Granica ciągu

Granica ciągu Wykład 1

Temat: Granica ciągu – intuicyjne wprowadzenie i definicja

Streszczenie

W artykule przedstawię, co to właściwie jest granica ciągu. Objaśnię też bliżej, jak rozumieć definicję tej granicy.

Co to jest ciąg?

Zanim przejdziemy do tego, czym jest granica ciągu, musimy sobie powiedzieć, czym ciąg właściwie jest. Ciągiem liczbowym nazwiemy liczby ustawione w kolejności, na przykład:

1,2,4,7,10

Powyżej mamy ciąg pięciowyrazowy. Istotna jest kolejność, na przykład:

2,1,4,7,10

To już zupełnie inny ciąg.

Jeśli mówić będziemy o granicy ciągu, pracować będziemy na ciągach nieskończonych, na przykład:

-4,-1,2,5,8,11,…

Przedstawiać ciągi można przez wypisywanie jego pierwszych kilku wyrazów, albo, o ile to możliwe, przez wypisanie wzoru na jego dowolny (na przykład setny) wyraz. Taki wzór dla ostatniego z wypisanych wyżej ciągów (-4,-1,2,5,8,11,…) wyglądał by tak:

Zmienna n we wzorze oznacza numerek wyrazu ciągu. Sprawdźmy czy się zgadza:

Pierwszy wyraz ciągu: – zgadza się (-4,-1,2,5,8,11,…)

Drugi wyraz ciągu: – zgadza się (-4,-1,2,5,8,11,…)

itd.

Przykłady ciągów. Ciągi zbieżne. Wyrazy ciągu na osi liczbowej.

W zrozumieniu, czym jest granica ciągu bardzo pomoże nam graficzne zaznaczanie wyrazów ciągu na osi liczbowej (pamiętajmy też, że od tej pory cały już czas mówimy o ciągach nieskończonych).

Weźmy na przykład nasz ciąg -4,-1,2,5,8,11,… (którego ogólny wyraz dany jest wzorem:  (). Gdyby jego pierwsze wyrazy pozaznaczać na osi liczbowej wyglądała by ona tak:

Przykładowy ciąg na osi liczbowej (przykład 1)

Zwróćmy uwagę, że gdyby jego kolejne wyrazy (14,17,…) zaznaczać na osi liczbowej NIE zbliżali byśmy się z nimi do jakiejkolwiek liczby na osi. Wręcz przeciwnie – “uciekalibyśmy” z nim coraz bardziej i bardziej w nieskończoność.

Teraz inny ciąg:

0,-2,-4,0,7,1,-2,2,2,…

Wyznaczenie wzoru ogólnego na n-ty wyraz tego ciągu jest raczej niemożliwe, bo jego wyrazy powstają dosyć chaotycznie i bez związku (choć są tacy, co uważają, że ZAWSZE jest jakiś wzór). Gdyby te wyrazy pozaznaczać na osi otrzymalibyśmy:

Ciąg bez granicy na osi liczbowej (przykład 2)

Zaznaczając kolejne wyrazy skakały by one to tu, to tam na osi NIE zbliżając się do jakiejkolwiek liczby. Są też i takie ciągi.

A teraz przyjrzyjmy się następującemu:

Można zauważyć, że w licznikach wyrazów są kolejne liczby naturalne, a w mianowniku liczby o 1 większe. Ogólnym wyrazem tego ciągu był by . Zaznaczając wyrazy takiego ciągu na osi zauważymy pewną rzecz:

Ciąg mający granicę na osi liczbowej (przykład 3)Kolejne wyrazy tego ciągu były by coraz bliżej liczby jeden. Np. setny wyraz z kolei (możemy go policzyć podstawiając za n=100 we wzorze ) byłby równy . Bardzo blisko 1. Sto pierwszy były by jeszcze bliżej. Sto drugi jeszcze bardziej. Tysięczny: to już “prawie” jedynka. Biorąc coraz to większe numery wyrazów będziemy coraz bardziej “zbliżać się” do jedynki. Choć żaden konkretny wyraz ciągu nie będzie RÓWNY 1 (bo liczba podzielona przez liczbę większą od niej o 1 nie będzie równa nigdy 1), to powiedzieć można, że ciąg ten MA GRANICĘ równą 1.

To, co mamy to nieformalne, “intuicyjne” zrozumienie granicy ciągu. Nigdzie dokładnie i precyzyjnie nie zdefiniowałem, co to właściwie ściśle znaczy “dla coraz większych” (numerów wyrazów) i “coraz bliżej” (wyrazy do jakiejś liczby). Przejdziemy do tego w następnej części. Wyobraź sobie jednak, że tak mało ścisłe określenie granicy jakie tutaj mamy zupełnie wystarczało do różnych użytecznych rachunków na nieskończonościach przez długie, długie lata, zanim nie podano poprawnych i jednoznacznych definicji.

Zanim my zdefiniujemy ściśle “dla coraz większych … coraz bliżej…” musimy koniecznie powtórzyć sobie jedną rzecz, mianowicie jak oblicza się odległość dwóch punktów na osi (bo skoro ma być “coraz bliżej”, to musi się ona zmniejszać, prawda?).

Wzór na odległość dwóch punktów na osi liczbowej

Weźmy oś liczbową, a na niej dwie liczby (dla zmyłki jedną dodatnią, a drugą ujemną):

Dwa punkty na osi liczbowej (odległość)

Wszyscy wiemy, że ta odległość to 6, ale jak to właściwie najszybciej obliczyć?

Można powiedzieć tak: trzeba od większej liczby odjąć mniejszą. W naszym przypadku od większej: 2 odjąć mniejszą:-4. Wynikiem będzie: . Zgoda. Ale przed odejmowaniem trzeba liczby porównywać i w zależności od porównania wykonywać różne działania. W przypadku odejmowania zmiennych, kiedy z góry nie jest określona, która z nich jest większa może to być kłopotliwe (trzeba by rozbijać na dwa możliwe przypadki).

Można więc powiedzieć inaczej: trzeba liczby odjąć (wszystko jedno, którą od której) a z wyniku obliczyć wartość bezwzględną (mam nadzieję, że wiesz, co to jest…). U nas moglibyśmy odjąć 2 od -4 i otrzymać: , lub odjąć -4 od dwóch: , czyli nasz wynik.

Odległość dwóch liczb od siebie na osi można więc obliczyć odejmując je w wartości bezwzględnej.

Nawróćmy teraz trochę do definicji granicy ciągu. Powiedzieliśmy tam sobie, że kolejne wyrazy ciągu (które, jak wiemy, można oznaczyć: ) są “coraz bliżej” jakiejś liczby (nazwijmy ją: ). Czyli, ujmując to innymi słowami, żeby odległość pomiędzy nimi była coraz mniejsza. Odległość, pomiędzy tymi dwoma rzeczami (n-tym wyrazem ciągu i liczbą ) możemy oznaczyć, jako:

I to właśnie powinno być coraz mniejsze, tzn. od pewnego wyraz dla coraz większych (numer wyrazu ciągu) powinno się zmniejszać.

Jak to zapisać formalnie?

Definicja granicy ciągu

Na początku wrzucę od razu formalną definicję, a później powolutku ją omówię dobra? Przypomnijmy jeszcze, że chodzi nam o to, żeby dla coraz większych   było coraz mniejsze.

Definicja

Liczbę g nazywamy granicą ciągu, jeśli:

\underset{\varepsilon >0}{\mathop{\forall }}\,\underset{N}{\mathop{\exists }}\,\underset{n>N}{\mathop{\forall }}\,\left| {{a}_{n}}-g \right|<\varepsilon

No dobrze. Po pierwsze: jak ją w ogóle przeczytać? Znaczek:  to odwrócona do góry nogami literka wielkie A, od angielskiego słowa “all”, czyli “każdy”. Dla każdego epsilon większego od 0

czytamy: “dla każdego epsilon większego od zera”.

Znaczek: to odwrócona do góry nogami literka wielkie E, od angielskiego słowa “exists”, czyli “istnieje”. czytamy: “istnieje epsilon takie N”.

Definicję przeczytamy więc następująco: “Dla każdego epsilon większego od zera istnieje takie N, że dla każdego n>N spełniony jest warunek: “.

Albo lepiej, przywołując, co właściwie znaczy n i :

” Dla każdego ustalonego przez nas (nawet bardzo małego) epsilona, istnieje taki numer wyrazu ciągu N, dla którego odległość wszystkich wyrazów ciągu o numerach większych od N jest mniejsza od epsilona”.

Czyli działa to na przykład tak:

Nawet jeśli za epsilon weźmiemy sobie bardzo, bardzo malutką liczbę, np. wszystkie wyrazy ciągu począwszy od np. 457 w górę (czyli wyraz numer 457, 458, 459 itd.) są oddalone od granicy ciągu o MNIEJ niż .

Spójrz, jak to zadziała w konkretnym przykładzie:

Przykład przybliżający definicję granicy ciągu

Weźmy nasz wypróbowany już ciąg:

, czyli:

Jeżeli ustawimy epsilon dosyć duże, np. , odległość każdego wyrazu ciągu począwszy od drugiego w górę (nasze N z definicji było by więc równe 1) od jedynki będzie mniejsza od epsilona, czyli od 0,5.

Jeżeli ustawimy epsilon mniejsze, na przykład , również stwierdzimy, że odległość każdego wyrazu ciągu począwszy od któregoś (konkretnie od czwartego, N=3) od jedynki będzie mniejsza od epsilona, czyli od 0,25.

Jeśli ustawimy epsilon jeszcze mniejsze, na przykład  – również znajdziemy odpowiedni numer wyrazu, począwszy od którego odległości wyrazów od jedynki będą mniejsze od epsilona.

Historia powtórzy się, jak mały epsilon byśmy sobie nie przyjęli. Granica ciągu jest więc z definicji równa 1.

Kliknij, aby sprawdzić, jak używać definicji granicy ciągu w konkretnych zadaniach (następny Wykład) –>

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o granicach

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Administratorem danych osobowych podanych w tym formularzu jest eTrapez Usługi Edukacyjne E-Learning Krystian Karczyński. Zasady przetwarzania danych oraz Twoje uprawnienia z tym związane opisane są w Polityce Prywatności.



  1. Magdalena pisze:

    Witam! Mam problem z granicami  przy których n pojawia sie w potedze, np.5 do n – 2 do n + 10 do n / 11 do n + 5 do n= ?????(Jest to 22 przyklad z zadania domowego z pierwszego wykladu o granicach)Jest jakis sposob na to? Pozdrawiam!  

    1. Akurat to jest Przykład 21 🙂

      stack l i m with n \rightwards arrow infinity below fraction numerator 5 to the power of n minus 2 to the power of n plus 10 to the power of n over denominator 11 to the power of n plus 5 to the power of n end fraction equals

      Rozwiązuję to podobnie jak w przypadku potęg, wyciągamy największa potęgę z licznika i mianownika (tym razem nie ma np n to the power of 10 ale jest liczba do potęgi “n” – a największa jest ta, której podstawa jest największa, stąd:

      stack l i m with n \rightwards arrow infinity below fraction numerator 5 to the power of n minus 2 to the power of n plus 10 to the power of n over denominator 11 to the power of n plus 5 to the power of n end fraction equals stack l i m with n \rightwards arrow infinity below fraction numerator 10 to the power of n times open parentheses \begin display style 5 to the power of n over 10 to the power of n minus 2 to the power of n over 10 to the power of n plus 1 end style close parentheses over denominator 11 to the power of n times open parentheses 1 plus 5 to the power of n over 10 to the power of n close parentheses end fraction equals

      equals stack l i m with n \rightwards arrow infinity below 10 to the power of n over 11 to the power of n times fraction numerator \begin display style 5 to the power of n over 10 to the power of n minus 2 to the power of n over 10 to the power of n plus 1 end style over denominator 1 plus 5 to the power of n over 10 to the power of n end fraction equals stack l i m with n \rightwards arrow infinity below open parentheses 10 over 11 close parentheses to the power of n times fraction numerator \begin display style open parentheses 5 over 10 close parentheses to the power of n minus open parentheses 2 over 10 close parentheses to the power of n plus 1 end style over denominator 1 plus open parentheses 5 over 10 close parentheses to the power of n end fraction equals

      Wiedząc, że stack l i m with n \rightwards arrow infinity below a to the power of n space equals 0 space d l a space open vertical bar a close vertical bar less than 1 ostatecznie otrzymujemy wartość granicy:

      equals 0 times fraction numerator 0 minus 0 plus 1 over denominator 1 plus 0 end fraction equals 0 times 1 equals 0

  2. Marzena Z pisze:

    potrzebuje o wyjaśnienie pewniej granicy. nie mam pojęcia jak się do niej zabrać.fraction numerator square root of 4 n cubed plus 2 n squared end root minus square root of 4 n cubed minus n squared plus 1 end root over denominator 3 square root of n end fraction 

    1. Kamil Kocot pisze:

      Granicę obliczymy mnożąc przez sprzężenie licznika

      table attributes columnalign \right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell limit as n \rightwards arrow infinity of fraction numerator square root of 4 n cubed plus 2 n squared end root minus square root of 4 n cubed minus n squared plus 1 end root over denominator 3 square root of n end fraction end cell row blank equals cell limit as n \rightwards arrow infinity of fraction numerator square root of 4 n cubed plus 2 n squared end root minus square root of 4 n cubed minus n squared plus 1 end root over denominator 3 square root of n end fraction times fraction numerator square root of 4 n cubed plus 2 n squared end root plus square root of 4 n cubed minus n squared plus 1 end root over denominator square root of 4 n cubed plus 2 n squared end root plus square root of 4 n cubed minus n squared plus 1 end root end fraction end cell row blank equals cell limit as n \rightwards arrow infinity of fraction numerator open parentheses square root of 4 n cubed plus 2 n squared end root close parentheses squared minus open parentheses square root of 4 n cubed minus n squared plus 1 end root close parentheses squared over denominator 3 square root of n times open parentheses square root of 4 n cubed plus 2 n squared end root plus square root of 4 n cubed minus n squared plus 1 end root close parentheses end fraction end cell row blank equals cell limit as n \rightwards arrow infinity of fraction numerator 4 n cubed plus 2 n squared minus open parentheses 4 n cubed minus n squared plus 1 close parentheses over denominator 3 square root of n times open parentheses square root of 4 n cubed plus 2 n squared end root plus square root of 4 n cubed minus n squared plus 1 end root close parentheses end fraction end cell row blank equals cell limit as n \rightwards arrow infinity of fraction numerator 3 n squared minus 1 over denominator 3 square root of n times open parentheses square root of 4 n cubed plus 2 n squared end root plus square root of 4 n cubed minus n squared plus 1 end root close parentheses end fraction end cell row blank blank blank row blank equals cell limit as n \rightwards arrow infinity of fraction numerator n squared open parentheses \begin display style fraction numerator 3 n squared over denominator n squared end fraction end style minus \begin display style 1 over n squared end style close parentheses over denominator 3 square root of n open parentheses square root of n cubed open parentheses fraction numerator 4 n cubed over denominator n cubed end fraction plus fraction numerator 2 n squared over denominator n cubed end fraction close parentheses end root plus square root of n cubed open parentheses fraction numerator 4 n cubed over denominator n cubed end fraction minus n squared over n cubed plus 1 over n cubed close parentheses end root close parentheses end fraction end cell row blank equals cell limit as n \rightwards arrow infinity of fraction numerator n squared open parentheses \begin display style 3 minus 1 over n squared end style close parentheses over denominator 3 square root of n open parentheses square root of n cubed end root square root of 4 plus 2 over n squared end root plus square root of n cubed end root square root of 4 minus 1 over n plus 1 over n cubed end root close parentheses end fraction end cell row blank equals cell limit as n \rightwards arrow infinity of fraction numerator n squared open parentheses \begin display style 3 minus 1 over n squared end style close parentheses over denominator 3 square root of n times square root of n cubed end root open parentheses square root of 4 plus 2 over n squared end root plus square root of 4 minus 1 over n plus 1 over n cubed end root close parentheses end fraction end cell row blank equals cell limit as n \rightwards arrow infinity of fraction numerator n squared open parentheses \begin display style 3 minus 1 over n squared end style close parentheses over denominator 3 n squared open parentheses square root of 4 plus 2 over n squared end root plus square root of 4 minus 1 over n plus 1 over n cubed end root close parentheses end fraction end cell row blank equals cell limit as n \rightwards arrow infinity of fraction numerator 3 minus 1 over n squared over denominator 3 open parentheses square root of 4 plus 2 over n squared end root plus square root of 4 minus 1 over n plus 1 over n cubed end root close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 3 over denominator 3 open parentheses square root of 4 plus square root of 4 close parentheses end fraction equals 1 fourth end cell end table

  3. Mon pisze:

    w końcu zrozumiałam definicję granicy ciągu, której wcześniej musiałam uczyć się na pamięć 🙂 dzięki wielkie!

  4. Magda pisze:

    Witam, czy taką granicę rozwiązuję z twierdzenia o trzech ciągach? Niestety nie wiem którą metodę zastosować:(
    pierwiastek z n, pod pierwiastkiem: 3^n (n^2+n+5) / 5^n * n
    Niestety nie umiem inaczej wpisać pierwiastków i potęg z klawiatury. Serdecznie pozdrawiam i dziękuję z góry za odpowiedź! 🙂

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Czy to miało być tak:

      \underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\sqrt[n]{\frac{{{3}^{n}}\left( {{n}^{2}}+n+5 \right)}{{{5}^{n}}\cdot n}}[/latex]

      ?

      Bo jeśli tak:

      \underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\sqrt[n]{\frac{{{3}^{n}}\left( {{n}^{2}}+n+5 \right)}{{{5}^{n}}\cdot n}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\sqrt[n]{\frac{{{3}^{n}}}{{{5}^{n}}}\frac{{{n}^{2}}+n+5}{n}}=[/latex]

      =\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\sqrt[n]{{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{n}}\left( n+1+\frac{5}{n} \right)}=\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\sqrt[n]{{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{n}}}\sqrt[n]{n+1+\frac{5}{n}}=[/latex]

      =\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{3}{5}\sqrt[n]{n\left( 1+\frac{1}{n}+\frac{5}{{{n}^{2}}} \right)}=\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{3}{5}\sqrt[n]{n}\sqrt[n]{1+\frac{1}{n}+\frac{5}{{{n}^{2}}}}=\frac{3}{5}[/latex]

      \underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\sqrt[n]{n}=1[/latex]– jest na to taki specjalny wzorek…

  5. DrRodon pisze:

    “Znaczek: “exists” to odwrócona do góry nogami literka wielkie E”

    Chyba sam zrozumiesz gdzie jest błąd 🙂