Granica niewłaściwa ciągu

Granica ciągu Wykład 4

Temat: Granica niewłaściwa ciągu

Streszczenie

W artykule zdefiniuję, czym są granice niewłaściwe ciągów: i .

Granice niewłaściwe ciągów

Jeżeli chodzi o granice ciągów należy odróżniać od siebie trzy sytuacje:

1. Ciągi zbieżne, mające granice.

Może to być na przykład ciąg:

– czyli ciąg o wyrazie ogólnym .

Jest to ciąg, który ma granicę równą 0. Możemy powiedzieć, że “zbiega do zera”.

2. Ciągi rozbieżne, które nie mają granic.

Może to być na przykład ciąg:

Ten ciąg nie zbliża się do żadnej liczby. Nie ma granicy w ogóle.

Spośród ciągów rozbieżnych, które nie dążą do żadnej liczby można wyróżnić takie, których kolejne wyrazy są coraz większe (albo odpowiednio: mniejsze) i rozbiegają w nieskończoność (odpowiednio: w minus nieskończoność).

Mogą to być na przykład takie ciągi:

Takie ciągi nazwać możemy:

3. Ciągami rozbieżnymi do (albo do: ), możemy też powiedzieć, że ciągi te mają granicę niewłaściwą lub .

Jak formalnie zdefiniować tą granicę niewłaściwą? Będzie to swojego rodzaju definicja nieskończoności – rozumianej jako granica niewłaściwa ciągu.

Zastanówmy się… Kiedy powiedzieć można, że ciąg:

…rozbiega do ?

Powiemy tak: Ciąg ma granicę niewłaściwą , jeżeli dla dowolnej ustalonej liczby (nawet bardzo, bardzo wielkiej, nawet 100 tryliardów idt.) istnieje taki numer wyrazu ciągu, że wszystkie wyrazy ciągu o numerach większych od niego są już większe od tej liczby. Formalny zapis wyglądał by tak:

A mniej formalnie powiedzieć można, że ciąg ma granicę niewłaściwą , jeśli dla dowolnie dużej liczby, jaką byśmy mogli wymyśleć, wszystkie wyrazy ciągu począwszy od któregoś i tak są większe od tej liczby.

Co do granic rozbiegających do , sprawa wygląda oczywiście podobnie.

Ciąg ma granicę niewłaściwą , jeśli dla dowolnej ustalonej liczby ujemnej istnieje taki numer wyrazu ciągu , dla którego wszystkie wyrazy ciągu o numerach większych od są już mniejsze od tej liczby .