fbpx
blog
3 komentarze Dołącz do dyskusji

Granica ciągu z sumą nieskończoną

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.

Weźmy następującą granicę ciągu:

{lim}under{n{right}{infty}}(1/{1*2}+1/{2*3}+1/{3*4}+...+1/{(n-1)*n})

W zadaniu jakoś tak “wyczuwamy”, że trzeba korzystać ze wzorów na sumę ciągu (arytmetycznego lub geometrycznego) ale niestety, niestety… Ten ciąg nie jest ani arytmetyczny, ani geometryczny…

Co robić?

Trzeba to zrobić zupełnie inaczej. Każdy ułamków rozłożyć na ułamki proste. Robi się dosyć intensywnie takie rzeczy przy okazji całek nieoznaczonych wymiernych na przykład. Chodzi o to, żeby znaleźć takie stałe A i B, żeby…

1/{(n-1)*n}=A/{n-1}+B/n

Mnożymy obie strony powyższego równania przez (n-1)*n, otrzymując:

1=An+B(n-1)

Dalej:

1=An+Bn-B

Porównujemy współczynniki wielomianów po lewej i prawej stronie (równość wielomianów – szkoła średnia) i mamy układ równań:

Układ równań w rozkładzie na ułamki prosteZ drugiego równania: B=-1

Wstawiając to do pierwszego równania:

A-1=0

Mamy także A=1

Nasz dowolny ułamek więc można rozłożyć na:

1/{(n-1)*n}=1/{n-1}+{-1}/n

1/{(n-1)*n}=1/{n-1}-1/n

Wracając więc do naszej granicy ciągu i rozkładając każdy z ułamków na ułamki proste:

{lim}under{n{right}{infty}}(1/{1*2}+1/{2*3}+1/{3*4}+...+1/{(n-1)*n})

{lim}under{n{right}{infty}}(1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/{n-1}-1/n)

Skracając część składników zostanie nam:

{lim}under{n{right}{infty}}(1-1/n)

A ta granica ciągu nie jest już straszna, rzecz jasna:

{lim}under{n{right}{infty}}(1-1/n)=1

Bestsellery w tym miesiącu

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Administratorem danych osobowych podanych w tym formularzu jest eTrapez Usługi Edukacyjne E-Learning Krystian Karczyński. Zasady przetwarzania danych oraz Twoje uprawnienia z tym związane opisane są w Polityce Prywatności.


  1. Ula pisze:
    23 listopada 2013 o 22:56

    Mam pytanie jak uzasadnić zbieżność ciągu (Xn) i obliczyć jego granicę xn=1/2*3/4*…*2n-1/2n

    Odpowiedz
  2. Mateusz pisze:
    3 listopada 2011 o 13:19

    Czy mógłby Pan wytłumaczyć linijkę skąd się zabrał układ równań A+B=0 oraz -B=1

    Odpowiedz
    1. Krystian Karczyński pisze:
      9 października 2012 o 09:08

      Tak, jasne. Mamy wielomian:

      1=An+Bn-B

      Porównujemy za sobą wielomian po lewej i prawej stronie. A konkretnie współczynniki przy odpowiednich potęgach.

      Współczynnik przy npo lewej równy jest 0(bo o lewej w ogóle nie ma składnika z n). Współczynnik przy npo prawej jest równy A+B, bo takie są współczynniki przy npo prawej stronie. Stąd równanie:

      0=A+B

      Wyraz wolny (liczba nie będąca w ogóle współczynnikiem jakiejś potęgi n) po lewej równy jest 1. Po prawej: -B. Stąd równanie:

      1=-B

      🙂

blog

Pochodne funkcji i zadania optymalizacyjne [REMASTERED]

29 maja 2023 / Krystian Karczyński

Czytaj więcej
blog

Przebieg zmienności funkcji – typowe i wyjątkowe przypadki [REMASTERED]

29 maja 2023 / Krystian Karczyński

Czytaj więcej
blog

Nowy Kurs z Fizyki dla studentów – Mechanika Płynów

02 stycznia 2023 / Jan Rychlewski

Czytaj więcej