Granica ciągu z sumą nieskończoną

Weźmy następującą granicę ciągu:

{lim}under{n{right}{infty}}(1/{1*2}+1/{2*3}+1/{3*4}+...+1/{(n-1)*n})

W zadaniu jakoś tak „wyczuwamy”, że trzeba korzystać ze wzorów na sumę ciągu (arytmetycznego lub geometrycznego) ale niestety, niestety… Ten ciąg nie jest ani arytmetyczny, ani geometryczny…

Co robić?

Trzeba to zrobić zupełnie inaczej. Każdy ułamków rozłożyć na ułamki proste. Robi się dosyć intensywnie takie rzeczy przy okazji całek nieoznaczonych wymiernych na przykład. Chodzi o to, żeby znaleźć takie stałe A i B, żeby…

1/{(n-1)*n}=A/{n-1}+B/n

Mnożymy obie strony powyższego równania przez (n-1)*n , otrzymując:

1=An+B(n-1)

Dalej:

1=An+Bn-B

Porównujemy współczynniki wielomianów po lewej i prawej stronie (równość wielomianów – szkoła średnia) i mamy układ równań:

Z drugiego równania: B=-1

Wstawiając to do pierwszego równania:

A-1=0

Mamy także A=1

Nasz dowolny ułamek więc można rozłożyć na:

1/{(n-1)*n}=1/{n-1}+{-1}/n

1/{(n-1)*n}=1/{n-1}-1/n

Wracając więc do naszej granicy ciągu i rozkładając każdy z ułamków na ułamki proste:

{lim}under{n{right}{infty}}(1/{1*2}+1/{2*3}+1/{3*4}+...+1/{(n-1)*n})

{lim}under{n{right}{infty}}(1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/{n-1}-1/n)

Skracając część składników zostanie nam:

{lim}under{n{right}{infty}}(1-1/n)

A ta granica ciągu nie jest już straszna, rzecz jasna:

{lim}under{n{right}{infty}}(1-1/n)=1

Komentarze

Mateusz napisał

3 listopada 2011 at 13:19

Czy mógłby Pan wytłumaczyć linijkę skąd się zabrał układ równań A+B=0 oraz -B=1

Odpowiedz
- Krystian Karczyński napisał
  
  9 października 2012 at 09:08
  
  Tak, jasne. Mamy wielomian:
  
  $1=An+Bn-B$
  
  Porównujemy za sobą wielomian po lewej i prawej stronie. A konkretnie współczynniki przy odpowiednich potęgach.
  
  Współczynnik przy $n$ po lewej równy jest $0$ (bo o lewej w ogóle nie ma składnika z $n$ ). Współczynnik przy $n$ po prawej jest równy $A+B$ , bo takie są współczynniki przy $n$ po prawej stronie. Stąd równanie:
  
  $0=A+B$
  
  Wyraz wolny (liczba nie będąca w ogóle współczynnikiem jakiejś potęgi $n$ ) po lewej równy jest $1$ . Po prawej: $-B$ . Stąd równanie:
  
  $1=-B$
  
  🙂
  
  Odpowiedz
Ula napisał

23 listopada 2013 at 22:56

Mam pytanie jak uzasadnić zbieżność ciągu (Xn) i obliczyć jego granicę xn=1/2*3/4*…*2n-1/2n

Odpowiedz

Granica ciągu z sumą nieskończoną

Co robić?

Komentarze

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Jesteśmy także na:

Kalendarz

Co robić?

Reader Interactions

Komentarze

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Footer

Jesteśmy także na:

Kalendarz