blog

Jak zrozumieć, czym są funkcje wielu zmiennych?

Krystian Karczyński

Zrozumienie od samej podstawy, czym właściwie jest funkcja dwóch, albo trzech zmiennych jest dla Ciebie bardzo ważne. Dlaczego, skoro to tylko jeden z wielu działów analizy matematycznej?

Ano dlatego, że na funkcjach wielu zmiennych opiera się mnóstwo rzeczy: pochodne cząstkowe, całki wielokrotne, pół fizyki, trzy czwarte mechaniki i sporo ekonomii.

Funkcja jednej zmiennej – przypomnienie

W edukacji przed szkołą wyższą wprowadzone miałeś pojęcie funkcji jednej zmiennej. Funkcji zależnej od jednego argumentu.

Takimi funkcjami mogły być na przykład:

f\left( x \right)={{x}^{2}}– funkcja przyporządkowuje argumentom  xwartości tych argumentów podniesione do kwadratu. Czyli liczbie 1 przyporządkuje liczbę 1, liczbie 2 liczbę 4, liczbie -3 liczbę 9 itd.

y=x – funkcja przyporządkowuje argumentom  xwartości równe po prostu tym argumentom. Czyli liczbie 1 przyporządkuje liczbę 1, liczbie 2 liczbę 2, liczbie -3 liczbę -3 itd.

Jeżeli umówimy się, że promień koła jest argumentem  r, pole koła jest również funkcją jednej zmiennej (zależy tylko od  r P=\pi {{r}^{2}}.  Przyporządkowuje promieniowi 1 pole o wartości około 3,14, promieniowi 2 pole w przybliżeniu 12,56 itd.

Funkcjami jednej zmiennej mogą być również:

  • droga w zależności od czasu (argument = czas, wartość = droga)
  • przychód w zależności od liczby klientów wchodzących do sklepu (argument = liczba klientów, wartość = przychód)
  • ocena z kolokwium w zależności od procentu uzyskanych punktów (argument = procent, wartość = ocena)
  • liczba miejsc w parlamencie w zależności od liczby oddanych na nią głosów (argument = liczba głosów, wartość = liczba miejsc)
  • zarobki w zależności od wykształcenia (argument = wykształcenie, wartość = zarobki)

Jeżeli chodzi o funkcje liczbowe (liczbom przyporządkowują liczby) poznałeś już zgrabny sposób ich „wizualizacji”, tzn. wykres w 2 wymiarach, z osiami X i Y.

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych – wprowadzenie, przykłady

Jeśli się jednak chwilę zastanowić, to pojęcie funkcji jednej zmiennej wprost domaga się jakiegoś rozszerzenia. W końcu wokół nas mnóstwo jest rzeczy, które zmieniają się w zależności od dwóch czynników, a nie tylko jednego.

Na przykład już głupia objętość walca z gimnazjum zależy od:

  • długości promienia jego podstawy
  • jego wysokości

… i opisana jest wzorem:  V=\pi {{r}^{2}}H

Wartości Vzmieniają się w zależności zarówno od argumentów r, jak i od H. Co więcej, można zauważyć, że takie same przyrosty ri Hnie powodują równych przyrostów V. Objętość jest bardziej „wrażliwa” na zmiany promienia podstawy – zwiększanie promienia powoduje szybsze zwiększanie objętości, niż zwiększanie wysokości (przynajmniej przeważnie).

Inne przykłady to:

  • opór elektryczny R=\frac{U}{I} zależy od napięcia i natężenia  (argument 1 = napięcie, argument 2 = natężenie, wartość = opór)
  • przychód w przedsiębiorstwie w zależności od ceny i ilości sprzedanych towarów  (argument 1 = cena, argument 2 = ilość, wartość = przychód)
  • prędkość lotu balonem zależna od siły i kierunku wiatru (argument 1 = siła, argument 2 = kierunek, wartość = prędkość)
  • rozmiar kupionego hamburgera w zależności od liczby pieniędzy w kieszeni i stopnia głodu (argument 1 = pieniądze, argument 2 = głód, wartość = rozmiar)
  • wysokość składki ubezpieczeniowej OC za samochód w zależności od wieku i ilości stłuczek w ostatnim roku (argument 1 = wiek, argument 2 = ilość stłuczek, wartość = wysokość składki)

Oczywiście, zmianie ulec będzie musiał sposób zaznaczania takich funkcji na wykresie.

Pary argumentów zaznaczyć możemy na płaszczyźnie XY, a na wartości poświęcić kolejną oś, oś Z. Wykres zatem z konieczności musi być trójwymiarowy.

Obejrzyj ten filmik, na którym pokazuję, jak powstaje taki wykres:

Dołączam także parę innych wykresów funkcji dwóch zmiennych:

f\left( x,y \right)=1-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}z zaznaczoną wartością w punkcie (1,-1):

Wykres funkcji f(x,y)=1-x^2-y^2 (paraboloida)

Wykres funkcji f(x,y)=1-x^2-y^2 (paraboloida)

f\left( x,y \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}z zaznaczoną wartością w punkcie \left( \frac{1}{2},-\frac{1}{2} \right):

Wykres funkcji f(x,y)=1/(x^2+y^2) (hiperboloida)

Wykres funkcji f(x,y)=1/(x^2+y^2) (hiperboloida)

f\left( x,y \right)=x+y-1z zaznaczoną wartością w punkcie \left( 2,1 \right):

Wykres funkcji f(x,y)=x+y-1 (płaszczyzna)

Wykres funkcji f(x,y)=x+y-1 (płaszczyzna)

f\left( x,y \right)=\sqrt{x+\frac{y}{2}}z zaznaczoną wartością w punkcie \left( 2,1 \right):

Wykres funkcji f(x,y)=sqrt(x+y/2)

Wykres funkcji f(x,y)=sqrt(x+y/2)

 

Dziedzina (obszar zmienności argumentów) funkcji dwóch zmiennych

Teoria

W przypadku funkcji jednej zmiennej  f\left( x \right)dziedziną tej funkcji był zbiór argumentów x, które w ogóle można do niej podstawić, aby uzyskać jakąś wartość.

Np. do funkcji  f\left( x \right)=\frac{1}{x}można było podstawić za x dowolną wartość z wyjątkiem 0 (bo wtedy było by to dzielenie przez 0), dlatego jej dziedziną był zbiór wszystkich liczb rzeczywistych bez 0 ( R\backslash \left\{ 0 \right\}).

W przypadku funkcji dwóch zmiennych  f\left( x,y \right) dziedziną funkcji w dalszym ciągu będą takie argumenty x,y, które w ogóle można do niej podstawić.

Np. do funkcji  f\left( x,y \right)=\frac{1}{x+y}można podstawić z x i y dowolne wartości, z wyjątkiem takich, dla których y=-x(bo wtedy było by to dzielenie przez zero), dlatego jej dziedziną jest zbiór wszystkich par liczb rzeczywistych (x,y) takich, że  y\ne -x.

Dziedzinę tą można by zaznaczyć na płaszczyźnie zamalowując całą płaszczyznę Z WYJĄTKIEM prostej y=-x.

Praktyka

Dziedzinę funkcji dwóch zmiennych w praktyce wyznaczasz korzystając z tych samych „zastrzeżeń”, co funkcję jednej zmiennej, tzn:

  • nie można dzielić przez zero
  • pierwiastek można liczyć tylko z liczby nieujemnej
  • logarytm można liczyć tylko z liczby dodatniej
Przykład 1

Wyznacz dziedzinę funkcji  f\left( x,y \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}.

We wzorze na funkcję masz dzielenie. Wiesz, że mianownik w takiej sytuacji musi być różny od zera, zatem zastrzeżenie przyjmie postać:

{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ne 0

{{x}^{2}}+{{y}^{2}}równe jest zero tylko i wyłącznie w przypadku, gdy x i y JEDNOCZEŚNIE są równe zero.

Dziedziną zatem tej funkcji będą wszystkie liczby x i wszystkie liczby y, z wyjątkiem x=0 i y=0.

Wykres 3D funkcji 1/(x^2+y^2)

Wykres 3D funkcji 1/(x^2+y^2). Punkt (0,0) nie należy do dziedziny, więc jest nad nim „dziura”.

Wykres 2D dziedziny funkcji f(x,y)=1/(x^2+y^2)

Wykres 2D dziedziny funkcji f(x,y)=1/(x^2+y^2). Dziedzina zaznaczona na czerwono.

Przykład 2

Wyznacz dziedzinę funkcji  f\left( x,y \right)=\sqrt{x+y}.

We wzorze na funkcję masz pierwiastek. Wiesz, że argument pierwiastka musi być większy lub równy 0.

Zatem:

x+y\ge 0

Czyli:

y\ge -x

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie o takich współrzędnych, że  y\ge -x.

Najwygodniej przedstawić to geometrycznie, jako punkty leżące na i nad prostą  y=-x:

Wykres funkcji f(x,y) = sqrt(x+y)

Wykres 3D funkcji f(x,y) = sqrt(x+y). DODATKOWO (oprócz wykresu) na płaszczyźnie XY zaznaczyłem dziedzinę.

Dziedzina funkcji y=sqrt(x+y) na płaszczyźnie XY

Dziedzina funkcji y=sqrt(x+y) na płaszczyźnie XY. Obszar na i nad prostą y=-x.

Przykład 3

Wyznacz dziedzinę funkcji  f\left( x,y \right)=\ln \left( y-{{x}^{2}} \right).

Argumentem logarytmu może być tylko liczba dodatnia, zatem:

y-{{x}^{2}}>0

Czyli:

y>{{x}^{2}}

Dziedziną funkcji jest zatem zbiór wszystkich punktów takich, których współrzędne y są większe od współrzędnych x podniesionych do kwadratu. Graficznie będzie to obszar NAD parabolą y={{x}^{2}}, ale BEZ tej paraboli:

 

Wykres 3D funkcji f(x,y)=ln(y-x^2)

Wykres 3D funkcji f(x,y)=ln(y-x^2). Oprócz tego, DODATKOWO na płaszczyźnie XY zaznaczyłem dziedzinę.

Wykres dziedziny funkcji f(x,y)=ln(y-x^2)

Wykres dziedziny funkcji f(x,y)=ln(y-x^2). Dziedzina zaznaczona na czerwono. Sama parabola NIE należy do dziedziny.

Przykład 4

Wyznacz dziedzinę funkcji  z=\arcsin \frac{x+y}{2}.

Arcus sinus jest nieco rzadziej używaną funkcją. Zastrzeżenie co do jego dziedziny jest takie, że argumenty muszą należeć do przedziału  \left\langle -1,1 \right\rangle , zatem:

\frac{x+y}{2}\ge -1\quad \wedge \quad \frac{x+y}{2}\le 1 x+y\ge -2\quad \wedge \quad x+y\le 2 y\ge -x-2\quad \wedge \quad y\le -x+2

Dziedziną funkcji będą wszystkie punkty spełniające jednocześnie te dwa warunki. Geometrycznie obszar pomiędzy tymi dwiema prostymi, włącznie z nimi samymi:

Wykres 3D funkcji y=arcsin((x+y)/2)

Wykres 3D funkcji y=arcsin((x+y)/2). Oprócz niego DODATKOWO na bordowo zaznaczyłem na płaszczyźnie XY dziedzinę.

Dziedzina funkcji arcsin((x+y)/2)

Dziedzina funkcji arcsin((x+y)/2) na płaszczyźnie XY.

Więcej przykładów Video

Więcej przykładów (także trudniejszych) rozwiązuję i pokazuję krok po kroku na video w moim Kursie Funkcji Wielu Zmiennych . Lekcja 5 Kursu poświęcona jest właśnie liczeniu dziedziny funkcji dwóch zmiennych. Omawiam tam także szerzej cały ogólny schemat wyznaczania dziedziny. Zapraszam, jeśli chcesz bliżej zgłębić ten temat, a także nauczyć się wyznaczać dziedziny, w których jest więcej niż jedno zastrzeżenie (np. dzielenie i pierwiastek w jednej funkcji).

Zadanie domowe

A jeśli chcesz sam się trochę sprawdzić, załączam małe zadanie domowe.

Wyznacz dziedzinę z poniższych funkcji:

  1. f\left( x,y \right)=\frac{1}{x+y+3}
  2. f\left( x,y \right)=\frac{1}{x-2y}+15xy
  3. z=\sqrt{x-y}
  4. z=\ln \left( y-2+3x-{{x}^{2}} \right)

 Funkcje trzech i więcej zmiennych

Skoro funkcje jednej zmiennej rozszerzać można na funkcje dwóch zmiennych, nie ma właściwie żadnego logicznego powodu, żeby się na tym zatrzymywać.

Bez problemu wyobrazić sobie można funkcje trzech ( f\left( x,y,z \right)), czterech ( f\left( x,y,z,u \right)) albo w ogóle dowolnej liczby zmiennych ( f\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}} \right)).

Z matematycznego punktu widzenia nie ma żadnego problemu, żeby funkcje te badać na takich samych zasadach, co 1 zmiennej. To znaczy liczyć ich granice, pochodne, ekstrema, dziedzinę.

W rzeczywistości jednak pojawia się pewna bariera, związana bardziej z ludzkim postrzeganiem świata, niż matematyką. Chodzi o wykresy.

Wyobraźmy sobie funkcję trzech zmiennych  f\left( x,y,z \right)={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}. Jej dziedziną jest zbiór trójek argumentów (x,y,z), który możemy przedstawić na trójwymiarowym wykresie. Punkt (1,1,2) jak najbardziej należy do tej dziedziny, bo można go podstawić do funkcji (uzyskując w ten sposób jej wartość:  {{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}=6).

Punkt (1,1,2) w dziedzinie trójwymiarowej funkcji f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2

Punkt (1,1,2) w dziedzinie trójwymiarowej funkcji f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2

Pytanie jest jednak takie: gdzie zaznaczyć tą wartość funkcji, tzn 6?

Oś 'z' służy w tym wykresie do oznaczenia trzeciego argumentu, a nie wartości (tak jak to było w wykresach funkcji dwóch zmiennych).

Aby zaznaczyć jakoś geometrycznie tą wartość musielibyśmy, jak to nieraz się mówi potocznie, jakoś „wejść w czwarty wymiar” i ze zrozumiałych powodów jest to bardzo trudne. Pewnymi pomysłami mogą być tutaj zaznaczenie koloru punkcika (np. im bardziej zimno-niebieski, tym mniejsza wartość, a im bardziej ciepło-czerwony tym większa), ale ich zawodność jest chyba oczywista.

Na funkcjach czterech zmiennych z rysowaniem wykresu wysiadamy już na etapie dziedziny.

To, że nie możemy czegoś narysować, albo zwizualizować choćby w głowie nie oznacza, że nie możemy tego policzyć. Dlatego jeszcze raz podkreślę, że jedyny problem z funkcjami o większej niż 2 liczbie zmiennych jest w ich reprezentacji geometrycznej.

Następny Wykład

Wiesz już, czym są funkcje wielu zmiennych i jak można je sobie „wyobrazić”. Wiesz także, kiedy ich „wyobrazić” sobie nie można 🙂

Przechodzimy zatem do ich dalszej analizy. Pamiętasz z funkcji jednych zmiennych, co było po dziedzinie funkcji i zapoznaniu się z jej wykresem? Tak, tak, dokładnie. Granice.

 

Pisząc ten post korzystałem z…

1. „Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966. (link partnerski – zobacz to znaczy, paragraf 27)

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Świetny kurs, zagadnienia wytłumaczone w bardzo przystępny sposób. Niech o jego jakości świadczy fakt, że po jednorazowym wysłuchaniu i zrobieniu wszystkich zadań zdałam statystykę, z której miałam już dwa razy warunek.

Ewelina

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

  1. Nod pisze:

    Mam problem z rozwiązaniem funkcji wielu zmiennych: 2x*F’x + 2y*F’y jeżeli f (x,y)=x^1/2 sin x/y Miałam to zadanie na egzaminie i nie wiem jak się do niego zabrać 🙁 Mogę liczyć na pomoc?

    1. Kamil Kocot pisze:

      W zadaniu dla podanej funkcji

      F \left parenthesis x comma y right parenthesis equals square root of x sin open parentheses x over y close parentheses

      należy jak rozumiem policzyć wartość wyrażenia

      2 x times F apostrophe subscript x plus 2 y times F apostrophe subscript y equals open parentheses asterisk times close parentheses

      co oczywiście sprowadza się do wyliczenia pochodnych cząstkowych:

      table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row cell F apostrophe subscript x end cell equals cell fraction numerator \partial differential blank over denominator \partial differential x end fraction square root of x times sin open parentheses x over y close parentheses equals fraction numerator \partial differential blank over denominator \partial differential x end fraction open parentheses square root of x close parentheses times sin open parentheses x over y close parentheses plus square root of x times fraction numerator \partial differential blank over denominator \partial differential x end fraction s i n open parentheses x over y close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator 1 over denominator 2 square root of x end fraction times sin open parentheses x over y close parentheses plus square root of x times cos open parentheses x over y close parentheses times fraction numerator \partial differential blank over denominator \partial differential x end fraction open parentheses x over y close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator 1 over denominator 2 square root of x end fraction times sin open parentheses x over y close parentheses plus square root of x times cos open parentheses x over y close parentheses times fraction numerator 1 times y minus x times 0 over denominator y squared end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 1 over denominator 2 square root of x end fraction times sin open parentheses x over y close parentheses plus square root of x times cos open parentheses x over y close parentheses times 1 over y end cell end table

      table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row cell F apostrophe subscript y end cell equals cell fraction numerator \partial differential blank over denominator \partial differential y end fraction open square brackets square root of x times sin open parentheses x over y close parentheses close square brackets equals fraction numerator \partial differential blank over denominator \partial differential y end fraction open parentheses square root of x close parentheses times sin open parentheses x over y close parentheses plus square root of x times fraction numerator \partial differential blank over denominator \partial differential y end fraction s i n open parentheses x over y close parentheses end cell row blank equals cell 0 times sin open parentheses x over y close parentheses plus square root of x times cos open parentheses x over y close parentheses times fraction numerator \partial differential blank over denominator \partial differential y end fraction open parentheses x over y close parentheses end cell row blank equals cell 0 plus square root of x times cos open parentheses x over y close parentheses times fraction numerator 0 times y minus x times 1 over denominator y squared end fraction end cell row blank equals cell square root of x times cos open parentheses x over y close parentheses times fraction numerator negative x over denominator y squared end fraction end cell end table

      Stąd 

      table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row cell open parentheses asterisk times close parentheses end cell equals cell 2 x open parentheses fraction numerator 1 over denominator 2 square root of x end fraction times sin open parentheses x over y close parentheses plus square root of x times cos open parentheses x over y close parentheses times 1 over y close parentheses plus 2 y open parentheses square root of x times cos open parentheses x over y close parentheses times fraction numerator negative x over denominator y squared end fraction close parentheses end cell row blank equals cell square root of x times sin open parentheses x over y close parentheses plus fraction numerator 2 x square root of x over denominator y end fraction times cos open parentheses x over y close parentheses minus fraction numerator 2 x over denominator y end fraction times cos open parentheses x over y close parentheses end cell end table

  2. Piotrek pisze:

    Witam. Nie wiem jak mam zabrać się za to zadanko, a wydaje mi się ono banalnie proste.. Bardzo proszę o pomoc (lub chociaż nakierowanie jak się za to zabrać) Dla funkcji dwóch zmiennych f(x,y) podaj \interpretację równości fy'(5,3)=4 Pozdrawiam.

    1. Kamil Kocot pisze:

      Witam
      W \interpretacji geometrycznej pochodna cząstkowa f apostrophe subscript y open parentheses x subscript 0 comma y subscript 0 close parentheses jest równa t g beta stycznej do krzywej będącej przekrojem powierzchni z equals f \left parenthesis x comma y right parenthesis z płaszczyzną x equals x subscript 0 (czyli płaszczyzną równoległą do Oyz) w punkcie open parentheses x subscript 0 comma y subscript 0 comma f \left parenthesis x subscript 0 comma y subscript 0 right parenthesis close parentheses.
      Stąd f apostrophe subscript y open parentheses 5 comma 3 close parentheses equals 4 oznacza iż odpowiedni tangens kąta stycznej wynosi 4.

    2. Kamil Kocot pisze:

      kat

      Tu jeszcze rysunek lepiej działający na wyobraźnię… Na konkretnym przykładzie widać o jakim kącie mowa. Dla prostoty przyjęto, że płaszczyzna przecinająca powierzchnię f(x,y) jest płaszczyzną x=0. Krzywa L tworzy linię przecięcia płaszczyzny czerwonej z powierzchnią niebieską (nie została ona w żaden sposób pogrubiona), prosta k jest do niej styczna. Punkt styczności to punkt open parentheses x subscript 0 comma y subscript 0 comma f \left parenthesis x subscript 0 comma y subscript 0 right parenthesis close parentheses.

  3. Peteour pisze:

    Krystian, dodaj dodatkową oś prostopadłą do trzech pozostałych, łatwizna

  4. Deb0308dek pisze:

    Bardzo fajny wątek. Szukałem długo rozwiązania moich zagwostek i w końcu pomogliście. Dziękuję serdecznie!

    Deb0308 – Dobyr case:

    1. Bardzo proszę 🙂

  5. Monika pisze:

    Witam 😉 Mam problem z narysowaniem w Wolframie wykresów funkcji.Czy byłby tutaj ktoś uczynny i po prostu wrzuciłby mi screena. Wszystko obliczyłam, pojedyncze funkcje dwóch zmiennych narysowałam, ale nie umiem takich dwóch: 1. f(x,y) = x2 + y2 + 4  oraz g(x,y)= xy – 1 (ale na jednym układzie współrzędnych) Osobno umiem, a razem jakos komenda mi nie wchodzi.2. F(x,y)= x2 + y2 + 4 + λxy – λ (gdzie lambda to 3 zmienna) Ogromnie proszę o pomoc, nie chcę by brak wykresów przekreslił dobra ocenę z projektu. Pozdrawiam, Monika.