczny…

Co robić?

Trzeba to zrobić zupełnie inaczej. Każdy ułamków rozłożyć na ułamki proste. Robi się dosyć intensywnie takie rzeczy przy okazji całek nieoznaczonych wymiernych na przykład. Chodzi o to, żeby znaleźć takie stałe A i B, żeby…

1/{(n-1)*n}=A/{n-1}+B/n

Mnożymy obie strony powyższego równania przez (n-1)*n , otrzymując:

1=An+B(n-1)

Dalej:

1=An+Bn-B

Porównujemy współczynniki wielomianów po lewej i prawej stronie (równość wielomianów – szkoła średnia) i mamy układ równań:

Z drugiego równania: B=-1

Wstawiając to do pierwszego równania:

A-1=0

Mamy także A=1

Nasz dowolny ułamek więc można rozłożyć na:

1/{(n-1)*n}=1/{n-1}+{-1}/n

1/{(n-1)*n}=1/{n-1}-1/n

Wracając więc do naszej granicy ciągu i rozkładając każdy z ułamków na ułamki proste:

{lim}under{n{right}{infty}}(1/{1*2}+1/{2*3}+1/{3*4}+...+1/{(n-1)*n})

{lim}under{n{right}{infty}}(1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/{n-1}-1/n)

Skracając część składników zostanie nam:

{lim}under{n{right}{infty}}(1-1/n)

A ta granica ciągu nie jest już straszna, rzecz jasna:

{lim}under{n{right}{infty}}(1-1/n)=1

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Kurs z pewnością godny polecenia, po obejrzeniu kilku kursów stwierdzam, że zostanę z eTrapezem na dłużej! Wszystko wytłumaczone w sposób prosty, zadania domowe zoptymalizowane w taki sposób, że zaczynamy od zadań podstawowych a kończymy na tych trudniejszych.

Konrad

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Mateusz pisze:

3 listopada 2011 o 13:19

Czy mógłby Pan wytłumaczyć linijkę skąd się zabrał układ równań A+B=0 oraz -B=1

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  9 października 2012 o 09:08
  
  Tak, jasne. Mamy wielomian:
  
  $1=An+Bn-B$
  
  Porównujemy za sobą wielomian po lewej i prawej stronie. A konkretnie współczynniki przy odpowiednich potęgach.
  
  Współczynnik przy $n$ po lewej równy jest $0$ (bo o lewej w ogóle nie ma składnika z $n$ ). Współczynnik przy $n$ po prawej jest równy $A+B$ , bo takie są współczynniki przy $n$ po prawej stronie. Stąd równanie:
  
  $0=A+B$
  
  Wyraz wolny (liczba nie będąca w ogóle współczynnikiem jakiejś potęgi $n$ ) po lewej równy jest $1$ . Po prawej: $-B$ . Stąd równanie:
  
  $1=-B$
  
  🙂
Ula pisze:

23 listopada 2013 o 22:56

Mam pytanie jak uzasadnić zbieżność ciągu (Xn) i obliczyć jego granicę xn=1/2*3/4*…*2n-1/2n

Odpowiedz

blog

Dzielenie wielomianów w Z5. Fragment Kursu Rekurencje, Notacja O, Grupy i Pierścienie (VIDEO)

29 grudnia 2020 / Krystian Karczyński

blog

Założenia Klasycznej Metody Najmniejszych Kwadratów. I dlaczego klasycznej?

29 czerwca 2018 / Joanna Grochowska

blog

O regresji i Metodzie Najmniejszych Kwadratów, czyli skąd wzięły się oszacowania parametrów modelu

15 czerwca 2018 / Joanna Grochowska