fbpx

Wykazywanie, że liczba jest (bądź nie jest) granicą funkcji z definicji

 

Granice funkcji Wykład 7

 

Temat: Wyznaczanie granic funkcji z definicji

 

Streszczenie

W artykule pokażę na kilku przykładach wykazywać z definicji (Cauchy’ego lub Heine’go), że liczba jest, lub nie jest granicą funkcji. Przed przystąpieniem do czytania artykułu potrzebne jest zrozumienie obu definicji granic funkcji – opierającej się na granicach ciągu definicji Heine’go i opierającej się na otoczeniach punktu definicji Cauchy’ego.

Granice funkcji Cauchy’ego – przykład 1

Wykaż z definicji, że liczba [pmath]1/4[/pmath] jest granicą funkcji [pmath]f(x)=1/{x+3}[/pmath] przy x dążącym do 1.

Innymi słowy, mamy wykazać, że:

[pmath]{lim}under{x{right}1}1/{x+3}=1/4[/pmath]

Do wykazania użyjemy definicji granic funkcji Cauchy’ego. Przypomnijmy ją:

Liczbę g nazywamy granicą funkcji w punkcie [pmath]x_0[/pmath], jeśli:

Definicja granicy funkcji formalna

W naszym konkretnym przykładzie mamy:

[pmath]f(x)=1/{x+3}[/pmath]

[pmath]g=1/4[/pmath]

[pmath]x_0=1[/pmath]

Mamy więc pokazać, że niezależnie od tego, jak małe [pmath]epsilon[/pmath] sobie nie obierzemy, zawsze znajdziemy do niego takie [pmath]delta[/pmath], że z nierówności: [pmath]0<delim{|}{x-1}{|}<delta[/pmath] wynikać będzie nierówność [pmath]delim{|}{1/{x+3}-1/4}{|}<epsilon[/pmath].

Weźmy więc dowolny [pmath]epsilon[/pmath] i nierówność:

[pmath]delim{|}{1/{x+3}-1/4}{|}<epsilon[/pmath]

Jeszcze raz zwróćmy uwagę na ważną rzecz. Dobór konkretnego [pmath]delta[/pmath] w nierówności:[pmath]0<delim{|}{x-1}{|}<delta[/pmath] zależy tylko od nas, możemy go sobie wybrać jaki nam się tylko podoba, ważne jest tylko, żeby dla tego naszego wyboru zachodziło:[pmath]delim{|}{1/{x+3}-1/4}{|}<epsilon[/pmath].

Zilustrujmy sprawę na rysunku. Mamy obrane dowolnie małe otoczenie wartości [pmath]1/4[/pmath] – o szerokości [pmath]epsilon[/pmath] (odpowiada to nierówności [pmath]delim{|}{1/{x+3}-1/4}{|}<epsilon[/pmath]):

Zaznaczone otoczenie wartości 1/4Na osi argumentów OX trzeba teraz dobrać takie otoczenie 1, żeby wartości odpowiadające temu otoczeniu zawsze zawierały się w otoczeniu zaznaczonym powyżej. Ważną rzeczą jest, że można to zrobić dowolnie. Można więc zrobić tak:

Najpierw wyznaczymy [pmath]x_1[/pmath] i [pmath]x_2[/pmath] takie, że [pmath]f(x_1)=0,25+epsilon[/pmath] i [pmath]f(x_2)=0,25-epsilon[/pmath] jak na rysunku:

Zaznaczone x_1 i x_2 na rysunkuJak się do tego zabrać? Widać z rysunku, że wartość funkcji w punkcie [pmath]x_1[/pmath] musi byś równa [pmath]0,25+epsilon[/pmath], a wartość funkcji w punkcie [pmath]x_2[/pmath] musi byś równa [pmath]0,25-epsilon[/pmath]. Czyli:

[pmath]f(x_1)=0,25+epsilon[/pmath]

[pmath]f(x_2)=0,25-epsilon[/pmath]

Wzorem na wartość funkcji jest [pmath]f(x)=1/{x+3}[/pmath], zatem:

[pmath]f(x_1)=0,25+epsilon{doubleright}1/{x_1+3}=0,25+epsilon[/pmath]

[pmath]f(x_2)=0,25-epsilon{doubleright}1/{x_2+3}=0,25-epsilon[/pmath]

Rozwiązuję równanie pierwsze:

[pmath]1/{x_1+3}=0,25+epsilon[/pmath]

[pmath]1=(0,25+epsilon)(x_1+3)[/pmath]

[pmath]1/{0,25+epsilon}=x_1+3[/pmath]

[pmath]1/{0,25+epsilon}-3=x_1[/pmath]

[pmath]x_1=1/{0,25+epsilon}-3[/pmath]

[pmath]x_1=1/{0,25+epsilon}-{3(0,25+epsilon)}/{0,25+epsilon}[/pmath]

[pmath]x_1={1-3(0,25+epsilon)}/{0,25+epsilon}[/pmath]

[pmath]x_1={1-0,75-3{epsilon}}/{0,25+epsilon}[/pmath]

[pmath]x_1={0,25-3{epsilon}}/{0,25+epsilon}[/pmath]

Mam policzone [pmath]x_1[/pmath]. Analogicznie liczę [pmath]x_2[/pmath]:

[pmath]1/{x_2+3}=0,25-epsilon[/pmath]

[pmath]1=(0,25-epsilon)(x_2+3)[/pmath]

[pmath]1/{0,25-epsilon}=x_2+3[/pmath]

[pmath]1/{0,25-epsilon}-3=x_2[/pmath]

[pmath]x_2=1/{0,25-epsilon}-3[/pmath]

[pmath]x_2=1/{0,25-epsilon}-{3(0,25-epsilon)}/{0,25-epsilon}[/pmath]

[pmath]x_2={1-3(0,25-epsilon)}/{0,25-epsilon}[/pmath]

[pmath]x_2={1-0,75+3{epsilon}}/{0,25-epsilon}[/pmath]

[pmath]x_2={0,25+3{epsilon}}/{0,25-epsilon}[/pmath]

Mamy więc policzone [pmath]x_2[/pmath]. Nanoszę te wartości na rysunek:

Zaznaczone i wyliczone x_1 i x_2 na rysunkuNasze dowolne otoczenie argumentów 1 powinno zawierać się w przedziale pomiędzy [pmath]x_1[/pmath] i [pmath]x_2[/pmath]. – wtedy odpowiadające mu otoczenie wartości na pewno będzie zawierać się w otoczeniu wartości z epsilonem (zaznaczonym na rysunku na niebiesko). Jakie wybrać?

Bierzemy otoczenie o długości od 1 do [pmath]x_1[/pmath] lub [pmath]x_2[/pmath] – w zależności od tego, które z nich jest bliżej 1. W naszym przykładzie będzie to [pmath]x_1[/pmath] (na końcu pokażę Ci, jak robić to bardziej ogólnie). Zaznaczam to otoczenie na rysunku:

Zaznaczone otoczenie 1 na rysunkuNa rysunku zaznaczyłem też [pmath]delta[/pmath] – które obieram właśnie w ten sposób (jeszcze raz podkreślam, że zupełnie arbitralnie – byle zawierało się pomiędzy [pmath]x_1[/pmath] i [pmath]x_2[/pmath]). Policzymy je za chwilę (od 1 trzeba będzie odjąć [pmath]x_1[/pmath]), a na razie zwróćmy uwagę, że dla tego wybranego przez nas otoczenia spełniona odpowiadające mu otoczenie wartości zawiera się w tym wyjściowym z epsilonem:

Zaznaczony zbiór wartości odpowiadający wybranemu otoczeniu 1 Z rysunku widać, że nasze [pmath]delta[/pmath] obliczymy tak:

[pmath]delta=1-{0,25-3{epsilon}}/{0,25+epsilon}={0,25+epsilon}/{0,25+epsilon}-{0,25-3{epsilon}}/{0,25+epsilon}={4{epsilon}}/{0,25+epsilon}[/pmath]

Jasne jest, że powyższe rozumowanie można by przeprowadzić niezależnie od wyboru [pmath]epsilon[/pmath] na początku. Czyli dla każdego [pmath]epsilon[/pmath] dobierzemy takie [pmath]delta={4{epsilon}}/{0,25+epsilon}[/pmath], że spełniony będzie warunek:

[pmath]0<delim{|}{x-1}{|}<delta{doubleright}delim{|}{1/{x+3}-1/4}{|}<epsilon[/pmath]

Zatem funkcja [pmath]f(x)=1/{x+3}[/pmath] w punkcie [pmath]x_0=1[/pmath] ma granicę równą [pmath]1/4[/pmath]. Pokazaliśmy, że:

[pmath]{lim}under{x{right}1}1/{x+3}=1/4[/pmath]

Granice funkcji Cauchy’ego – przykład ogólny

Uogólniając sposób wykorzystywany w powyższym przykładzie (tak, żeby nie trzeba było np. rysować wykresu funkcji) aby wykazać, że funkcja [pmath]f(x)[/pmath] osiąga granicę [pmath]g[/pmath] w punkcie [pmath]x_0[/pmath] z definicji Cauchy’ego, można:

1. Rozwiązać równania:

[pmath]f(x_1)=g-epsilon[/pmath]

[pmath]f(x_2)=g+epsilon[/pmath]

2. Przyjąć za [pmath]delta[/pmath]:

[pmath]delta=min(delim{|}{x_0-x_1}{|},delim{|}{x_0-x_2}{|})[/pmath]

– czyli mniejszą spomiędzy odległości między [pmath]x_0[/pmath] a krańcami przedziału [pmath]x_1[/pmath] i [pmath]x_2[/pmath] (w przykładzie powyżej wynikało jasno z rysunku, która z nich jest mniejsza).

Granice funkcji Cauchy’ego – przykład 2

Wykaż z definicji Cauchy’ego, że liczba [pmath]0,3[/pmath] nie jest granicą funkcji [pmath]1/{x+3}[/pmath] przy x dążącym do 1.

Zilustrujmy. Mamy dowolnie małe otoczenie wartości [pmath]0,3[/pmath]:

Otoczenie wartości 0,3i mamy pokazać, że nieprawdą jest, że dla każdego takiego otoczenia znajdziemy takie otoczenie argumentu 1, że odpowiadające mu otoczenie wartości zawierać się będzie w wybranym na początku.

Z logicznego punktu widzenia: mamy pokazać, że istnieje takie otoczenie wartości 0,3, dla którego nie znajdziemy żadnego otoczenia argumentu 1, że odpowiadające mu otoczenie wartości zawiera się w początkowym otoczeniu wartości 0,3. Ujmując to bardziej szpanersko: negacja odwraca kwantyfikatory.

Nie będzie to trudne. Spójrzmy na rysunek:

Zaznaczone wartości x1, x2Widać, że choćbyśmy stawali na głowie, nie dobierzemy takiego otoczenia 1, żeby odpowiadające mu otoczenie wartości zawierało się w początkowym:

Zaznaczone przykładowe otoczenie 1Widać rysunku, że wystarczy wziąść byle jakie [pmath]x_2<1[/pmath], Przyrównać [pmath]f(x_2)[/pmath] do [pmath]0,3-epsilon[/pmath] i wyznaczyć epsilon. Pokażemy w ten sposób, że istnieje taki [pmath]epsilon[/pmath], dla którego nie istnieje takie [pmath]delta[/pmath], że:

[pmath]0<delim{|}{x-1}{|}<delta{doubleright}delim{|}{1/{x+3}-0,3}{|}<epsilon[/pmath]

…a będzie to znaczyło, że funkcja nie osiąga granicy równej 0,3 w punkcie 1.

Do dzieła zatem. Biorę sobie (arbitralnie) [pmath]x_2=0,8[/pmath]

Czyli obliczyć muszę równanie:

[pmath]f(x_2)=0,3-epsilon[/pmath]

[pmath]1/{0,8+3}=0,3-epsilon[/pmath]

[pmath]1/{3,8}=0,3-epsilon[/pmath]

[pmath]1/{38/10}=0,3-epsilon[/pmath]

[pmath]10/38=0,3-epsilon[/pmath]

[pmath]5/19=0,3-epsilon[/pmath]

[pmath]5/19-0,3=-epsilon[/pmath]

[pmath]5/19-3/10=-epsilon[/pmath]

[pmath]50/190-57/190=-epsilon[/pmath]

[pmath]-7/190=-epsilon[/pmath]

[pmath]epsilon=7/190[/pmath]

Zatem istnieje taki epsilon ([pmath]epsilon=7/190[/pmath]), dla którego nie istnieje takie [pmath]delta[/pmath], że:

[pmath]0<delim{|}{x-1}{|}<delta{doubleright}delim{|}{1/{x+3}-0,3}{|}<epsilon[/pmath]

Czyli pokazaliśmy, że funkcja nie osiąga granicy równej 0,3 w punkcie 1.

Granice funkcji Heine’go – przykład 3

Korzystając z definicji granicy funkcji Heine’go wykaż, że granicą funkcji [pmath]f(x)=2x^2+1[/pmath] w punkcie 2 jest liczba 9.

Należy więc wykazać, że:

[pmath]{lim}under{x{right}2}(2x^2+1)=9[/pmath]

…korzystając z definicji granic funkcji Heine’go.

Przypomnijmy definicję:
Liczbę g nazywamy granicą funkcji w [pmath]x_0[/pmath], jeśli:

Definicja granicy funkcji

W naszym zadaniu będziemy wykazywać, że dla dowolnego ciągu wyrazów dążącego do 2, odpowiadający mu ciąg wartości funkcji [pmath]f(x)=2x^2+1[/pmath] dąży zawsze do 9.

Uwaga: nie wystarczy, że weźniemy sobie jakiś byle jaki ciąg dążący do 2, np. [pmath]x_n=2+1/n[/pmath] i pokażemy, że odpowiadający mu ciąg wartości: [pmath]f(2+1/n)=2(2+1/n)^2+1[/pmath]  zbiega do 9. Nie wystarczy, bo definicja wymaga, aby ta zależność zachodziła “zawsze”, dla dowolnego ciągu. Nie wystarczy wiec, że pokażemy, że zachodzi w jakimś konkretnym, wybranym ciągu.

Bierzemy więc:

[pmath]{lim}under{n{right}{infty}}(2(x_n)^2+1)[/pmath]

Jeżeli ciąg [pmath]x_n[/pmath] dąży do 1 powyższa granica nie jest symbolem nieoznaczonym. Z własności ciągów zbieżnych (mnożenie ciągów zbieżnych) wiemy, że:

[pmath]{lim}under{n{right}{infty}}(2(x_n)^2+1)=2*2^2+1=2*4+1=9[/pmath]

dla dowolnego ciągu [pmath]x_n[/pmath] dążącego do 1.

Dowodzi to, że dana funkcja osiąga granicę równą 9 w punkcie 2.

Granice funkcji Heine’go – przykład 4

Korzystając z definicji granicy funkcji Heine’go wykaż, że granicą funkcji [pmath]f(x)={3x-1}/{3x}[/pmath] w punkcie 1 nie jest liczba 2.

Definicja granicy funkcji mówi nam, że dla każdego ciągu argumentów dążących do 1 odpowiadający im ciąg wartości powinien dążyć do 2 – żeby 2 była granicą funkcji w 1.

Aby pokazać coś odwrotnego, czyli to, że 2 nie jest granicą funkcji w 1 musimy więc pokazać, że istnieje taki ciąg argumentów dążący do 1, że odpowiadający mu ciąg wartości nie dąży do 2 – logiczne, prawda?

Bierzemy więc na przykład bardzo typowy ciąg argumentów dążący do 1: [pmath]x_n=1+1/n[/pmath] ([pmath]1/n[/pmath] dąży do 0 ze wzoru: stała podzielić przez nieskończoność).

Odpowiadający mu ciąg wartości funkcji wyglądać będzie następująco: [pmath]f(1+1/n)={3(1+1/n)-1}/{3(1+1/n)}[/pmath]. Jego granica…

[pmath]{lim}under{n{right}{infty}}{3(1+1/n)-1}/{3(1+1/n)}={3*1-1}/{3*1}=2/3[/pmath]

…nie jest równa 2.

Nie jest więc prawdą, że dla każdego ciągu argumentów dążących do 1 odpowiadający im ciąg wartości dąży do 2 (bo znaleźliśmy taki ciąg argumentów, że odpowiadający im ciąg wartości dąży do [pmath]2/3[/pmath], a nie do 2).

Zatem pokazaliśmy, że dana funkcja nie osiąga granicy równej 2 w punkcie 1.

Porównanie definicji

Czy tylko ja odnoszę wrażenie, że definicja Heinego jest szybsza, bardziej zrozumiała i wygodniejsza do praktycznych zastosowań? 🙂

KONIEC

 

Kliknij, aby przypomnieć sobie, jaka była definicja Cauchyego granicy funkcji (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby zobaczyć, jak definicję granicy funkcji zastosować do wykazania trudniejszej granicy (następny wykład) –>

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o granicach

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Kozak pisze:

    Super

  2. Jakup pisze:

    Granice funkcji Heinego – przykład 3
    „Jeżeli ciąg x_n dąży do 1 powyższa granica nie jest symbolem nieoznaczonym. Z własności ciągów zbieżnych (mnożenie ciągów zbieżnych) wiemy, że: dla dowolnego ciągu x_n dążącego do 1.”
    Dlaczego dąży do 1? Czy tam nie powinno być 2? Przecież naszym xo jest 2, nie wiem skąd tam wzięło się 1..

    1. Daniel pisze:

      1 wzięła się pewnie dlatego, że przez nie uwagę Pan Krystian zamiast 2 napisał 1. Oczywiście powinno być 2 a nie 1.

  3. Celestyn pisze:

    Jesteś genialny, dziękuję. To jest najlepsze wytłumaczenie jakie znalazłem w całym \internecie. <3

  4. Ania pisze:

    Granice funkcji Heinego – przykład 3
    “Jeżeli ciąg x_n dąży do 1 powyższa granica nie jest symbolem nieoznaczonym. Z własności ciągów zbieżnych (mnożenie ciągów zbieżnych) wiemy, że: dla dowolnego ciągu x_n dążącego do 1.”
    Dlaczego dąży do 1? Czy tam nie powinno być 2? Przecież naszym xo jest 2, nie wiem skąd tam wzięło się 1..

  5. karloss pisze:

    “opierającej się na otoczeniach punktu definicji Heine’go.”
    A nie przypadkiem Cauchyego?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Tak jest, poprawiłem, przepraszam.

  6. Łukasz pisze:

    wziąć* 😉