Granica ciągu z definicji – przykłady

 

Granica ciągu Wykład 2

 

Temat:Wyznaczanie granicy ciągu z definicji

 

Streszczenie

W artykule pokażę, jak w praktyce można „wyczuć” definicję granicy ciągu na konkretnych przykładach. Przypomnijmy sobie definicję granicy ciągu:

Definicja granicy ciągu

Liczbę g nazywamy granicą ciągu wtedy i tylko wtedy, gdy:

\underset{\varepsilon >0}{\mathop \forall }\,\underset{N}{\mathop \exists }\,\underset{n>N}{\mathop \forall }\,\left| {{a}_{n}}-g \right|<\varepsilon

Chodziło o to, że dla dowolnie małego, obranego z góry, epsilona (epsilon), znajdziemy taki numer wyrazu ciągu (N), że wszystkie wyrazy z kolejnymi numerami większymi od N ( n>N )  będą miały odległość od granicy g mniejszą od epsilona ( \left| {{a}_{n}}-g \right|<\varepsilon ) – nieważne, jak mały by ten ustalony epsilon nie był.

Trudne? No jasne, że trudne. Żeby zrozumieć, potrzeba praktyki. Zobaczymy sobie jak to działa na przykładach.

Przykład 1 na obliczanie od którego wyrazu ciągu spełniona jest nierówność dla danego epsilona

Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a_n={2n+1}/n i granicy g=2. Dla epsilona równego {epsilon}=0,017 – które wyrazy ciągu spełniają nierówność delim{|}{a_n-g}{|}<{epsilon}?

W zadaniu ustaliliśmy epsilon na 0,017. Trzeba obliczyć, od którego wyrazu odległości wyrazów ciągu od granicy będą już mniejsze od tych 0,017. Wyciągnij kalkulator, O.K.?

Najpierw bardzo powoli, namacamy sobie o co chodzi…

Nasz ciąg rozpisany wyraz po wyrazie wyglądał by tak:

a_n={2n+1}/n={2*1+1}/1,{2*2+1}/2,{2*3+1}/3,{2*4+1}/4,{2*5+1}/5,...itd.

Kolejne wyrazy otrzymuję podstawiając za na konkretne numery. Porządkując będę miał:

a_n={2n+1}/n=3/1,5/2,7/3,9/4,11/5,...itd.

Czyli:

a_n={2n+1}/n=3,2{1/2},2{1/3},2{1/4},2{1/5},...itd.

Kolejne wyrazy ciągu będą coraz „bliżej” liczby 2. Nasze zadanie to znaleźć taki numer wyrazu ciągu, od którego odległości od dwójki będą mniejsze od zadanych {epsilon}=0,017.

Z pewnością nie będzie to pierwszy wyraz. Jest on równy 3. Jego odległość od granicy (g=2) jest równa 1! To znacznie więcej od żądanego {epsilon}=0,017.

Nie będzie to także wyraz drugi ( odległość=delim{|}{2{1/2}-2}{|}=1/2, czyli mniej od {epsilon}=0,017), ani żaden z pierwszych pięciu przeze mnie wypisanych.

Nie będzie to wyraz pięćdziesiąty, bo równy on jest a_50={2*50+1}/50=101/50=2{1/50}=2{2/100}=2,02, a jego odległość od 2 równa jest 0,02, czyli wciąż więcej od zadanego {epsilon}=0,017.

Za to wyraz setny spełnia zadany warunek, bo a_100={2*100+1}/100=201/100=2{1/100}=2,01, jego odległość od dwóch jest równa 0,01, czyli jest mniejsza od 0,017. Są jednak wyrazy o mniejszych od 100 numerach, które warunek ten również spełniają. Naszym zadaniem jest znaleźć numer graniczny, od którego odległość wyrazów ciągu od 2 jest już mniejsza niż 0,017. Skoro odległość wyrazu pięćdziesiątego warunku nie spełnia, a setnego spełnia, wydaje się, że będzie to jakiś wyraz pomiędzy pięćdziesiątym, a setnym… Jak go znaleźć dokładnie?

Przypominamy sobie definicję…

\underset{\varepsilon >0}{\mathop \forall }\,\underset{N}{\mathop \exists }\,\underset{n>N}{\mathop \forall }\,\left| {{a}_{n}}-g \right|<\varepsilon

I nierówność z niej…

delim{|}{a_n-g}{|}<{epsilon}

a_n z tej definicji to ogólny wyraz ciągu, w naszym przykładzie jest równy a_n={2n+1}/n. epsilon mamy zadany z góry {epsilon}=0,17, a granica g równa jest 2. Wstawiamy to wszystko do nierówności i mamy:

delim{|}{{2n+1}/n-2}{|}<0,017

Sprowadzamy w środku wartości bezwzględnej do wspólnego mianownika:

delim{|}{{2n+1}/n-{2n}/n}{|}<0,017

Odejmujemy i mamy:

delim{|}{{2n+1-2n}/n}{|}<0,017

Czyli:

delim{|}{1/n}{|}<0,017

Teraz trochę trudniej. Po lewej strony nierówności w środku wartości bezwzględnej mamy 1/n. To wyrażenie jest zawsze dodatnie, bo n oznacza numer wyrazu ciągu i bierzemy za niego liczby takie jak: 1, 2, 10. Czyli mamy wartość bezwzględną z liczby dodatniej. Możemy zatem ją opuścić, bo wartość bezwzględna z liczby dodatniej jest zawsze dodatnia:

1/n<0,017

Mnożymy obie strony przez n i znowu musimy się pozastrzegać, że ‚n’ jest zawsze dodatnie i nie zmieni to na pewno znaku nierówności. Otrzymamy po tym przemnożeniu obu stron:

1<0,017n

Teraz obie strony dzielimy przez 0,017 (używamy kalkulatora i bierzemy jakieś rozsądne przybliżenie).

58,824<n

Patrząc na tą nierówność i pamiętając, że ‚n’ oznacza numer wyrazu ciągu – jaka będzie odpowiedź?

Odpowiedź

Wszystkie wyrazy ciągu o numerach od 59 w górę spełniają nierówność. W tym ciągu odległość wyrazu 58-go od 2 nie jest jeszcze mniejsza od zadanego epsilona, ale 59-tego, 60-tego, 61-go,… i każdego następnego już tak.

Przykład 2 na obliczanie od którego wyrazu ciągu spełniona jest nierówność dla danego epsilona

Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a_n=1/{n^2+1} i granicy g=0. Dla epsilona równego {epsilon}=27/10235 – które wyrazy ciągu spełniają nierówność delim{|}{a_n-g}{|}<{epsilon}?

Ten przykład jest bardzo podobny do poprzedniego. Epsilon mamy ustalony na 27/10235. Trzeba obliczyć, od którego wyrazu odległości wyrazów ciągu od granicy będą mniejsze od tej wartości.

Rozpiszmy ciąg:

a_n=1/{n^2+1}=1/{1^2+1},1/{2^2+1},1/{3^2+1},1/{4^2+1},1/{5^2+1},...itd.

Czyli…

a_n=1/{n^2+1}=1/2,1/5,1/10,1/17,1/26,...itd.

Wyrazy ciągu są coraz mniejsze i mniejsze, zbliżając się do zera. Trzeba wyznaczyć, które mają tą odległość mniejszą od {epsilon}=27/10235

Znowu nie będzie tak łatwo, „na oko” widać, że nie będzie to żaden z pierwszych pięciu wyrazów. Przejdźmy może do razu do rzeczy…

delim{|}{a_n-g}{|}<{epsilon}

Do  nierówności z definicji wstawiamy odpowiednie wartości:

delim{|}{1/{n^2+1}-0}{|}<27/10235

Czyli…

delim{|}{1/{n^2+1}}{|}<27/10235

Wartość bezwzględną możemy znowu opuścić, bo 1/{n^2+1} jest zawsze dodatnie, można więc zapisać:

1/{n^2+1}<27/10235

Obie strony możemy pomnożyć przez n^2+1, bo n^2+1 jest zawsze większe od zera…

1<{27/10235}(n^2+1)

Obie strony mnożymy przez 10235 (żeby było łatwiej) i mamy:

10235<27(n^2+1)

10235<27n^2+27

Przenosimy 27 na lewo:

10208<27n^2

Obie strony dzielimy przez 27 (kalkulator) i w przybliżeniu:

378,074<n^2

‚n’ może być tylko dodatnie (jak to jednak życie ułatwia, prawda?) więc możemy zapisać:

sqrt{378,074}<n

Czyli w przybliżeniu:

19,444<n

Mamy więc:

Odpowiedź

Wszystkie wyrazy ciągu począwszy od 20-tego spełniają nierówność.

Przykład 1 na obliczanie granicy ciągu z definicji

Zróbmy jeszcze inne zadanie, w którym trzeba będzie „pogrzebać” w definicji granicy ciągu:

Pokaż z definicji, że granicą ciągu a_n={5n}/{4n+1} jest liczba 5/4.

Korzystając z definicji, należy pokazać, że dla dowolnie małego epsilon istniał taki numer wyrazu ciągu, od którego już kolejne wyrazy będą spełniać nierówność:

delim{|}{a_n-g}{|}<{epsilon}

A w naszym konkretnym przykładzie, trzeba pokazać, że dla dowolnie małego epsilona dla wszystkich n począwszy od jakiegoś spełniona będzie nierówność:

delim{|}{{5n}/{4n+1}-5/4}{|}<{epsilon}

Zrobimy to wyznaczając ‚n’ z powyższej nierówności. Na początku sprowadzamy do wspólnego mianownika…

delim{|}{{5n*4}/{(4n+1)*4}-{5(4n+1)}/{4(4n+1)}}{|}<{epsilon}

Po lekkich porządkach:

delim{|}{{20n-20n-5}/{4(4n+1)}}{|}<{epsilon}

delim{|}{{~-5}/{4(4n+1)}}{|}<{epsilon}

Tą wartość bezwzględną po lewej możemy rozbić – na przykład – tak:

{delim{|}{-5}{|}}/{delim{|}{4(4n+1)}{|}}<{epsilon}

Czyli:

5/{16n+4}<{epsilon}

Obie strony możemy pomnożyć przez 16n+4 (bo jest to zawsze dodatnie).

5<{epsilon}(16n+4)

5<16{epsilon}n+4{epsilon}

5-4{epsilon}<16{epsilon}n

Obie strony dzielimy przez 16{epsilon} (możemy, bo epsilon w definicji granicy jest zawsze dodatni):

{5-4{epsilon}}/{16{epsilon}}<n

I teraz: n to numery wyrazów ciągu. Są coraz większe i większe. Jakikolwiek epsilon ustalimy sobie po lewej stronie nierówności, otrzymamy tam jakąś stałą liczbę. Choćby była ona bardzo wielka jednak – i tak, skoro n rośnie i rośnie, to w końcu prawa strona nierówności „przeskoczy” lewą i od jakiegoś n nierówność będzie spełniona, niezależnie od wyboru epsilon.

Pokazaliśmy więc z definicji, co mieliśmy pokazać.

Zróbmy jeszcze na koniec przykład w drugą stronę…

Przykład 2 na obliczanie granicy ciągu z definicji

Sprawdź z definicji, czy granicą ciągu a_n={n+2}/{n-1}, gdzie n jest większe od 1, jest liczba 1/2.

Zwróćmy uwagę na niuansik. W poprzednim przykładzie w treści zadania było „Wykaż, że…” – czyli wiadomo było z góry, że tamta liczba była granicą ciągu i trzeba było to tylko udowodnić. Tutaj mamy „Sprawdź, czy…” – a więc być może nasza liczba granicą ciągu nie będzie w ogóle.

Zaczynamy od nierówności z definicji…

delim{|}{a_n-g}{|}<{epsilon}

Do której podstawiamy odpowiednie wartości…

delim{|}{{n+2}/{n-1}-1/2}{|}<{epsilon}

Znowu próbujemy wyznaczyć ‚n’ z powyższej nierówności.

delim{|}{{(n+2)*2}/{(n-1)*2}-{n-1}/{2(n-1)}}{|}<{epsilon}

delim{|}{{2n+4-n+1}/{2n-2}}{|}<{epsilon}

{delim{|}{n+5}{|}}/{delim{|}{2n-2}{|}}<{epsilon}

Wartości bezwzględne można opuścić, bo – zwróć uwagę na treść zadania – powiedziane jest, że n greater than 1, czyli wartość bezwzględna na dole jest liczona z liczby dodatniej.

{n+5}/{2n-2}<{epsilon}

Obie strony mnożymy przez mianownik (można z tych samych powodów, dla których opuściliśmy wartość bezwzględną):

n+5<{epsilon}(2n-2)

n+5<2{epsilon}n-2{epsilon}

5+2{epsilon}<2{epsilon}n-n

5+2{epsilon}<n(2{epsilon}-1)

Przez 2{epsilon}-1 podzielić tak sobie nie możemy, bo dla pewnych wartości epsilon wyrażenie jest 2{epsilon}-1 dodatnie, a dla pewnych epsilon wyrażenie jest ujemne. Jeżeli ustalilibyśmy epsilon na przykład bardzo malutkie (możemy, bo ono mogło być dowolne) wyrażenie 2{epsilon}-1 będzie ujemne i po podzieleniu obu stron przez: 2{epsilon}-1 (pamiętamy o zmianie znaku nierówności po przemnożeniu obustronnym przez ujemną wartość!):

Końcowa nierówność w definicji granicy ciągu

Mamy więc (ze względu na odwrócony znak nierówności) sytuację zupełnie odwrotną, niż w poprzednim przykładzie. Po lewej jakąś ustaloną liczbę. Po prawej liczby coraz większe i większe. Można stwierdzić, że od pewnych n-ów nierówność NIE będzie spełniona (a miała być spełniona dla dowolnego epsilon).

Zatem liczba z zadania nie jest granicą ciągu.

 

Kliknij, aby przypomnieć sobie definicję granicy ciągu (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, dowiedzieć się więcej o wyrażeniach nieoznaczonych w granicach ciągu (następny Wykład) –>

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o granicach

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

  1. hania pisze:

    No i teraz wszystko jasne 🙂 Super artykuł, baardzo pomocny. Dziękuję i pozdrawiam 🙂

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Dzięki, pozdrawiam również.

  2. Piotr pisze:

    Krystian!!! Jesteś wielki!!!! Dziękuję Ci…. Musiałeś nieźle się napracować… masz moje pokłony:)

  3. karolina pisze:

    witam, jak rozwiązać taką granice ciągu: (cosn^2/n^3+3n+1 ) -3 ?

  4. Ula pisze:

    witam.
    Jak udowodnić , że każdy ciąg ma conajmniej jedną granicę?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      No ale to nieprawda, że każdy ciąg ma co najmniej jedną granicę…

      Na przykład ciąg liczb naturalnych bez zera {{a}_{n}}=nnie ma żadnej granicy…

    2. Bewu pisze:

      Ale ten ciąg ma granicę niewłaściwą – równą nieskończoność. Są inne ciągi, których granica nie istnieje.

  5. cola20 pisze:

    Witam.
    Mam problem z zadaniem:
    Znajdź wszystkie możliwe wartości parametrów a,b,c należące do R, dla których
    lim [((x^4+2x^3)^1/2)-ax^2-bx-c)=1 ( x towards infinity).
    Proszę o pomoc.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Dobra, to powolutku pójdzie tak:

      1. Trzeba cały czas pamiętać, że ogólnie granica ma wyjść równa 1, czyli: \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}}-a{{x}^{2}}-bx-c \right)=1

      2. Zaczynamy standardowym przekształceniem z mnożeniem przez sprzężenie (metodami pokazanymi w moim Kursie):

      \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}}-a{{x}^{2}}-bx-c \right)=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}}-\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right) \right)\frac{\sqrt{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}}+\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)}{\sqrt{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}}+\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)}=

      =\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-{{\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}}+a{{x}^{2}}+bx+c}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)}{\sqrt{{{x}^{4}}\left( 1+\tfrac{2}{x} \right)}+a{{x}^{2}}+bx+c}=

      START =\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-{{\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}}+a{{x}^{2}}+bx+c}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)}{\sqrt{{{x}^{4}}\left( 1+\tfrac{2}{x} \right)}+a{{x}^{2}}+bx+c}=

      \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-{{a}^{2}}{{x}^{4}}-ab{{x}^{3}}-ac{{x}^{2}}-ba{{x}^{3}}-{{b}^{2}}{{x}^{2}}-bcx-ca{{x}^{2}}-cbx-{{c}^{2}}}}{{\sqrt{{{{x}^{4}}\left( {1+\tfrac{2}{x}} \right)}}+a{{x}^{2}}+bx+c}}=

      \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{4}}\left( {1+\tfrac{2}{x}-{{a}^{2}}-\tfrac{{2ab}}{x}-\tfrac{{2ac}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{3}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{4}}}}} \right)}}{{{{x}^{2}}\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}+a{{x}^{2}}+bx+c}}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{4}}\left( {1+\tfrac{2}{x}-{{a}^{2}}-\tfrac{{2ab}}{x}-\tfrac{{2ac}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{3}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{4}}}}} \right)}}{{{{x}^{2}}\left( {\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}+a+\tfrac{b}{x}+\tfrac{c}{{{{x}^{2}}}}} \right)}}=

      \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{2}}\left( {1+\tfrac{2}{x}-{{a}^{2}}-\tfrac{{2ab}}{x}-\tfrac{{2ac}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{3}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{4}}}}} \right)}}{{\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}+a+\tfrac{b}{x}+\tfrac{c}{{{{x}^{2}}}}}}=

      Teraz ważny moment. Licznik, a wraz z nim cała granica, rozbiega do nieskończoności, CHYBA ŻE nawias \displaystyle {\left( {1+\tfrac{2}{x}-{{a}^{2}}-\tfrac{{2ab}}{x}-\tfrac{{2ac}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{3}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{4}}}}} \right)}zbiega do zera, bo wtedy w liczniku jest wyrażenie nieoznaczone \left[ 0\cdot \infty \right].

      Ponieważ wiemy, że cała granica nie ma rozbiegać do nieskończoności, tylko zbiegać do 1 (patrz punkt 1), nasz licznik MUSI być tym wyrażeniem nieoznaczonym, żebyśmy mieli na to szanse. Wyrażenie w nawiasie \displaystyle {\left( {1+\tfrac{2}{x}-{{a}^{2}}-\tfrac{{2ab}}{x}-\tfrac{{2ac}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{3}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{4}}}}} \right)}musi więc zbiegać do zera. Składniki z x-sami w mianownikach już zbiegają, pozostaje nam 1-{a}^{2}, które powinno być równe zero. Stąd wniosek, że:

      \displaystyle {{a}^{2}}=1

      \displaystyle a=1\ \vee a=-1

      Mam więc dwa przypadki do rozpatrzenia, \displaystyle a=1i \displaystyle a=-1.

      Zacznę od przypadku, że \displaystyle a=1:

      \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{2}}\left( {\tfrac{2}{x}-\tfrac{{2b}}{x}-\tfrac{{2c}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{3}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{4}}}}} \right)}}{{\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}+1+\tfrac{b}{x}+\tfrac{c}{{{{x}^{2}}}}}}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{x\left( {2-2b-\tfrac{{2c}}{x}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{x}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{3}}}}} \right)}}{{\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}+1+\tfrac{b}{x}+\tfrac{c}{{{{x}^{2}}}}}}=

      Tutaj sytuacja jest analogiczna. Licznik, a wraz z nim całe wyrażenie, rozbiega do nieskończoności, CHYBA ŻE wyrażenie w nawiasie, tzn. \displaystyle {x\left( {2-2b-\tfrac{{2c}}{x}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{x}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{3}}}}} \right)}zbiega do zera.

      Stąd analogiczny wniosek, że 2-2bmusi być równe zero, czyli:

      b=1

      Z tym założeniem liczę dalej:

      =\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( -\tfrac{2c}{x}-\tfrac{1}{x}-\tfrac{2c}{{{x}^{2}}}-\tfrac{{{c}^{2}}}{{{x}^{3}}} \right)}{\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}+1+\tfrac{1}{x}+\tfrac{c}{{{x}^{2}}}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2c-1-\tfrac{2c}{x}-\tfrac{{{c}^{2}}}{{{x}^{2}}}}{\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}+1+\tfrac{1}{x}+\tfrac{c}{{{x}^{2}}}}=\frac{-2c-1}{2}

      Wiem, że wynik musi wyjść 1, zatem:

      \frac{-2c-1}{2}=1

      -2c-1=2

      -2c=3

      c=-\frac{3}{2}

      Pierwsza odpowiedź więc to: odpowiedź więc, to: a=1,b=1,c=-\frac{3}{2}

      Co potwierdza WolframAlpha:

      http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_(x-%3Eoo)%20(sqrt(x%5E4%2B2x%5E3)-x%5E2-x%2B3%2F2)&t=crmtb01

      Pozostaje oczywiście przypadek \displaystyle a=-1:

      W tym przypadku granica będzie równa:

      \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{2}}\left( {\tfrac{2}{x}+\tfrac{{2b}}{x}+\tfrac{{2c}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{3}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{4}}}}} \right)}}{{\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}-1+\tfrac{b}{x}+\tfrac{c}{{{{x}^{2}}}}}}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{x\left( {2+2b+\tfrac{{2c}}{x}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{x}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{3}}}}} \right)}}{{\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}-1+\tfrac{b}{x}+\tfrac{c}{{{{x}^{2}}}}}}=

      Wyrażenie w nawiasie w liczniku \displaystyle {\left( {2+2b+\tfrac{{2c}}{x}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{x}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{3}}}}} \right)}musi znowu zbiegać do zera, czyli musi być:

      \displaystyle 2+2b=0

      \displaystyle b=-1

      Granica przyjmie wtedy postać:

      \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{x\left( {\tfrac{{2c}}{x}-\tfrac{1}{x}+\tfrac{{2c}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{3}}}}} \right)}}{{\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}-1-\tfrac{1}{x}+\tfrac{c}{{{{x}^{2}}}}}}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{2c-1+\tfrac{{2c}}{x}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}}}{{\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}-1-\tfrac{1}{x}+\tfrac{c}{{{{x}^{2}}}}}}

      Tym razem zauważamy jednak, że mianownik dąży do zera (a nie do 2, jak w poprzednim przypadku). Aby całość dążyła do 1, licznik musi dążyć również do zera, powinno więc być:

      \displaystyle 2c-1=0

      \displaystyle c=\frac{1}{2}

      Dla tak dobranego cwychodzimy na granicę:

      \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\tfrac{1}{x}-\tfrac{{\tfrac{1}{4}}}{{{{x}^{2}}}}}}{{\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}-1-\tfrac{1}{x}+\tfrac{{\tfrac{1}{2}}}{{{{x}^{2}}}}}}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1-\tfrac{{\tfrac{1}{4}}}{x}}}{{x\left( {\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}-1-\tfrac{1}{x}+\tfrac{{\tfrac{1}{2}}}{{{{x}^{2}}}}} \right)}}

      Policzenie jej odpuszczę już sobie, ale można szybko sprawdzić w kalkulatorze, że równa jest nieskończoność (a nie 1):

      Wynik tej granicy

      Dla przypadku, gdy a=-1nie otrzymujemy więc rozwiązania.

      Jedyną odpowiedzią jest: a=1,b=1,c=-\frac{3}{2}.

  6. Ignacy pisze:

    Bardzo fajny artykuł ,ale mam problem z jedną rzeczą.W ostatnim przykładzie mamy podzielić obie strony przez (2e-1) i nie rozumiem dlaczego zmieniamy znak nierówności.Zgoda ,że dla pewnych wartości epsilon wyrażenie (2e-1) jest ujemne ale epsilon może przyjmować również wartości dla których to wyrażenie jest dodatnie ,a więc po podzieleniu i zmianie znaku nasza nierówność będzie dla pewnych wartości epsilon nieprawdziwa.
    Pozdrawiam Ignacy

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Ale już w następnym zdaniu artykułu biorę się do wyjaśniania, o co chodzi 🙂

      Chodzi o to, że pokazuję, że nierówność NIE zachodzi dla pewnych wartości epsilon (np. takich, dla których 2e-1 jest ujemne), a z tego, że ta nierówność NIE zachodzi dla wszystkich epsilonów wynika, że liczba NIE jest granicą ciągu.

    2. Ignacy pisze:

      Rozumiem. Zastanawiałem się jeszcze tylko dlaczego nie rozpatrzył Pan dwóch przypadków albo nie wspomniał o tym ,że tak trzeba.W końcu olśniło mnie ,że nie trzeba tego robić bo jeżeli nasza nierówność może przyjmować różną postać w zależności od epsilona to zawsze lepiej wybrać tą mniejszą wartość bo jeżeli okaże się ,że równanie jest nie prawdziwe to mamy koniec zadania ,a jeżeli okazałoby się że nierówność jest prawdziwa to tym bardziej jest prawdziwa dla większych epsilonów choćby wartość graniczna N dla obydwu wartości epsilon była taka sama. Czy dobrze myślę?

  7. Paulina pisze:

    Witam. Mam problem z obliczeniem granicy ciągu an= [1+2^2√2+3^2√(trzeciego stopnia)3+…+n^2√(ntego stopnia)n] / n(n+1)(n+2) . Proszę o pomoc.
    Pozdrawiam, Paulina

  8. Albert pisze:

    Serdecznie dziękuję :-). Wszystko wytłumaczone krok po kroku nic dodać nic ująć świetny blog! Pozdrawiam

  9. irena pisze:

    prosze o pomoc mam zad wyznaczyc dziedzine i zbior wartosci funkcji f(x)-2-4/x-3/

  10. Gosia pisze:

    Cześć, a co jeśli wychodzi mi lim=2n/3? czyli nieskończoność/3, to wynikiem jest 0?

    1. Jeśli wynik granicy wychodzi fraction numerator 2 n over denominator 3 end fraction to po podstawieniu otrzymujemy open square brackets fraction numerator 2 times infinity over denominator 3 end fraction close square brackets equals open square brackets infinity over 3 close square brackets equals infinity . Bierze się to stąd, że jakąś bardzo, bardzo dużą liczbę dzieli się przez 3, to i tak będzie ona nadal bardzo duża.

      Granica zero wychodzi jedynie w przypadku, gdy w podstawieniu nieskończoność jest mianowniku, czyli  open square brackets A over infinity close square brackets equals 0 .

  11. Anna pisze:

    Cześć, mam problem z policzeniem takiej granicy:lim \square root of n(\square root of n plus 3 end root – \square root of n minus 1 end root)Bardzo proszę o pomoc 🙂

  12. Grzegorz pisze:

    Czy można z definicji granicy udowodnić, że granicą (1-q^n)/(1-q) jest 1/(1-q)?

    1. Można.

      Trzeba na początek dodać, że zakładamy, że q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses (dla innych wartości q granicą limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction nie jest wcale fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction).

      Dowód

      Musimy pokazać, że niezależnie jak bardzo małe epsilon greater than 0 sobie obierzemy, od pewnych wartości n „w górę”, czyli dla wszystkich n większych od jakiegoś N zachodzi zawsze nierówność:

      open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon

      Umawiamy się więc, że q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses i że bierzemy sobie jakieś dowolne epsilon . Nie określamy dokładnie jakie, bo epsilon musi być zupełnie dowolny.

      Bierzemy się za nierówność:

      open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon

      Mianownik po lewej już jest wspólny, czyli:

      open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n minus 1 over denominator 1 minus g end fraction close vertical bar less than epsilon

      open vertical bar fraction numerator negative q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction close vertical bar less than epsilon

      Wartość bezwzględna po lewej jest równoważna:

      fraction numerator begin display style open vertical bar negative q to the power of n close vertical bar end style over denominator begin display style open vertical bar 1 minus g close vertical bar end style end fraction less than epsilon

      Co do licznika, wiadomo, że open vertical bar negative q to the power of n close vertical bar equals open vertical bar q to the power of n close vertical bar, ale nie możemy tak po prostu wartości bezwzględnej opuścić, bo q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses, czyli q to the power of n może też przyjmować wartości ujemne dla pewnych q.

      Co do mianownika, skoro q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses, to 1 minus q jest zawsze dodatnie. Wartość bezwzględną możemy więc pominąć. Mamy:

      fraction numerator begin display style open vertical bar q to the power of n close vertical bar end style over denominator begin display style 1 minus q end style end fraction less than epsilon

      Obie strony możemy pomnożyć przez 1 minus q i na pewno nie zmieni to znaku nierówności (q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses).

      open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

      Obie strony możemy zlogarytmować:

      ln open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

      Prawdą jest też, że: open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than open vertical bar q close vertical bar to the power of n, czyli mamy:

      ln open vertical bar q close vertical bar to the power of n less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

      Korzystając z własności logarytmu:

      n ln open vertical bar q close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

      Teraz bardzo ważna rzecz. Dzieląc obie strony nierówności przez ln open vertical bar q close vertical bar wiemy, że dzielmy na pewno przez liczbę UJEMNĄ, ponieważ q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses. Argument logarytmu jest więc mniejszy od 1, a z wykresu funkcji logarytmicznej wiemy, że dla takich argumentów wartości logarytmu są ujemne.

      Skoro dzielimy przez liczbę ujemną, zmieniamy znak:

      n ln open vertical bar q close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses space space space space space divided by colon ln open vertical bar q close vertical bar
n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction

      Pokazaliśmy więc, że nierówność open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon zachodzi wtedy i tylko wtedy, kiedy zachodzi nierówność n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

      Zastanówmy się, co z tego wynika.

      Powiedzmy, że wybieramy sobie jakieś dowolne epsilon greater than 0. Dla tego wybranego przez nas, dowolnego, epsilon greater than 0 wyliczyć możemy sobie liczbę fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

      Skoro jednak pokazaliśmy, że n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction, oznacza to, że niezależnie jaka by ta fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction nie była, od pewnych wartości n będą one większe od fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

      A więc faktycznie:

      for all for epsilon greater than 0 of there exists for N of for all for n greater than N of open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon

      Dowodzi to, że faktycznie granicą ciągu fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction przy q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses jest fraction numerator 1 over denominator 1 minus g end fraction.

  13. Magdalena pisze:

    Dzień dobry, mam problem z jednym przykładem z zadania, które dotyczy obliczenia granicy ciągu:

    a n equals fraction numerator open parentheses square root of n squared plus 1 end root space plus space 2 n close parentheses squared over denominator space cube root of begin display style 1 over 8 end style n to the power of 6 plus 2 n space space space end root space end fraction
subscript blank

    Nie do końca wiem, jak poradzić sobie z tymi pierwiastkami i potęgami przy wyciąganiu czegoś przed nawias. Bardzo proszę o pomoc 🙂

  14. wm pisze:

    Witam, jak poradzic sobie z przykładem,  w którym trzeba wykazac z definicji ze granicą ciągu jest nieskonczonosc? tak samo mamy ją „odjąc” od ciągu?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Nie, trzeba inaczej.

      Definicją granicy niewłaściwej jest:

      Ciąg a subscript n jest rozbieżny do plus infinity, jeśli:

      for all for M element of straight real numbers of there exists for N of for all for n greater than N of a subscript n greater than M

      Ciąg a subscript n jest rozbieżny do negative infinity, jeśli:

      for all for M element of straight real numbers of there exists for N of for all for n greater than N of a subscript n less than M

      Trzeba więc wyjść z nierówności

      a subscript n greater than M

      lub:

      a subscript n less than M

      Ma Pan jakiś konkretny przykład?