blog

Granica ciągu z sumą nieskończoną

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


Weźmy następującą granicę ciągu:

{lim}under{n{right}{infty}}(1/{1*2}+1/{2*3}+1/{3*4}+...+1/{(n-1)*n})

W zadaniu jakoś tak “wyczuwamy”, że trzeba korzystać ze wzorów na sumę ciągu (arytmetycznego lub geometrycznego) ale niestety, niestety… Ten ciąg nie jest ani arytmetyczny, ani geometryczny…

Co robić?

Trzeba to zrobić zupełnie inaczej. Każdy ułamków rozłożyć na ułamki proste. Robi się dosyć intensywnie takie rzeczy przy okazji całek nieoznaczonych wymiernych na przykład. Chodzi o to, żeby znaleźć takie stałe A i B, żeby…

1/{(n-1)*n}=A/{n-1}+B/n

Mnożymy obie strony powyższego równania przez (n-1)*n, otrzymując:

1=An+B(n-1)

Dalej:

1=An+Bn-B

Porównujemy współczynniki wielomianów po lewej i prawej stronie (równość wielomianów – szkoła średnia) i mamy układ równań:

Układ równań w rozkładzie na ułamki prosteZ drugiego równania: B=-1

Wstawiając to do pierwszego równania:

A-1=0

Mamy także A=1

Nasz dowolny ułamek więc można rozłożyć na:

1/{(n-1)*n}=1/{n-1}+{-1}/n

1/{(n-1)*n}=1/{n-1}-1/n

Wracając więc do naszej granicy ciągu i rozkładając każdy z ułamków na ułamki proste:

{lim}under{n{right}{infty}}(1/{1*2}+1/{2*3}+1/{3*4}+...+1/{(n-1)*n})

{lim}under{n{right}{infty}}(1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/{n-1}-1/n)

Skracając część składników zostanie nam:

{lim}under{n{right}{infty}}(1-1/n)

A ta granica ciągu nie jest już straszna, rzecz jasna:

{lim}under{n{right}{infty}}(1-1/n)=1

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Kurs z pewnością godny polecenia, po obejrzeniu kilku kursów stwierdzam, że zostanę z eTrapezem na dłużej! Wszystko wytłumaczone w sposób prosty, zadania domowe zoptymalizowane w taki sposób, że zaczynamy od zadań podstawowych a kończymy na tych trudniejszych.

Konrad

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Ula pisze:

    Mam pytanie jak uzasadnić zbieżność ciągu (Xn) i obliczyć jego granicę xn=1/2*3/4*…*2n-1/2n

  2. Mateusz pisze:

    Czy mógłby Pan wytłumaczyć linijkę skąd się zabrał układ równań A+B=0 oraz -B=1

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Tak, jasne. Mamy wielomian:

      1=An+Bn-B

      Porównujemy za sobą wielomian po lewej i prawej stronie. A konkretnie współczynniki przy odpowiednich potęgach.

      Współczynnik przy npo lewej równy jest 0(bo o lewej w ogóle nie ma składnika z n). Współczynnik przy npo prawej jest równy A+B, bo takie są współczynniki przy npo prawej stronie. Stąd równanie:

      0=A+B

      Wyraz wolny (liczba nie będąca w ogóle współczynnikiem jakiejś potęgi n) po lewej równy jest 1. Po prawej: -B. Stąd równanie:

      1=-B

      🙂