Granica ciągu z definicji – przykłady

 

Granica ciągu Wykład 2

 

Temat:Wyznaczanie granicy ciągu z definicji

 

Streszczenie

W artykule pokażę, jak w praktyce można “wyczuć” definicję granicy ciągu na konkretnych przykładach. Przypomnijmy sobie definicję granicy ciągu:

Definicja granicy ciągu

Liczbę g nazywamy granicą ciągu wtedy i tylko wtedy, gdy:

underset{varepsilon >0}{mathop forall },underset{N}{mathop exists },underset{n>N}{mathop forall },left| {{a}_{n}}-g right|<varepsilon

Chodziło o to, że dla dowolnie małego, obranego z góry, epsilona (epsilon), znajdziemy taki numer wyrazu ciągu (N), że wszystkie wyrazy z kolejnymi numerami większymi od N ( n>N )  będą miały odległość od granicy g mniejszą od epsilona ( left| {{a}_{n}}-g right|<varepsilon ) – nieważne, jak mały by ten ustalony epsilon nie był.

Trudne? No jasne, że trudne. Żeby zrozumieć, potrzeba praktyki. Zobaczymy sobie jak to działa na przykładach.

Przykład 1 na obliczanie od którego wyrazu ciągu spełniona jest nierówność dla danego epsilona

Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a_n={2n+1}/n i granicy g=2. Dla epsilona równego {epsilon}=0,017 – które wyrazy ciągu spełniają nierówność delim{|}{a_n-g}{|}<{epsilon}?

W zadaniu ustaliliśmy epsilon na 0,017. Trzeba obliczyć, od którego wyrazu odległości wyrazów ciągu od granicy będą już mniejsze od tych 0,017. Wyciągnij kalkulator, O.K.?

Najpierw bardzo powoli, namacamy sobie o co chodzi…

Nasz ciąg rozpisany wyraz po wyrazie wyglądał by tak:

a_n={2n+1}/n={2*1+1}/1,{2*2+1}/2,{2*3+1}/3,{2*4+1}/4,{2*5+1}/5,...itd.

Kolejne wyrazy otrzymuję podstawiając za na konkretne numery. Porządkując będę miał:

a_n={2n+1}/n=3/1,5/2,7/3,9/4,11/5,...itd.

Czyli:

a_n={2n+1}/n=3,2{1/2},2{1/3},2{1/4},2{1/5},...itd.

Kolejne wyrazy ciągu będą coraz “bliżej” liczby 2. Nasze zadanie to znaleźć taki numer wyrazu ciągu, od którego odległości od dwójki będą mniejsze od zadanych {epsilon}=0,017.

Z pewnością nie będzie to pierwszy wyraz. Jest on równy 3. Jego odległość od granicy (g=2) jest równa 1! To znacznie więcej od żądanego {epsilon}=0,017.

Nie będzie to także wyraz drugi ( odległość=delim{|}{2{1/2}-2}{|}=1/2, czyli mniej od {epsilon}=0,017), ani żaden z pierwszych pięciu przeze mnie wypisanych.

Nie będzie to wyraz pięćdziesiąty, bo równy on jest a_50={2*50+1}/50=101/50=2{1/50}=2{2/100}=2,02, a jego odległość od 2 równa jest 0,02, czyli wciąż więcej od zadanego {epsilon}=0,017.

Za to wyraz setny spełnia zadany warunek, bo a_100={2*100+1}/100=201/100=2{1/100}=2,01, jego odległość od dwóch jest równa 0,01, czyli jest mniejsza od 0,017. Są jednak wyrazy o mniejszych od 100 numerach, które warunek ten również spełniają. Naszym zadaniem jest znaleźć numer graniczny, od którego odległość wyrazów ciągu od 2 jest już mniejsza niż 0,017. Skoro odległość wyrazu pięćdziesiątego warunku nie spełnia, a setnego spełnia, wydaje się, że będzie to jakiś wyraz pomiędzy pięćdziesiątym, a setnym… Jak go znaleźć dokładnie?

Przypominamy sobie definicję…

underset{varepsilon >0}{mathop forall },underset{N}{mathop exists },underset{n>N}{mathop forall },left| {{a}_{n}}-g right|<varepsilon

I nierówność z niej…

delim{|}{a_n-g}{|}<{epsilon}

a_n z tej definicji to ogólny wyraz ciągu, w naszym przykładzie jest równy a_n={2n+1}/n. epsilon mamy zadany z góry {epsilon}=0,17, a granica g równa jest 2. Wstawiamy to wszystko do nierówności i mamy:

delim{|}{{2n+1}/n-2}{|}<0,017

Sprowadzamy w środku wartości bezwzględnej do wspólnego mianownika:

delim{|}{{2n+1}/n-{2n}/n}{|}<0,017

Odejmujemy i mamy:

delim{|}{{2n+1-2n}/n}{|}<0,017

Czyli:

delim{|}{1/n}{|}<0,017

Teraz trochę trudniej. Po lewej strony nierówności w środku wartości bezwzględnej mamy 1/n. To wyrażenie jest zawsze dodatnie, bo n oznacza numer wyrazu ciągu i bierzemy za niego liczby takie jak: 1, 2, 10. Czyli mamy wartość bezwzględną z liczby dodatniej. Możemy zatem ją opuścić, bo wartość bezwzględna z liczby dodatniej jest zawsze dodatnia:

1/n<0,017

Mnożymy obie strony przez n i znowu musimy się pozastrzegać, że ‘n’ jest zawsze dodatnie i nie zmieni to na pewno znaku nierówności. Otrzymamy po tym przemnożeniu obu stron:

1<0,017n

Teraz obie strony dzielimy przez 0,017 (używamy kalkulatora i bierzemy jakieś rozsądne przybliżenie).

58,824<n

Patrząc na tą nierówność i pamiętając, że ‘n’ oznacza numer wyrazu ciągu – jaka będzie odpowiedź?

Odpowiedź

Wszystkie wyrazy ciągu o numerach od 59 w górę spełniają nierówność. W tym ciągu odległość wyrazu 58-go od 2 nie jest jeszcze mniejsza od zadanego epsilona, ale 59-tego, 60-tego, 61-go,… i każdego następnego już tak.

Przykład 2 na obliczanie od którego wyrazu ciągu spełniona jest nierówność dla danego epsilona

Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a_n=1/{n^2+1} i granicy g=0. Dla epsilona równego {epsilon}=27/10235 – które wyrazy ciągu spełniają nierówność delim{|}{a_n-g}{|}<{epsilon}?

Ten przykład jest bardzo podobny do poprzedniego. Epsilon mamy ustalony na 27/10235. Trzeba obliczyć, od którego wyrazu odległości wyrazów ciągu od granicy będą mniejsze od tej wartości.

Rozpiszmy ciąg:

a_n=1/{n^2+1}=1/{1^2+1},1/{2^2+1},1/{3^2+1},1/{4^2+1},1/{5^2+1},...itd.

Czyli…

a_n=1/{n^2+1}=1/2,1/5,1/10,1/17,1/26,...itd.

Wyrazy ciągu są coraz mniejsze i mniejsze, zbliżając się do zera. Trzeba wyznaczyć, które mają tą odległość mniejszą od {epsilon}=27/10235

Znowu nie będzie tak łatwo, “na oko” widać, że nie będzie to żaden z pierwszych pięciu wyrazów. Przejdźmy może do razu do rzeczy…

delim{|}{a_n-g}{|}<{epsilon}

Do  nierówności z definicji wstawiamy odpowiednie wartości:

delim{|}{1/{n^2+1}-0}{|}<27/10235

Czyli…

delim{|}{1/{n^2+1}}{|}<27/10235

Wartość bezwzględną możemy znowu opuścić, bo 1/{n^2+1} jest zawsze dodatnie, można więc zapisać:

1/{n^2+1}<27/10235

Obie strony możemy pomnożyć przez n^2+1, bo n^2+1 jest zawsze większe od zera…

1<{27/10235}(n^2+1)

Obie strony mnożymy przez 10235 (żeby było łatwiej) i mamy:

10235<27(n^2+1)

10235<27n^2+27

Przenosimy 27 na lewo:

10208<27n^2

Obie strony dzielimy przez 27 (kalkulator) i w przybliżeniu:

378,074<n^2

‘n’ może być tylko dodatnie (jak to jednak życie ułatwia, prawda?) więc możemy zapisać:

sqrt{378,074}<n

Czyli w przybliżeniu:

19,444<n

Mamy więc:

Odpowiedź

Wszystkie wyrazy ciągu począwszy od 20-tego spełniają nierówność.

Przykład 1 na obliczanie granicy ciągu z definicji

Zróbmy jeszcze inne zadanie, w którym trzeba będzie “pogrzebać” w definicji granicy ciągu:

Pokaż z definicji, że granicą ciągu a_n={5n}/{4n+1} jest liczba 5/4.

Korzystając z definicji, należy pokazać, że dla dowolnie małego epsilon istniał taki numer wyrazu ciągu, od którego już kolejne wyrazy będą spełniać nierówność:

delim{|}{a_n-g}{|}<{epsilon}

A w naszym konkretnym przykładzie, trzeba pokazać, że dla dowolnie małego epsilona dla wszystkich n począwszy od jakiegoś spełniona będzie nierówność:

delim{|}{{5n}/{4n+1}-5/4}{|}<{epsilon}

Zrobimy to wyznaczając ‘n’ z powyższej nierówności. Na początku sprowadzamy do wspólnego mianownika…

delim{|}{{5n*4}/{(4n+1)*4}-{5(4n+1)}/{4(4n+1)}}{|}<{epsilon}

Po lekkich porządkach:

delim{|}{{20n-20n-5}/{4(4n+1)}}{|}<{epsilon}

delim{|}{{~-5}/{4(4n+1)}}{|}<{epsilon}

Tą wartość bezwzględną po lewej możemy rozbić – na przykład – tak:

{delim{|}{-5}{|}}/{delim{|}{4(4n+1)}{|}}<{epsilon}

Czyli:

5/{16n+4}<{epsilon}

Obie strony możemy pomnożyć przez 16n+4 (bo jest to zawsze dodatnie).

5<{epsilon}(16n+4)

5<16{epsilon}n+4{epsilon}

5-4{epsilon}<16{epsilon}n

Obie strony dzielimy przez 16{epsilon} (możemy, bo epsilon w definicji granicy jest zawsze dodatni):

{5-4{epsilon}}/{16{epsilon}}<n

I teraz: n to numery wyrazów ciągu. Są coraz większe i większe. Jakikolwiek epsilon ustalimy sobie po lewej stronie nierówności, otrzymamy tam jakąś stałą liczbę. Choćby była ona bardzo wielka jednak – i tak, skoro n rośnie i rośnie, to w końcu prawa strona nierówności “przeskoczy” lewą i od jakiegoś n nierówność będzie spełniona, niezależnie od wyboru epsilon.

Pokazaliśmy więc z definicji, co mieliśmy pokazać.

Zróbmy jeszcze na koniec przykład w drugą stronę…

Przykład 2 na obliczanie granicy ciągu z definicji

Sprawdź z definicji, czy granicą ciągu a_n={n+2}/{n-1}, gdzie n jest większe od 1, jest liczba 1/2.

Zwróćmy uwagę na niuansik. W poprzednim przykładzie w treści zadania było “Wykaż, że…” – czyli wiadomo było z góry, że tamta liczba była granicą ciągu i trzeba było to tylko udowodnić. Tutaj mamy “Sprawdź, czy…” – a więc być może nasza liczba granicą ciągu nie będzie w ogóle.

Zaczynamy od nierówności z definicji…

delim{|}{a_n-g}{|}<{epsilon}

Do której podstawiamy odpowiednie wartości…

delim{|}{{n+2}/{n-1}-1/2}{|}<{epsilon}

Znowu próbujemy wyznaczyć ‘n’ z powyższej nierówności.

delim{|}{{(n+2)*2}/{(n-1)*2}-{n-1}/{2(n-1)}}{|}<{epsilon}

delim{|}{{2n+4-n+1}/{2n-2}}{|}<{epsilon}

{delim{|}{n+5}{|}}/{delim{|}{2n-2}{|}}<{epsilon}

Wartości bezwzględne można opuścić, bo – zwróć uwagę na treść zadania – powiedziane jest, że n greater than 1, czyli wartość bezwzględna na dole jest liczona z liczby dodatniej.

{n+5}/{2n-2}<{epsilon}

Obie strony mnożymy przez mianownik (można z tych samych powodów, dla których opuściliśmy wartość bezwzględną):

n+5<{epsilon}(2n-2)

n+5<2{epsilon}n-2{epsilon}

5+2{epsilon}<2{epsilon}n-n

5+2{epsilon}<n(2{epsilon}-1)

Przez 2{epsilon}-1 podzielić tak sobie nie możemy, bo dla pewnych wartości epsilon wyrażenie jest 2{epsilon}-1 dodatnie, a dla pewnych epsilon wyrażenie jest ujemne. Jeżeli ustalilibyśmy epsilon na przykład bardzo malutkie (możemy, bo ono mogło być dowolne) wyrażenie 2{epsilon}-1 będzie ujemne i po podzieleniu obu stron przez: 2{epsilon}-1 (pamiętamy o zmianie znaku nierówności po przemnożeniu obustronnym przez ujemną wartość!):

Końcowa nierówność w definicji granicy ciągu

Mamy więc (ze względu na odwrócony znak nierówności) sytuację zupełnie odwrotną, niż w poprzednim przykładzie. Po lewej jakąś ustaloną liczbę. Po prawej liczby coraz większe i większe. Można stwierdzić, że od pewnych n-ów nierówność NIE będzie spełniona (a miała być spełniona dla dowolnego epsilon).

Zatem liczba z zadania nie jest granicą ciągu.

 

Kliknij, aby przypomnieć sobie definicję granicy ciągu (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, dowiedzieć się więcej o wyrażeniach nieoznaczonych w granicach ciągu (następny Wykład) –>

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o granicach

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. wm pisze:

    Witam, jak poradzic sobie z przykładem,  w którym trzeba wykazac z definicji ze granicą ciągu jest nieskonczonosc? tak samo mamy ją “odjąc” od ciągu?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Nie, trzeba inaczej.

      Definicją granicy niewłaściwej jest:

      Ciąg a subscript n jest rozbieżny do plus infinity, jeśli:

      for all for M element of straight real numbers of there exists for N of for all for n greater than N of a subscript n greater than M

      Ciąg a subscript n jest rozbieżny do negative infinity, jeśli:

      for all for M element of straight real numbers of there exists for N of for all for n greater than N of a subscript n less than M

      Trzeba więc wyjść z nierówności

      a subscript n greater than M

      lub:

      a subscript n less than M

      Ma Pan jakiś konkretny przykład?51/4a/9d54b58ea3e7d8fe464d9a5e5151.png” alt=”f open parentheses x comma y close parentheses equals open parentheses x squared plus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/msup»«/math»” /> jest parzysta, to

      A subscript 3 equals A subscript 2 equals 0

      B subscript 3 equals B subscript 2 equals 0

      C subscript 3 equals C subscript 2 equals negative 4 over e

      Dalej liczymy hesjan:

      H equals open vertical bar table row A B row B C end table close vertical bar equals A times C minus B squared

      H subscript 1 equals A subscript 1 times C subscript 1 minus B subscript 1 superscript 2 equals 2 times 2 minus 0 squared equals 4

      H subscript 2 equals A subscript 2 times C subscript 2 minus B subscript 2 superscript 2 equals 0 times open parentheses negative 4 over e close parentheses minus 0 squared equals 0

      H subscript 3 equals H subscript 2 equals 0

      Ponieważ

      H subscript 1 equals 4 greater than 0 comma space A subscript 1 equals 2 greater than 0,

      to w punkcie P subscript 1 open parentheses 0 comma 0 close parentheses funkcja osiąga minimum lokalne, i

      f subscript m i n end subscript equals f open parentheses 0 comma 0 close parentheses equals open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses end exponent equals 0

      Ponieważ

      H subscript 2 equals H subscript 3 equals 0

      to w punktach P subscript 2 open parentheses 0 comma 1 close parentheses oraz P subscript 3 open parentheses 0 comma negative 1 close parentheses sytuacja jest nieznana (potrzebujemy wiele badań). 

       

      Jednak, jak już mówiono powyżej, współrzędne tych punktów spełniają warunek 

      x squared plus y squared equals 1

      dlatego w tych punktach nie ma ekstrema lokalne.

      Odpowiedź:

      f subscript m i n end subscript equals f open parentheses 0 comma 0 close parentheses equals 0

      5b/4e/4a87bb1fa7976d920fd270009d4b.png” alt=”fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential x partial differential y end fraction equals fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential y partial differential x end fraction equals 4″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mo»§#8706;«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#8706;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8706;«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mo»§#8706;«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#8706;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8706;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/math»” />

      fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential y squared end fraction equals 12 y squared minus 4

       

      Macierz Hessego ma postać:

      H subscript f left parenthesis x comma y right parenthesis equals open square brackets table row cell 12 x squared minus 4 end cell 4 row 4 cell 12 y squared minus 4 end cell end table close square brackets

       

      H subscript f left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 right parenthesis equals H subscript f left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 right parenthesis equals open square brackets table row 20 4 row 4 20 end table close square brackets

      M subscript 1 left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 right parenthesis equals M subscript 1 left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 right parenthesis equals 20 greater than 0

      M subscript 2 left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 right parenthesis equals M subscript 2 left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 right parenthesis equals 20 times 20 minus 4 times 4 equals 384 greater than 0

      Zatem w punktach open parentheses square root of 2 comma negative square root of 2 close parentheses oraz open parentheses negative square root of 2 comma square root of 2 close parentheses podana funkcja ma minima lokalne właściwe. 

       

      H subscript f left parenthesis 0 comma 0 right parenthesis equals open square brackets table row cell negative 4 end cell 4 row 4 cell negative 4 end cell end table close square brackets

      M subscript 2 left parenthesis 0 comma 0 right parenthesis equals open parentheses negative 4 close parentheses times open parentheses negative 4 close parentheses minus 4 times 4 equals 0

      Na razie nie wiemy, czy w punkcie open parentheses 0 comma 0 close parentheses funkcja f ma ekstremum. 

      Dla x equals 0 mamy: f left parenthesis 0 comma y right parenthesis equals y to the power of 4 minus 2 y squared. Wtedy punkt open parentheses 0 comma 0 close parentheses to maksimum lokalne funkcji f.

      Dla y equals x mamy:
       f left parenthesis x comma x right parenthesis equals x to the power of 4 plus x to the power of 4 minus 2 x squared plus 4 x squared minus 2 x squared equals 2 x to the power of 4. Wtedy
      punkt open parentheses 0 comma 0 close parentheses to minimum lokalne.

      Zatem w punkcie open parentheses 0 comma 0 close parentheses funkcja f nie posiada ekstremum.

       

      Musimy zbadać jeszcze wartości na brzegach wskazanego obszaru ograniczonego prostymi: x equals 0 comma space y equals 0 comma space x plus y equals 5.

       

  2. Magdalena pisze:

    Dzień dobry, mam problem z jednym przykładem z zadania, które dotyczy obliczenia granicy ciągu:

    a n equals fraction numerator open parentheses square root of n squared plus 1 end root space plus space 2 n close parentheses squared over denominator space cube root of begin display style 1 over 8 end style n to the power of 6 plus 2 n space space space end root space end fraction
subscript blank

    Nie do końca wiem, jak poradzić sobie z tymi pierwiastkami i potęgami przy wyciąganiu czegoś przed nawias. Bardzo proszę o pomoc :)5c/2f/fe28ffc2d7c7a13c99668af91e6c.png” alt=”q” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»q«/mi»«/math»” /> granicą limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction nie jest wcale fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction).

    Dowód

    Musimy pokazać, że niezależnie jak bardzo małe epsilon greater than 0 sobie obierzemy, od pewnych wartości n “w górę”, czyli dla wszystkich n większych od jakiegoś N zachodzi zawsze nierówność:

    open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon

    Umawiamy się więc, że q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses i że bierzemy sobie jakieś dowolne epsilon . Nie określamy dokładnie jakie, bo epsilon musi być zupełnie dowolny.

    Bierzemy się za nierówność:

    open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon

    Mianownik po lewej już jest wspólny, czyli:

    open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n minus 1 over denominator 1 minus g end fraction close vertical bar less than epsilon

    open vertical bar fraction numerator negative q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction close vertical bar less than epsilon

    Wartość bezwzględna po lewej jest równoważna:

    fraction numerator begin display style open vertical bar negative q to the power of n close vertical bar end style over denominator begin display style open vertical bar 1 minus g close vertical bar end style end fraction less than epsilon

    Co do licznika, wiadomo, że open vertical bar negative q to the power of n close vertical bar equals open vertical bar q to the power of n close vertical bar, ale nie możemy tak po prostu wartości bezwzględnej opuścić, bo q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses, czyli q to the power of n może też przyjmować wartości ujemne dla pewnych q.

    Co do mianownika, skoro q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses, to 1 minus q jest zawsze dodatnie. Wartość bezwzględną możemy więc pominąć. Mamy:

    fraction numerator begin display style open vertical bar q to the power of n close vertical bar end style over denominator begin display style 1 minus q end style end fraction less than epsilon

    Obie strony możemy pomnożyć przez 1 minus q i na pewno nie zmieni to znaku nierówności (q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses).

    open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

    Obie strony możemy zlogarytmować:

    ln open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

    Prawdą jest też, że: open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than open vertical bar q close vertical bar to the power of n, czyli mamy:

    ln open vertical bar q close vertical bar to the power of n less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

    Korzystając z własności logarytmu:

    n ln open vertical bar q close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

    Teraz bardzo ważna rzecz. Dzieląc obie strony nierówności przez ln open vertical bar q close vertical bar wiemy, że dzielmy na pewno przez liczbę UJEMNĄ, ponieważ q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses. Argument logarytmu jest więc mniejszy od 1, a z wykresu funkcji logarytmicznej wiemy, że dla takich argumentów wartości logarytmu są ujemne.

    Skoro dzielimy przez liczbę ujemną, zmieniamy znak:

    n ln open vertical bar q close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses space space space space space divided by colon ln open vertical bar q close vertical bar
n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction

    Pokazaliśmy więc, że nierówność open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon zachodzi wtedy i tylko wtedy, kiedy zachodzi nierówność n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

    Zastanówmy się, co z tego wynika.

    Powiedzmy, że wybieramy sobie jakieś dowolne epsilon greater than 0. Dla tego wybranego przez nas, dowolnego, epsilon greater than 0 wyliczyć możemy sobie liczbę fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

    Skoro jednak pokazaliśmy, że n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction, oznacza to, że niezależnie jaka by ta fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction nie była, od pewnych wartości n będą one większe od fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

    A więc faktycznie:

    for all for epsilon greater than 0 of there exists for N of for all for n greater than N of open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon

    Dowodzi to, że faktycznie granicą ciągu fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction przy q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses jest fraction numerator 1 over denominator 1 minus g end fraction.f9/e7/679e551ab38fffc4328d16bbc3c7.png” alt=”u apostrophe equals x e to the power of negative 2 x end exponent” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»`«/mo»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/math»” />

    Skorzystamy z wyników, otrzymanych podczas obliczeń w sposób 1:

    u open parentheses x close parentheses equals integral u apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral x e to the power of negative 2 x end exponent d x equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C

    Stąd

    p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses equals open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent

    i, odpowiednio,

    y open parentheses x close parentheses equals integral y apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral p open parentheses x close parentheses d x equals integral open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent close parentheses d x equals

    negative fraction numerator x squared plus x over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 over 2 e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 2

     

     

     

     

    1. Pójdzie tak:

      limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator open parentheses square root of n squared plus 1 end root plus 2 n close parentheses squared over denominator cube root of begin display style 1 over 8 n to the power of 6 plus 2 n end style end root end fraction equals limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator begin display style open parentheses square root of n squared open parentheses 1 plus fraction numerator begin display style 1 end style over denominator n squared end fraction close parentheses end root plus 2 n close parentheses squared end style over denominator begin display style cube root of n to the power of 6 open parentheses fraction numerator begin display style 1 end style over denominator begin display style 8 end style end fraction plus fraction numerator begin display style 2 end style over denominator n to the power of 5 end fraction close parentheses end root end style end fraction equals limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator begin display style open parentheses square root of n squared open parentheses 1 plus fraction numerator begin display style 1 end style over denominator n squared end fraction close parentheses end root plus 2 n close parentheses squared end style over denominator begin display style cube root of n to the power of 6 open parentheses fraction numerator begin display style 1 end style over denominator begin display style 8 end style end fraction plus fraction numerator begin display style 2 end style over denominator n to the power of 5 end fraction close parentheses end root end style end fraction equals

      limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator begin display style open parentheses n square root of 1 plus fraction numerator begin display style 1 end style over denominator n squared end fraction end root plus 2 n close parentheses squared end style over denominator begin display style n squared cube root of fraction numerator begin display style 1 end style over denominator begin display style 8 end style end fraction plus fraction numerator begin display style 2 end style over denominator n to the power of 5 end fraction end root end style end fraction equals limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator begin display style open square brackets n open parentheses square root of 1 plus fraction numerator begin display style 1 end style over denominator n squared end fraction end root plus 2 close parentheses close square brackets squared end style over denominator begin display style n squared cube root of fraction numerator begin display style 1 end style over denominator begin display style 8 end style end fraction plus fraction numerator begin display style 2 end style over denominator n to the power of 5 end fraction end root end style end fraction equals limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator begin display style n squared open parentheses square root of 1 plus fraction numerator begin display style 1 end style over denominator n squared end fraction end root plus 2 close parentheses squared end style over denominator begin display style n squared cube root of fraction numerator begin display style 1 end style over denominator begin display style 8 end style end fraction plus fraction numerator begin display style 2 end style over denominator n to the power of 5 end fraction end root end style end fraction equals

      equals limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator begin display style open parentheses square root of 1 plus fraction numerator begin display style 1 end style over denominator n squared end fraction end root plus 2 close parentheses squared end style over denominator begin display style cube root of fraction numerator begin display style 1 end style over denominator begin display style 8 end style end fraction plus fraction numerator begin display style 2 end style over denominator n to the power of 5 end fraction end root end style end fraction equals fraction numerator open parentheses square root of 1 plus 2 close parentheses squared over denominator cube root of fraction numerator begin display style 1 end style over denominator begin display style 8 end style end fraction end root end fraction equals fraction numerator 9 over denominator begin display style 1 half end style end fraction equals 18

       94/13/a31ca36c749a5bb341b331b9879f.png” alt=”fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mi»q«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»” />).

      Dowód

      Musimy pokazać, że niezależnie jak bardzo małe epsilon greater than 0 sobie obierzemy, od pewnych wartości n “w górę”, czyli dla wszystkich n większych od jakiegoś N zachodzi zawsze nierówność:

      open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon

      Umawiamy się więc, że q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses i że bierzemy sobie jakieś dowolne epsilon . Nie określamy dokładnie jakie, bo epsilon musi być zupełnie dowolny.

      Bierzemy się za nierówność:

      open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon

      Mianownik po lewej już jest wspólny, czyli:

      open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n minus 1 over denominator 1 minus g end fraction close vertical bar less than epsilon

      open vertical bar fraction numerator negative q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction close vertical bar less than epsilon

      Wartość bezwzględna po lewej jest równoważna:

      fraction numerator begin display style open vertical bar negative q to the power of n close vertical bar end style over denominator begin display style open vertical bar 1 minus g close vertical bar end style end fraction less than epsilon

      Co do licznika, wiadomo, że open vertical bar negative q to the power of n close vertical bar equals open vertical bar q to the power of n close vertical bar, ale nie możemy tak po prostu wartości bezwzględnej opuścić, bo q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses, czyli q to the power of n może też przyjmować wartości ujemne dla pewnych q.

      Co do mianownika, skoro q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses, to 1 minus q jest zawsze dodatnie. Wartość bezwzględną możemy więc pominąć. Mamy:

      fraction numerator begin display style open vertical bar q to the power of n close vertical bar end style over denominator begin display style 1 minus q end style end fraction less than epsilon

      Obie strony możemy pomnożyć przez 1 minus q i na pewno nie zmieni to znaku nierówności (q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses).

      open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

      Obie strony możemy zlogarytmować:

      ln open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

      Prawdą jest też, że: open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than open vertical bar q close vertical bar to the power of n, czyli mamy:

      ln open vertical bar q close vertical bar to the power of n less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

      Korzystając z własności logarytmu:

      n ln open vertical bar q close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

      Teraz bardzo ważna rzecz. Dzieląc obie strony nierówności przez ln open vertical bar q close vertical bar wiemy, że dzielmy na pewno przez liczbę UJEMNĄ, ponieważ q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses. Argument logarytmu jest więc mniejszy od 1, a z wykresu funkcji logarytmicznej wiemy, że dla takich argumentów wartości logarytmu są ujemne.

      Skoro dzielimy przez liczbę ujemną, zmieniamy znak:

      n ln open vertical bar q close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses space space space space space divided by colon ln open vertical bar q close vertical bar
n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction

      Pokazaliśmy więc, że nierówność open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon zachodzi wtedy i tylko wtedy, kiedy zachodzi nierówność n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

      Zastanówmy się, co z tego wynika.

      Powiedzmy, że wybieramy sobie jakieś dowolne epsilon greater than 0. Dla tego wybranego przez nas, dowolnego, epsilon greater than 0 wyliczyć możemy sobie liczbę fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

      Skoro jednak pokazaliśmy, że n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction, oznacza to, że niezależnie jaka by ta fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction nie była, od pewnych wartości n będą one większe od fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

      A więc faktycznie:

      for all for epsilon greater than 0 of there exists for N of for all for n greater than N of open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon

      Dowodzi to, że faktycznie granicą ciągu fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction przy q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses jest fraction numerator 1 over denominator 1 minus g end fraction.f9/e7/679e551ab38fffc4328d16bbc3c7.png” alt=”u apostrophe equals x e to the power of negative 2 x end exponent” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»`«/mo»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/math»” />

      Skorzystamy z wyników, otrzymanych podczas obliczeń w sposób 1:

      u open parentheses x close parentheses equals integral u apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral x e to the power of negative 2 x end exponent d x equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C

      Stąd

      p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses equals open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent

      i, odpowiednio,

      y open parentheses x close parentheses equals integral y apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral p open parentheses x close parentheses d x equals integral open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent close parentheses d x equals

      negative fraction numerator x squared plus x over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 over 2 e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 2

       

       

       

       

  3. Grzegorz pisze:

    Czy można z definicji granicy udowodnić, że granicą (1-q^n)/(1-q) jest 1/(1-q)?

    1. Można.

      Trzeba na początek dodać, że zakładamy, że q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses (dla innych wartości q granicą limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction nie jest wcale fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction).

      Dowód

      Musimy pokazać, że niezależnie jak bardzo małe epsilon greater than 0 sobie obierzemy, od pewnych wartości n “w górę”, czyli dla wszystkich n większych od jakiegoś N zachodzi zawsze nierówność:

      open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon

      Umawiamy się więc, że q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses i że bierzemy sobie jakieś dowolne epsilon . Nie określamy dokładnie jakie, bo epsilon musi być zupełnie dowolny.

      Bierzemy się za nierówność:

      open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon

      Mianownik po lewej już jest wspólny, czyli:

      open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n minus 1 over denominator 1 minus g end fraction close vertical bar less than epsilon

      open vertical bar fraction numerator negative q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction close vertical bar less than epsilon

      Wartość bezwzględna po lewej jest równoważna:

      fraction numerator begin display style open vertical bar negative q to the power of n close vertical bar end style over denominator begin display style open vertical bar 1 minus g close vertical bar end style end fraction less than epsilon

      Co do licznika, wiadomo, że open vertical bar negative q to the power of n close vertical bar equals open vertical bar q to the power of n close vertical bar, ale nie możemy tak po prostu wartości bezwzględnej opuścić, bo q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses, czyli q to the power of n może też przyjmować wartości ujemne dla pewnych q.

      Co do mianownika, skoro q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses, to 1 minus q jest zawsze dodatnie. Wartość bezwzględną możemy więc pominąć. Mamy:

      fraction numerator begin display style open vertical bar q to the power of n close vertical bar end style over denominator begin display style 1 minus q end style end fraction less than epsilon

      Obie strony możemy pomnożyć przez 1 minus q i na pewno nie zmieni to znaku nierówności (q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses).

      open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

      Obie strony możemy zlogarytmować:

      ln open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

      Prawdą jest też, że: open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than open vertical bar q close vertical bar to the power of n, czyli mamy:

      ln open vertical bar q close vertical bar to the power of n less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

      Korzystając z własności logarytmu:

      n ln open vertical bar q close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

      Teraz bardzo ważna rzecz. Dzieląc obie strony nierówności przez ln open vertical bar q close vertical bar wiemy, że dzielmy na pewno przez liczbę UJEMNĄ, ponieważ q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses. Argument logarytmu jest więc mniejszy od 1, a z wykresu funkcji logarytmicznej wiemy, że dla takich argumentów wartości logarytmu są ujemne.

      Skoro dzielimy przez liczbę ujemną, zmieniamy znak:

      n ln open vertical bar q close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses space space space space space divided by colon ln open vertical bar q close vertical bar
n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction

      Pokazaliśmy więc, że nierówność open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon zachodzi wtedy i tylko wtedy, kiedy zachodzi nierówność n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

      Zastanówmy się, co z tego wynika.

      Powiedzmy, że wybieramy sobie jakieś dowolne epsilon greater than 0. Dla tego wybranego przez nas, dowolnego, epsilon greater than 0 wyliczyć możemy sobie liczbę fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

      Skoro jednak pokazaliśmy, że n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction, oznacza to, że niezależnie jaka by ta fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction nie była, od pewnych wartości n będą one większe od fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

      A więc faktycznie:

      for all for epsilon greater than 0 of there exists for N of for all for n greater than N of open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon

      Dowodzi to, że faktycznie granicą ciągu fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction przy q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses jest fraction numerator 1 over denominator 1 minus g end fraction.f9/e7/679e551ab38fffc4328d16bbc3c7.png” alt=”u apostrophe equals x e to the power of negative 2 x end exponent” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»`«/mo»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/math»” />

      Skorzystamy z wyników, otrzymanych podczas obliczeń w sposób 1:

      u open parentheses x close parentheses equals integral u apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral x e to the power of negative 2 x end exponent d x equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C

      Stąd

      p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses equals open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent

      i, odpowiednio,

      y open parentheses x close parentheses equals integral y apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral p open parentheses x close parentheses d x equals integral open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent close parentheses d x equals

      negative fraction numerator x squared plus x over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 over 2 e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 2

       

       

       

       

  4. Anna pisze:

    Cześć, mam problem z policzeniem takiej granicy:lim square root of n(square root of n plus 3 end root – square root of n minus 1 end root)Bardzo proszę o pomoc :)5d/b8/2404bfbe60c590a99ab32e4f5abd.png” alt=”negative 2″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/math»” /> na 2.

     8e/35/964adb911d4c30e5a619e4fcb48d.png” alt=”b equals 0″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»” />. Stąd asymptota ukośna prawostronna (a właściwie pozioma) ma równanie y equals 0.

    -> dla asymptoty lewostronnej

    table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator f left parenthesis x right parenthesis over denominator x end fraction end cell equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator begin display style fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction end style over denominator x end fraction equals with x less than 0 rightwards double arrow vertical line x vertical line equals negative x on top limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction over denominator x end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction times 1 over x equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 over denominator x squared plus x plus 5 end fraction end cell row blank equals cell open square brackets fraction numerator negative 2 over denominator negative infinity end fraction close square brackets equals 0 end cell end table

    czyli a equals 0

    table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow negative infinity of f left parenthesis x right parenthesis minus a x end cell equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction minus 0 x equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction equals with x less than 0 rightwards double arrow vertical line x vertical line equals negative x on top end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared open parentheses 1 plus begin display style 1 over x end style plus begin display style 5 over x squared end style close parentheses end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 over denominator x open parentheses 1 plus begin display style 1 over x end style plus begin display style 5 over x squared end style close parentheses end fraction equals open square brackets fraction numerator negative 2 over denominator negative infinity end fraction close square brackets equals 0 end cell end table

    czyli b equals 0. Stąd asymptota ukośna lewostronna (a właściwie pozioma) ma równanie y equals 0.

    76/33/aecc6216ac78a9c28dbdff1950d5.png” alt=”x subscript 1 equals e to the power of 0 t end exponent cos t equals cos t semicolon space space space space space x subscript 2 equals e to the power of 0 t end exponent sin t equals sin t” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»0«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»cos«/mi»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»t«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»0«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»sin«/mi»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»t«/mi»«/math»” />

    całka ogólna: x equals e to the power of 0 t end exponent open parentheses C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t close parentheses equals C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t

    95/a4/4724d4e1b1791055d798cf0ae89d.png” alt=”ln open vertical bar z close vertical bar equals x squared plus C space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»z«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»/«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mfenced»«mo»§#8230;«/mo»«/mfenced»«/msup»«/math»” />

    e to the power of ln open vertical bar z close vertical bar end exponent equals e to the power of x squared plus C end exponent

    open vertical bar z close vertical bar equals e to the power of C times e to the power of x squared end exponent

    z equals C times e to the power of x squared end exponent

    Mamy więc postać rozwiązania równania jednorodnego. „Uzmienniam” stałą:

    z equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent

    z apostrophe equals open parentheses C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent close parentheses apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x

    Wstawiamy wyniki do początkowego równania:

    z apostrophe minus 2 x z equals negative 2 x

    C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x minus 2 x times C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x

    C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x space divided by divided by e to the power of x squared end exponent

    C apostrophe open parentheses x close parentheses equals negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent space divided by integral

    integral C apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent d x

    C open parentheses x close parentheses equals open vertical bar table row cell negative x squared equals t end cell row cell negative 2 x d x equals d t end cell end table close vertical bar equals integral e to the power of t d t equals e to the power of t plus C equals e to the power of negative x squared end exponent plus C

    Tak wyliczoną stałą wstawiam do równania z „uzmiennioną” stałą:

    z open parentheses x close parentheses equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals open parentheses e to the power of negative x squared end exponent plus C close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals 1 plus C e to the power of x squared end exponent

    Ponieważ z equals 1 over y squared, to

    y open parentheses x close parentheses equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of z open parentheses x close parentheses end root end fraction equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of 1 plus C e to the power of x squared end exponent end root end fraction

     

     

    ab/8e/0bf95280a848de0390c3cba17c46.png” alt=”p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»u«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math»” />, czyli p equals u v. Wtedy

    p apostrophe equals u apostrophe v plus u v apostrophe, i zapiszemy, podstawiając wyniki do pierwotnego równania:

    u apostrophe v plus u v apostrophe minus 2 u v equals x

    u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x

    Wyznaczymy funkcję v equals v open parentheses x close parentheses w taki sposób, żeby wyraz w nawiasie był równym zera:

    v apostrophe minus 2 v equals 0

    fraction numerator d v over denominator d x end fraction equals 2 v

    fraction numerator d v over denominator v end fraction equals 2 d x

    integral fraction numerator d v over denominator v end fraction equals integral 2 d x

    ln open vertical bar v close vertical bar equals 2 x

    Uwaga! Do prawej czężci tego równania stałą C nie dodajemy. Dalej:

    e to the power of ln open vertical bar v close vertical bar end exponent equals e to the power of 2 x end exponent

    open vertical bar v close vertical bar equals e to the power of 2 x end exponent

    v equals e to the power of 2 x end exponent

    Podstawiamy do równania, w ktorym były nawiasy:

    u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x

    u apostrophe times e to the power of 2 x end exponent plus u times 0 equals x

    u apostrophe e to the power of 2 x end exponent equals x

    u apostrophe equals x e to the power of negative 2 x end exponent

    Skorzystamy z wyników, otrzymanych podczas obliczeń w sposób 1:

    u open parentheses x close parentheses equals integral u apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral x e to the power of negative 2 x end exponent d x equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C

    Stąd

    p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses equals open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent

    i, odpowiednio,

    y open parentheses x close parentheses equals integral y apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral p open parentheses x close parentheses d x equals integral open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent close parentheses d x equals

    negative fraction numerator x squared plus x over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 over 2 e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 2

     

     

     

     

  5. Gosia pisze:

    Cześć, a co jeśli wychodzi mi lim=2n/3? czyli nieskończoność/3, to wynikiem jest 0?

    1. Jeśli wynik granicy wychodzi fraction numerator 2 n over denominator 3 end fraction to po podstawieniu otrzymujemy open square brackets fraction numerator 2 times infinity over denominator 3 end fraction close square brackets equals open square brackets infinity over 3 close square brackets equals infinity . Bierze się to stąd, że jakąś bardzo, bardzo dużą liczbę dzieli się przez 3, to i tak będzie ona nadal bardzo duża.

      Granica zero wychodzi jedynie w przypadku, gdy w podstawieniu nieskończoność jest mianowniku, czyli  open square brackets A over infinity close square brackets equals 0 .

      5d/b8/2404bfbe60c590a99ab32e4f5abd.png” alt=”negative 2″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/math»” /> na 2.

       8e/35/964adb911d4c30e5a619e4fcb48d.png” alt=”b equals 0″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»” />. Stąd asymptota ukośna prawostronna (a właściwie pozioma) ma równanie y equals 0.

      -> dla asymptoty lewostronnej

      table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator f left parenthesis x right parenthesis over denominator x end fraction end cell equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator begin display style fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction end style over denominator x end fraction equals with x less than 0 rightwards double arrow vertical line x vertical line equals negative x on top limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction over denominator x end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction times 1 over x equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 over denominator x squared plus x plus 5 end fraction end cell row blank equals cell open square brackets fraction numerator negative 2 over denominator negative infinity end fraction close square brackets equals 0 end cell end table

      czyli a equals 0

      table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow negative infinity of f left parenthesis x right parenthesis minus a x end cell equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction minus 0 x equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction equals with x less than 0 rightwards double arrow vertical line x vertical line equals negative x on top end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared open parentheses 1 plus begin display style 1 over x end style plus begin display style 5 over x squared end style close parentheses end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 over denominator x open parentheses 1 plus begin display style 1 over x end style plus begin display style 5 over x squared end style close parentheses end fraction equals open square brackets fraction numerator negative 2 over denominator negative infinity end fraction close square brackets equals 0 end cell end table

      czyli b equals 0. Stąd asymptota ukośna lewostronna (a właściwie pozioma) ma równanie y equals 0.

      76/33/aecc6216ac78a9c28dbdff1950d5.png” alt=”x subscript 1 equals e to the power of 0 t end exponent cos t equals cos t semicolon space space space space space x subscript 2 equals e to the power of 0 t end exponent sin t equals sin t” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»0«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»cos«/mi»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»t«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»0«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»sin«/mi»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»t«/mi»«/math»” />

      całka ogólna: x equals e to the power of 0 t end exponent open parentheses C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t close parentheses equals C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t

      95/a4/4724d4e1b1791055d798cf0ae89d.png” alt=”ln open vertical bar z close vertical bar equals x squared plus C space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»z«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»/«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mfenced»«mo»§#8230;«/mo»«/mfenced»«/msup»«/math»” />

      e to the power of ln open vertical bar z close vertical bar end exponent equals e to the power of x squared plus C end exponent

      open vertical bar z close vertical bar equals e to the power of C times e to the power of x squared end exponent

      z equals C times e to the power of x squared end exponent

      Mamy więc postać rozwiązania równania jednorodnego. „Uzmienniam” stałą:

      z equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent

      z apostrophe equals open parentheses C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent close parentheses apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x

      Wstawiamy wyniki do początkowego równania:

      z apostrophe minus 2 x z equals negative 2 x

      C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x minus 2 x times C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x

      C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x space divided by divided by e to the power of x squared end exponent

      C apostrophe open parentheses x close parentheses equals negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent space divided by integral

      integral C apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent d x

      C open parentheses x close parentheses equals open vertical bar table row cell negative x squared equals t end cell row cell negative 2 x d x equals d t end cell end table close vertical bar equals integral e to the power of t d t equals e to the power of t plus C equals e to the power of negative x squared end exponent plus C

      Tak wyliczoną stałą wstawiam do równania z „uzmiennioną” stałą:

      z open parentheses x close parentheses equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals open parentheses e to the power of negative x squared end exponent plus C close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals 1 plus C e to the power of x squared end exponent

      Ponieważ z equals 1 over y squared, to

      y open parentheses x close parentheses equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of z open parentheses x close parentheses end root end fraction equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of 1 plus C e to the power of x squared end exponent end root end fraction

       

       

      ab/8e/0bf95280a848de0390c3cba17c46.png” alt=”p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»u«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math»” />, czyli p equals u v. Wtedy

      p apostrophe equals u apostrophe v plus u v apostrophe, i zapiszemy, podstawiając wyniki do pierwotnego równania:

      u apostrophe v plus u v apostrophe minus 2 u v equals x

      u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x

      Wyznaczymy funkcję v equals v open parentheses x close parentheses w taki sposób, żeby wyraz w nawiasie był równym zera:

      v apostrophe minus 2 v equals 0

      fraction numerator d v over denominator d x end fraction equals 2 v

      fraction numerator d v over denominator v end fraction equals 2 d x

      integral fraction numerator d v over denominator v end fraction equals integral 2 d x

      ln open vertical bar v close vertical bar equals 2 x

      Uwaga! Do prawej czężci tego równania stałą C nie dodajemy. Dalej:

      e to the power of ln open vertical bar v close vertical bar end exponent equals e to the power of 2 x end exponent

      open vertical bar v close vertical bar equals e to the power of 2 x end exponent

      v equals e to the power of 2 x end exponent

      Podstawiamy do równania, w ktorym były nawiasy:

      u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x

      u apostrophe times e to the power of 2 x end exponent plus u times 0 equals x

      u apostrophe e to the power of 2 x end exponent equals x

      u apostrophe equals x e to the power of negative 2 x end exponent

      Skorzystamy z wyników, otrzymanych podczas obliczeń w sposób 1:

      u open parentheses x close parentheses equals integral u apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral x e to the power of negative 2 x end exponent d x equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C

      Stąd

      p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses equals open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent

      i, odpowiednio,

      y open parentheses x close parentheses equals integral y apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral p open parentheses x close parentheses d x equals integral open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent close parentheses d x equals

      negative fraction numerator x squared plus x over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 over 2 e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 2

       

       

       

       

  6. irena pisze:

    prosze o pomoc mam zad wyznaczyc dziedzine i zbior wartosci funkcji f(x)-2-4/x-3/

  7. Albert pisze:

    Serdecznie dziękuję :-). Wszystko wytłumaczone krok po kroku nic dodać nic ująć świetny blog! Pozdrawiam

  8. Paulina pisze:

    Witam. Mam problem z obliczeniem granicy ciągu an= [1+2^2√2+3^2√(trzeciego stopnia)3+…+n^2√(ntego stopnia)n] / n(n+1)(n+2) . Proszę o pomoc.
    Pozdrawiam, Paulina

  9. Ignacy pisze:

    Bardzo fajny artykuł ,ale mam problem z jedną rzeczą.W ostatnim przykładzie mamy podzielić obie strony przez (2e-1) i nie rozumiem dlaczego zmieniamy znak nierówności.Zgoda ,że dla pewnych wartości epsilon wyrażenie (2e-1) jest ujemne ale epsilon może przyjmować również wartości dla których to wyrażenie jest dodatnie ,a więc po podzieleniu i zmianie znaku nasza nierówność będzie dla pewnych wartości epsilon nieprawdziwa.
    Pozdrawiam Ignacy

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Ale już w następnym zdaniu artykułu biorę się do wyjaśniania, o co chodzi 🙂

      Chodzi o to, że pokazuję, że nierówność NIE zachodzi dla pewnych wartości epsilon (np. takich, dla których 2e-1 jest ujemne), a z tego, że ta nierówność NIE zachodzi dla wszystkich epsilonów wynika, że liczba NIE jest granicą ciągu.

    2. Ignacy pisze:

      Rozumiem. Zastanawiałem się jeszcze tylko dlaczego nie rozpatrzył Pan dwóch przypadków albo nie wspomniał o tym ,że tak trzeba.W końcu olśniło mnie ,że nie trzeba tego robić bo jeżeli nasza nierówność może przyjmować różną postać w zależności od epsilona to zawsze lepiej wybrać tą mniejszą wartość bo jeżeli okaże się ,że równanie jest nie prawdziwe to mamy koniec zadania ,a jeżeli okazałoby się że nierówność jest prawdziwa to tym bardziej jest prawdziwa dla większych epsilonów choćby wartość graniczna N dla obydwu wartości epsilon była taka sama. Czy dobrze myślę?

  10. cola20 pisze:

    Witam.
    Mam problem z zadaniem:
    Znajdź wszystkie możliwe wartości parametrów a,b,c należące do R, dla których
    lim [((x^4+2x^3)^1/2)-ax^2-bx-c)=1 ( x towards infinity).
    Proszę o pomoc.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Dobra, to powolutku pójdzie tak:

      1. Trzeba cały czas pamiętać, że ogólnie granica ma wyjść równa 1, czyli: \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}}-a{{x}^{2}}-bx-c \right)=1

      2. Zaczynamy standardowym przekształceniem z mnożeniem przez sprzężenie (metodami pokazanymi w moim Kursie):

      \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}}-a{{x}^{2}}-bx-c \right)=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}}-\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right) \right)\frac{\sqrt{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}}+\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)}{\sqrt{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}}+\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)}=

      =\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-{{\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}}+a{{x}^{2}}+bx+c}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)}{\sqrt{{{x}^{4}}\left( 1+\tfrac{2}{x} \right)}+a{{x}^{2}}+bx+c}=

      START =\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-{{\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}}+a{{x}^{2}}+bx+c}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)}{\sqrt{{{x}^{4}}\left( 1+\tfrac{2}{x} \right)}+a{{x}^{2}}+bx+c}=

      \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-{{a}^{2}}{{x}^{4}}-ab{{x}^{3}}-ac{{x}^{2}}-ba{{x}^{3}}-{{b}^{2}}{{x}^{2}}-bcx-ca{{x}^{2}}-cbx-{{c}^{2}}}}{{\sqrt{{{{x}^{4}}\left( {1+\tfrac{2}{x}} \right)}}+a{{x}^{2}}+bx+c}}=

      \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{4}}\left( {1+\tfrac{2}{x}-{{a}^{2}}-\tfrac{{2ab}}{x}-\tfrac{{2ac}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{3}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{4}}}}} \right)}}{{{{x}^{2}}\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}+a{{x}^{2}}+bx+c}}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{4}}\left( {1+\tfrac{2}{x}-{{a}^{2}}-\tfrac{{2ab}}{x}-\tfrac{{2ac}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{3}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{4}}}}} \right)}}{{{{x}^{2}}\left( {\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}+a+\tfrac{b}{x}+\tfrac{c}{{{{x}^{2}}}}} \right)}}=

      \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{2}}\left( {1+\tfrac{2}{x}-{{a}^{2}}-\tfrac{{2ab}}{x}-\tfrac{{2ac}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{3}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{4}}}}} \right)}}{{\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}+a+\tfrac{b}{x}+\tfrac{c}{{{{x}^{2}}}}}}=

      Teraz ważny moment. Licznik, a wraz z nim cała granica, rozbiega do nieskończoności, CHYBA ŻE nawias \displaystyle {\left( {1+\tfrac{2}{x}-{{a}^{2}}-\tfrac{{2ab}}{x}-\tfrac{{2ac}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{3}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{4}}}}} \right)}zbiega do zera, bo wtedy w liczniku jest wyrażenie nieoznaczone \left[ 0\cdot \infty \right].

      Ponieważ wiemy, że cała granica nie ma rozbiegać do nieskończoności, tylko zbiegać do 1 (patrz punkt 1), nasz licznik MUSI być tym wyrażeniem nieoznaczonym, żebyśmy mieli na to szanse. Wyrażenie w nawiasie \displaystyle {\left( {1+\tfrac{2}{x}-{{a}^{2}}-\tfrac{{2ab}}{x}-\tfrac{{2ac}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{3}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{4}}}}} \right)}musi więc zbiegać do zera. Składniki z x-sami w mianownikach już zbiegają, pozostaje nam 1-{a}^{2}, które powinno być równe zero. Stąd wniosek, że:

      \displaystyle {{a}^{2}}=1

      \displaystyle a=1\ \vee a=-1

      Mam więc dwa przypadki do rozpatrzenia, \displaystyle a=1i \displaystyle a=-1.

      Zacznę od przypadku, że \displaystyle a=1:

      \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{2}}\left( {\tfrac{2}{x}-\tfrac{{2b}}{x}-\tfrac{{2c}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{3}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{4}}}}} \right)}}{{\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}+1+\tfrac{b}{x}+\tfrac{c}{{{{x}^{2}}}}}}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{x\left( {2-2b-\tfrac{{2c}}{x}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{x}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{3}}}}} \right)}}{{\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}+1+\tfrac{b}{x}+\tfrac{c}{{{{x}^{2}}}}}}=

      Tutaj sytuacja jest analogiczna. Licznik, a wraz z nim całe wyrażenie, rozbiega do nieskończoności, CHYBA ŻE wyrażenie w nawiasie, tzn. \displaystyle {x\left( {2-2b-\tfrac{{2c}}{x}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{x}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{3}}}}} \right)}zbiega do zera.

      Stąd analogiczny wniosek, że 2-2bmusi być równe zero, czyli:

      b=1

      Z tym założeniem liczę dalej:

      =\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( -\tfrac{2c}{x}-\tfrac{1}{x}-\tfrac{2c}{{{x}^{2}}}-\tfrac{{{c}^{2}}}{{{x}^{3}}} \right)}{\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}+1+\tfrac{1}{x}+\tfrac{c}{{{x}^{2}}}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2c-1-\tfrac{2c}{x}-\tfrac{{{c}^{2}}}{{{x}^{2}}}}{\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}+1+\tfrac{1}{x}+\tfrac{c}{{{x}^{2}}}}=\frac{-2c-1}{2}

      Wiem, że wynik musi wyjść 1, zatem:

      \frac{-2c-1}{2}=1

      -2c-1=2

      -2c=3

      c=-\frac{3}{2}

      Pierwsza odpowiedź więc to: odpowiedź więc, to: a=1,b=1,c=-\frac{3}{2}

      Co potwierdza WolframAlpha:

      http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_(x-%3Eoo)%20(sqrt(x%5E4%2B2x%5E3)-x%5E2-x%2B3%2F2)&t=crmtb01

      Pozostaje oczywiście przypadek \displaystyle a=-1:

      W tym przypadku granica będzie równa:

      \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{2}}\left( {\tfrac{2}{x}+\tfrac{{2b}}{x}+\tfrac{{2c}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{3}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{4}}}}} \right)}}{{\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}-1+\tfrac{b}{x}+\tfrac{c}{{{{x}^{2}}}}}}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{x\left( {2+2b+\tfrac{{2c}}{x}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{x}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{3}}}}} \right)}}{{\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}-1+\tfrac{b}{x}+\tfrac{c}{{{{x}^{2}}}}}}=

      Wyrażenie w nawiasie w liczniku \displaystyle {\left( {2+2b+\tfrac{{2c}}{x}-\tfrac{{{{b}^{2}}}}{x}-\tfrac{{2bc}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{3}}}}} \right)}musi znowu zbiegać do zera, czyli musi być:

      \displaystyle 2+2b=0

      \displaystyle b=-1

      Granica przyjmie wtedy postać:

      \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{x\left( {\tfrac{{2c}}{x}-\tfrac{1}{x}+\tfrac{{2c}}{{{{x}^{2}}}}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{3}}}}} \right)}}{{\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}-1-\tfrac{1}{x}+\tfrac{c}{{{{x}^{2}}}}}}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{2c-1+\tfrac{{2c}}{x}-\tfrac{{{{c}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}}}{{\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}-1-\tfrac{1}{x}+\tfrac{c}{{{{x}^{2}}}}}}

      Tym razem zauważamy jednak, że mianownik dąży do zera (a nie do 2, jak w poprzednim przypadku). Aby całość dążyła do 1, licznik musi dążyć również do zera, powinno więc być:

      \displaystyle 2c-1=0

      \displaystyle c=\frac{1}{2}

      Dla tak dobranego cwychodzimy na granicę:

      \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\tfrac{1}{x}-\tfrac{{\tfrac{1}{4}}}{{{{x}^{2}}}}}}{{\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}-1-\tfrac{1}{x}+\tfrac{{\tfrac{1}{2}}}{{{{x}^{2}}}}}}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{1-\tfrac{{\tfrac{1}{4}}}{x}}}{{x\left( {\sqrt{{1+\tfrac{2}{x}}}-1-\tfrac{1}{x}+\tfrac{{\tfrac{1}{2}}}{{{{x}^{2}}}}} \right)}}

      Policzenie jej odpuszczę już sobie, ale można szybko sprawdzić w kalkulatorze, że równa jest nieskończoność (a nie 1):

      Wynik tej granicy

      Dla przypadku, gdy a=-1nie otrzymujemy więc rozwiązania.

      Jedyną odpowiedzią jest: a=1,b=1,c=-\frac{3}{2}.

  11. Ula pisze:

    witam.
    Jak udowodnić , że każdy ciąg ma conajmniej jedną granicę?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      No ale to nieprawda, że każdy ciąg ma co najmniej jedną granicę…

      Na przykład ciąg liczb naturalnych bez zera {{a}_{n}}=nnie ma żadnej granicy…

    2. Bewu pisze:

      Ale ten ciąg ma granicę niewłaściwą – równą nieskończoność. Są inne ciągi, których granica nie istnieje.

  12. karolina pisze:

    witam, jak rozwiązać taką granice ciągu: (cosn^2/n^3+3n+1 ) -3 ?

  13. Piotr pisze:

    Krystian!!! Jesteś wielki!!!! Dziękuję Ci…. Musiałeś nieźle się napracować… masz moje pokłony:)

  14. hania pisze:

    No i teraz wszystko jasne 🙂 Super artykuł, baardzo pomocny. Dziękuję i pozdrawiam 🙂

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Dzięki, pozdrawiam również.