fbpx

Granica niewłaściwa ciągu

 

Granica ciągu Wykład 4

 

Temat: Granica niewłaściwa ciągu

 

Streszczenie

W artykule zdefiniuję, czym są granice niewłaściwe ciągów: [pmath]+infty[/pmath] i [pmath]-infty[/pmath].

Granice niewłaściwe ciągów

Jeżeli chodzi o granice ciągów należy odróżniać od siebie trzy sytuacje:

1. Ciągi zbieżne, mające granice.

Może to być na przykład ciąg:

[pmath]1,1/4,1/9,1/16,1/25,…[/pmath] – czyli ciąg o wyrazie ogólnym [pmath]a_n=1/n^2[/pmath]

Jest to ciąg, który ma granicę równą 0. Możemy powiedzieć, że “zbiega do zera”.

2. Ciągi rozbieżne, które nie mają granic.

Może to być na przykład ciąg:

[pmath]1,-1,1,-1,1,-1,1,…[/pmath]

Ten ciąg nie zbliża się do żadnej liczby. Nie ma granicy w ogóle.

Spośród ciągów rozbieżnych, które nie dążą do żadnej liczby można wyróżnić takie, których kolejne wyrazy są coraz większe (albo odpowiednio: mniejsze) i rozbiegają w nieskończoność (odpowiednio: w minus nieskończoność).

Mogą to być na przykład takie ciągi:

[pmath]1,2,3,4,5,6,…[/pmath], czyli [pmath]a_n=n[/pmath]

[pmath]-1,-10,-100,-1000,-10000,…[/pmath], czyli [pmath]a_n=-1*10^{n-1}[/pmath]

[pmath]1/3;2/3;1;4/3;5/3;2;…[/pmath], czyli [pmath]a_n=n/3[/pmath]

Takie ciągi nazwać możemy:

3. Ciągami rozbieżnymi do [pmath]+infty[/pmath] (albo do: [pmath]-infty[/pmath]), możemy też powiedzieć, że ciągi te mają granicę niewłaściwą [pmath]+infty[/pmath] lub [pmath]-infty[/pmath].

Jak formalnie zdefiniować tą granicę niewłaściwą? Będzie to swojego rodzaju definicja nieskończoności – rozumianej jako granica niewłaściwa ciągu.

Zastanówmy się… Kiedy powiedzieć można, że ciąg:

[pmath]1,2,3,4,5,6,…[/pmath]

…rozbiega do [pmath]+infty[/pmath]?

Powiemy tak: Ciąg ma granicę niewłaściwą [pmath]+infty[/pmath], jeżeli dla dowolnej ustalonej liczby (nawet bardzo, bardzo wielkiej, nawet 100 tryliardów idt.) istnieje taki numer wyrazu ciągu, że wszystkie wyrazy ciągu o numerach większych od niego są już większe od tej liczby. Formalny zapis wyglądał by tak:

Definicja granicy niewłaściwej ciągu w plus nieskończoności

A mniej formalnie powiedzieć można, że ciąg ma granicę niewłaściwą [pmath]+infty[/pmath], jeśli dla dowolnie dużej liczby, jaką byśmy mogli wymyśleć, wszystkie wyrazy ciągu począwszy od któregoś i tak są większe od tej liczby.

Co do granic rozbiegających do [pmath]-infty[/pmath], sprawa wygląda oczywiście podobnie.

Ciąg ma granicę niewłaściwą [pmath]-infty[/pmath], jeśli dla dowolnej ustalonej liczby ujemnej [pmath]epsilon[/pmath] istnieje taki numer wyrazu ciągu [pmath]M[/pmath], dla którego wszystkie wyrazy ciągu o numerach większych od [pmath]M[/pmath] są już mniejsze od tej liczby [pmath]epsilon[/pmath].

Definicja granicy niewłaściwej w minus nieskończonościCzyli: jak bardzo małą liczbę byśmy sobie nie wymyślimy i tak począwszy od pewnego wyrazu wszystkie wyrazy ciągu będą mniejsze od tej liczby.

Kliknij, aby przypomnieć sobie, czym są wyrażenia nieoznaczone (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby zobaczyć, jak granica ciągu może posłużyć do zdefiniowania granicy funkcji (następny Wykład) –>

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o granicach

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.