blog

Jak zrozumieć, czym są funkcje wielu zmiennych?

Krystian

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


Zrozumienie od samej podstawy, czym właściwie jest funkcja dwóch, albo trzech zmiennych jest dla Ciebie bardzo ważne. Dlaczego, skoro to tylko jeden z wielu działów analizy matematycznej?

Ano dlatego, że na funkcjach wielu zmiennych opiera się mnóstwo rzeczy: pochodne cząstkowe, całki wielokrotne, pół fizyki, trzy czwarte mechaniki i sporo ekonomii.

Funkcja jednej zmiennej – przypomnienie

W edukacji przed szkołą wyższą wprowadzone miałeś pojęcie funkcji jednej zmiennej. Funkcji zależnej od jednego argumentu.

Takimi funkcjami mogły być na przykład:

f\left( x \right)={{x}^{2}}– funkcja przyporządkowuje argumentom  xwartości tych argumentów podniesione do kwadratu. Czyli liczbie 1 przyporządkuje liczbę 1, liczbie 2 liczbę 4, liczbie -3 liczbę 9 itd.

y=x – funkcja przyporządkowuje argumentom  xwartości równe po prostu tym argumentom. Czyli liczbie 1 przyporządkuje liczbę 1, liczbie 2 liczbę 2, liczbie -3 liczbę -3 itd.

Jeżeli umówimy się, że promień koła jest argumentem  r, pole koła jest również funkcją jednej zmiennej (zależy tylko od  r P=\pi {{r}^{2}}.  Przyporządkowuje promieniowi 1 pole o wartości około 3,14, promieniowi 2 pole w przybliżeniu 12,56 itd.

Funkcjami jednej zmiennej mogą być również:

  • droga w zależności od czasu (argument = czas, wartość = droga)
  • przychód w zależności od liczby klientów wchodzących do sklepu (argument = liczba klientów, wartość = przychód)
  • ocena z kolokwium w zależności od procentu uzyskanych punktów (argument = procent, wartość = ocena)
  • liczba miejsc w parlamencie w zależności od liczby oddanych na nią głosów (argument = liczba głosów, wartość = liczba miejsc)
  • zarobki w zależności od wykształcenia (argument = wykształcenie, wartość = zarobki)

Jeżeli chodzi o funkcje liczbowe (liczbom przyporządkowują liczby) poznałeś już zgrabny sposób ich „wizualizacji”, tzn. wykres w 2 wymiarach, z osiami X i Y.

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych – wprowadzenie, przykłady

Jeśli się jednak chwilę zastanowić, to pojęcie funkcji jednej zmiennej wprost domaga się jakiegoś rozszerzenia. W końcu wokół nas mnóstwo jest rzeczy, które zmieniają się w zależności od dwóch czynników, a nie tylko jednego.

Na przykład już głupia objętość walca z gimnazjum zależy od:

  • długości promienia jego podstawy
  • jego wysokości

… i opisana jest wzorem:  V=\pi {{r}^{2}}H

Wartości Vzmieniają się w zależności zarówno od argumentów r, jak i od H. Co więcej, można zauważyć, że takie same przyrosty ri Hnie powodują równych przyrostów V. Objętość jest bardziej „wrażliwa” na zmiany promienia podstawy – zwiększanie promienia powoduje szybsze zwiększanie objętości, niż zwiększanie wysokości (przynajmniej przeważnie).

Inne przykłady to:

  • opór elektryczny R=\frac{U}{I} zależy od napięcia i natężenia  (argument 1 = napięcie, argument 2 = natężenie, wartość = opór)
  • przychód w przedsiębiorstwie w zależności od ceny i ilości sprzedanych towarów  (argument 1 = cena, argument 2 = ilość, wartość = przychód)
  • prędkość lotu balonem zależna od siły i kierunku wiatru (argument 1 = siła, argument 2 = kierunek, wartość = prędkość)
  • rozmiar kupionego hamburgera w zależności od liczby pieniędzy w kieszeni i stopnia głodu (argument 1 = pieniądze, argument 2 = głód, wartość = rozmiar)
  • wysokość składki ubezpieczeniowej OC za samochód w zależności od wieku i ilości stłuczek w ostatnim roku (argument 1 = wiek, argument 2 = ilość stłuczek, wartość = wysokość składki)

Oczywiście, zmianie ulec będzie musiał sposób zaznaczania takich funkcji na wykresie.

Pary argumentów zaznaczyć możemy na płaszczyźnie XY, a na wartości poświęcić kolejną oś, oś Z. Wykres zatem z konieczności musi być trójwymiarowy.

Obejrzyj ten filmik, na którym pokazuję, jak powstaje taki wykres:

Dołączam także parę innych wykresów funkcji dwóch zmiennych:

f\left( x,y \right)=1-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}z zaznaczoną wartością w punkcie (1,-1):

Wykres funkcji f(x,y)=1-x^2-y^2 (paraboloida)

Wykres funkcji f(x,y)=1-x^2-y^2 (paraboloida)

f\left( x,y \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}z zaznaczoną wartością w punkcie \left( \frac{1}{2},-\frac{1}{2} \right):

Wykres funkcji f(x,y)=1/(x^2+y^2) (hiperboloida)

Wykres funkcji f(x,y)=1/(x^2+y^2) (hiperboloida)

f\left( x,y \right)=x+y-1z zaznaczoną wartością w punkcie \left( 2,1 \right):

Wykres funkcji f(x,y)=x+y-1 (płaszczyzna)

Wykres funkcji f(x,y)=x+y-1 (płaszczyzna)

f\left( x,y \right)=\sqrt{x+\frac{y}{2}}z zaznaczoną wartością w punkcie \left( 2,1 \right):

Wykres funkcji f(x,y)=sqrt(x+y/2)

Wykres funkcji f(x,y)=sqrt(x+y/2)

Dziedzina (obszar zmienności argumentów) funkcji dwóch zmiennych

Teoria

W przypadku funkcji jednej zmiennej  f\left( x \right)dziedziną tej funkcji był zbiór argumentów x, które w ogóle można do niej podstawić, aby uzyskać jakąś wartość.

Np. do funkcji  f\left( x \right)=\frac{1}{x}można było podstawić za x dowolną wartość z wyjątkiem 0 (bo wtedy było by to dzielenie przez 0), dlatego jej dziedziną był zbiór wszystkich liczb rzeczywistych bez 0 ( R\backslash \left\{ 0 \right\}).

W przypadku funkcji dwóch zmiennych  f\left( x,y \right) dziedziną funkcji w dalszym ciągu będą takie argumenty x,y, które w ogóle można do niej podstawić.

Np. do funkcji  f\left( x,y \right)=\frac{1}{x+y}można podstawić z x i y dowolne wartości, z wyjątkiem takich, dla których y=-x(bo wtedy było by to dzielenie przez zero), dlatego jej dziedziną jest zbiór wszystkich par liczb rzeczywistych (x,y) takich, że  y\ne -x.

Dziedzinę tą można by zaznaczyć na płaszczyźnie zamalowując całą płaszczyznę Z WYJĄTKIEM prostej y=-x.

Praktyka

Dziedzinę funkcji dwóch zmiennych w praktyce wyznaczasz korzystając z tych samych „zastrzeżeń”, co funkcję jednej zmiennej, tzn:

  • nie można dzielić przez zero
  • pierwiastek można liczyć tylko z liczby nieujemnej
  • logarytm można liczyć tylko z liczby dodatniej
Przykład 1

Wyznacz dziedzinę funkcji  f\left( x,y \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}.

We wzorze na funkcję masz dzielenie. Wiesz, że mianownik w takiej sytuacji musi być różny od zera, zatem zastrzeżenie przyjmie postać:

{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ne 0

{{x}^{2}}+{{y}^{2}}równe jest zero tylko i wyłącznie w przypadku, gdy x i y JEDNOCZEŚNIE są równe zero.

Dziedziną zatem tej funkcji będą wszystkie liczby x i wszystkie liczby y, z wyjątkiem x=0 i y=0.

Wykres 3D funkcji 1/(x^2+y^2)

Wykres 3D funkcji 1/(x^2+y^2). Punkt (0,0) nie należy do dziedziny, więc jest nad nim „dziura”.

Wykres 2D dziedziny funkcji f(x,y)=1/(x^2+y^2)

Wykres 2D dziedziny funkcji f(x,y)=1/(x^2+y^2). Dziedzina zaznaczona na czerwono.

Przykład 2

Wyznacz dziedzinę funkcji  f\left( x,y \right)=\sqrt{x+y}.

We wzorze na funkcję masz pierwiastek. Wiesz, że argument pierwiastka musi być większy lub równy 0.

Zatem:

x+y\ge 0

Czyli:

y\ge -x

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie o takich współrzędnych, że  y\ge -x.

Najwygodniej przedstawić to geometrycznie, jako punkty leżące na i nad prostą  y=-x:

Wykres funkcji f(x,y) = sqrt(x+y)

Wykres 3D funkcji f(x,y) = sqrt(x+y). DODATKOWO (oprócz wykresu) na płaszczyźnie XY zaznaczyłem dziedzinę.

Dziedzina funkcji y=sqrt(x+y) na płaszczyźnie XY

Dziedzina funkcji y=sqrt(x+y) na płaszczyźnie XY. Obszar na i nad prostą y=-x.

Przykład 3

Wyznacz dziedzinę funkcji  f\left( x,y \right)=\ln \left( y-{{x}^{2}} \right).

Argumentem logarytmu może być tylko liczba dodatnia, zatem:

y-{{x}^{2}}>0

Czyli:

y>{{x}^{2}}

Dziedziną funkcji jest zatem zbiór wszystkich punktów takich, których współrzędne y są większe od współrzędnych x podniesionych do kwadratu. Graficznie będzie to obszar NAD parabolą y={{x}^{2}}, ale BEZ tej paraboli:

Wykres 3D funkcji f(x,y)=ln(y-x^2)

Wykres 3D funkcji f(x,y)=ln(y-x^2). Oprócz tego, DODATKOWO na płaszczyźnie XY zaznaczyłem dziedzinę.

Wykres dziedziny funkcji f(x,y)=ln(y-x^2)

Wykres dziedziny funkcji f(x,y)=ln(y-x^2). Dziedzina zaznaczona na czerwono. Sama parabola NIE należy do dziedziny.

Przykład 4

Wyznacz dziedzinę funkcji  z=\arcsin \frac{x+y}{2}.

Arcus sinus jest nieco rzadziej używaną funkcją. Zastrzeżenie co do jego dziedziny jest takie, że argumenty muszą należeć do przedziału  \left\langle -1,1 \right\rangle , zatem:

\frac{x+y}{2}\ge -1\quad \wedge \quad \frac{x+y}{2}\le 1 x+y\ge -2\quad \wedge \quad x+y\le 2 y\ge -x-2\quad \wedge \quad y\le -x+2

Dziedziną funkcji będą wszystkie punkty spełniające jednocześnie te dwa warunki. Geometrycznie obszar pomiędzy tymi dwiema prostymi, włącznie z nimi samymi:

Wykres 3D funkcji y=arcsin((x+y)/2)

Wykres 3D funkcji y=arcsin((x+y)/2). Oprócz niego DODATKOWO na bordowo zaznaczyłem na płaszczyźnie XY dziedzinę.

Dziedzina funkcji arcsin((x+y)/2)

Dziedzina funkcji arcsin((x+y)/2) na płaszczyźnie XY.

Więcej przykładów Video

Więcej przykładów (także trudniejszych) rozwiązuję i pokazuję krok po kroku na video w moim Kursie Funkcji Wielu Zmiennych . Lekcja 5 Kursu poświęcona jest właśnie liczeniu dziedziny funkcji dwóch zmiennych. Omawiam tam także szerzej cały ogólny schemat wyznaczania dziedziny. Zapraszam, jeśli chcesz bliżej zgłębić ten temat, a także nauczyć się wyznaczać dziedziny, w których jest więcej niż jedno zastrzeżenie (np. dzielenie i pierwiastek w jednej funkcji).

Zadanie domowe

A jeśli chcesz sam się trochę sprawdzić, załączam małe zadanie domowe.

Wyznacz dziedzinę z poniższych funkcji:

  1. f\left( x,y \right)=\frac{1}{x+y+3}
  2. f\left( x,y \right)=\frac{1}{x-2y}+15xy
  3. z=\sqrt{x-y}
  4. z=\ln \left( y-2+3x-{{x}^{2}} \right)

 Funkcje trzech i więcej zmiennych

Skoro funkcje jednej zmiennej rozszerzać można na funkcje dwóch zmiennych, nie ma właściwie żadnego logicznego powodu, żeby się na tym zatrzymywać.

Bez problemu wyobrazić sobie można funkcje trzech ( f\left( x,y,z \right)), czterech ( f\left( x,y,z,u \right)) albo w ogóle dowolnej liczby zmiennych ( f\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}} \right)).

Z matematycznego punktu widzenia nie ma żadnego problemu, żeby funkcje te badać na takich samych zasadach, co 1 zmiennej. To znaczy liczyć ich granice, pochodne, ekstrema, dziedzinę.

W rzeczywistości jednak pojawia się pewna bariera, związana bardziej z ludzkim postrzeganiem świata, niż matematyką. Chodzi o wykresy.

Wyobraźmy sobie funkcję trzech zmiennych  f\left( x,y,z \right)={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}. Jej dziedziną jest zbiór trójek argumentów (x,y,z), który możemy przedstawić na trójwymiarowym wykresie. Punkt (1,1,2) jak najbardziej należy do tej dziedziny, bo można go podstawić do funkcji (uzyskując w ten sposób jej wartość:  {{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}=6).

Punkt (1,1,2) w dziedzinie trójwymiarowej funkcji f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2

Punkt (1,1,2) w dziedzinie trójwymiarowej funkcji f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2

Pytanie jest jednak takie: gdzie zaznaczyć tą wartość funkcji, tzn 6?

Oś 'z' służy w tym wykresie do oznaczenia trzeciego argumentu, a nie wartości (tak jak to było w wykresach funkcji dwóch zmiennych).

Aby zaznaczyć jakoś geometrycznie tą wartość musielibyśmy, jak to nieraz się mówi potocznie, jakoś „wejść w czwarty wymiar” i ze zrozumiałych powodów jest to bardzo trudne. Pewnymi pomysłami mogą być tutaj zaznaczenie koloru punkcika (np. im bardziej zimno-niebieski, tym mniejsza wartość, a im bardziej ciepło-czerwony tym większa), ale ich zawodność jest chyba oczywista.

Na funkcjach czterech zmiennych z rysowaniem wykresu wysiadamy już na etapie dziedziny.

To, że nie możemy czegoś narysować, albo zwizualizować choćby w głowie nie oznacza, że nie możemy tego policzyć. Dlatego jeszcze raz podkreślę, że jedyny problem z funkcjami o większej niż 2 liczbie zmiennych jest w ich reprezentacji geometrycznej.

Następny Wykład

Wiesz już, czym są funkcje wielu zmiennych i jak można je sobie „wyobrazić”. Wiesz także, kiedy ich „wyobrazić” sobie nie można 🙂

Przechodzimy zatem do ich dalszej analizy. Pamiętasz z funkcji jednych zmiennych, co było po dziedzinie funkcji i zapoznaniu się z jej wykresem? Tak, tak, dokładnie. Granice.

Pisząc ten post korzystałem z…

1. „Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966.

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Śmieszne pieniądze za porządny kurs, a wielu wykładowców tłumaczy bez pasji i nawet na konsultacjach im się nie chce dodatkowo tłumaczyć, a tutaj mogę kilka razy tego samego słuchać jak potrzebuje.

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Monika pisze:

    Witam 😉 Mam problem z narysowaniem w Wolframie wykresów funkcji.Czy byłby tutaj ktoś uczynny i po prostu wrzuciłby mi screena. Wszystko obliczyłam, pojedyncze funkcje dwóch zmiennych narysowałam, ale nie umiem takich dwóch: 1. f(x,y) = x2 + y2 + 4  oraz g(x,y)= xy – 1 (ale na jednym układzie współrzędnych) Osobno umiem, a razem jakos komenda mi nie wchodzi.2. F(x,y)= x2 + y2 + 4 + λxy – λ (gdzie lambda to 3 zmienna) Ogromnie proszę o pomoc, nie chcę by brak wykresów przekreslił dobra ocenę z projektu. Pozdrawiam, Monika.    

  2. Deb0308dek pisze:

    Bardzo fajny wątek. Szukałem długo rozwiązania moich zagwostek i w końcu pomogliście. Dziękuję serdecznie!

    Deb0308 – Dobyr case:

    1. Bardzo proszę 🙂

  3. Peteour pisze:

    Krystian, dodaj dodatkową oś prostopadłą do trzech pozostałych, łatwizna

  4. Piotrek pisze:

    Witam. Nie wiem jak mam zabrać się za to zadanko, a wydaje mi się ono banalnie proste.. Bardzo proszę o pomoc (lub chociaż nakierowanie jak się za to zabrać) Dla funkcji dwóch zmiennych f(x,y) podaj \interpretację równości fy'(5,3)=4 Pozdrawiam.

    1. Kamil Kocot pisze:

      Witam
      W \interpretacji geometrycznej pochodna cząstkowa f apostrophe subscript y open parentheses x subscript 0 comma y subscript 0 close parentheses jest równa t g beta stycznej do krzywej będącej przekrojem powierzchni z equals f \left parenthesis x comma y right parenthesis z płaszczyzną x equals x subscript 0 (czyli płaszczyzną równoległą do Oyz) w punkcie open parentheses x subscript 0 comma y subscript 0 comma f \left parenthesis x subscript 0 comma y subscript 0 right parenthesis close parentheses.
      Stąd f apostrophe subscript y open parentheses 5 comma 3 close parentheses equals 4 oznacza iż odpowiedni tangens kąta stycznej wynosi 4.

    2. Kamil Kocot pisze:

      kat

      Tu jeszcze rysunek lepiej działający na wyobraźnię… Na konkretnym przykładzie widać o jakim kącie mowa. Dla prostoty przyjęto, że płaszczyzna przecinająca powierzchnię f(x,y) jest płaszczyzną x=0. Krzywa L tworzy linię przecięcia płaszczyzny czerwonej z powierzchnią niebieską (nie została ona w żaden sposób pogrubiona), prosta k jest do niej styczna. Punkt styczności to punkt open parentheses x subscript 0 comma y subscript 0 comma f \left parenthesis x subscript 0 comma y subscript 0 right parenthesis close parentheses.

  5. Nod pisze:

    Mam problem z rozwiązaniem funkcji wielu zmiennych: 2x*F’x + 2y*F’y jeżeli f (x,y)=x^1/2 sin x/y Miałam to zadanie na egzaminie i nie wiem jak się do niego zabrać 🙁 Mogę liczyć na pomoc?

    1. Kamil Kocot pisze:

      W zadaniu dla podanej funkcji

      F \left parenthesis x comma y right parenthesis equals square root of x sin open parentheses x over y close parentheses

      należy jak rozumiem policzyć wartość wyrażenia

      2 x times F apostrophe subscript x plus 2 y times F apostrophe subscript y equals open parentheses asterisk times close parentheses

      co oczywiście sprowadza się do wyliczenia pochodnych cząstkowych:

      table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row cell F apostrophe subscript x end cell equals cell fraction numerator \partial differential blank over denominator \partial differential x end fraction square root of x times sin open parentheses x over y close parentheses equals fraction numerator \partial differential blank over denominator \partial differential x end fraction open parentheses square root of x close parentheses times sin open parentheses x over y close parentheses plus square root of x times fraction numerator \partial differential blank over denominator \partial differential x end fraction s i n open parentheses x over y close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator 1 over denominator 2 square root of x end fraction times sin open parentheses x over y close parentheses plus square root of x times cos open parentheses x over y close parentheses times fraction numerator \partial differential blank over denominator \partial differential x end fraction open parentheses x over y close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator 1 over denominator 2 square root of x end fraction times sin open parentheses x over y close parentheses plus square root of x times cos open parentheses x over y close parentheses times fraction numerator 1 times y minus x times 0 over denominator y squared end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 1 over denominator 2 square root of x end fraction times sin open parentheses x over y close parentheses plus square root of x times cos open parentheses x over y close parentheses times 1 over y end cell end table

      table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row cell F apostrophe subscript y end cell equals cell fraction numerator \partial differential blank over denominator \partial differential y end fraction open square brackets square root of x times sin open parentheses x over y close parentheses close square brackets equals fraction numerator \partial differential blank over denominator \partial differential y end fraction open parentheses square root of x close parentheses times sin open parentheses x over y close parentheses plus square root of x times fraction numerator \partial differential blank over denominator \partial differential y end fraction s i n open parentheses x over y close parentheses end cell row blank equals cell 0 times sin open parentheses x over y close parentheses plus square root of x times cos open parentheses x over y close parentheses times fraction numerator \partial differential blank over denominator \partial differential y end fraction open parentheses x over y close parentheses end cell row blank equals cell 0 plus square root of x times cos open parentheses x over y close parentheses times fraction numerator 0 times y minus x times 1 over denominator y squared end fraction end cell row blank equals cell square root of x times cos open parentheses x over y close parentheses times fraction numerator negative x over denominator y squared end fraction end cell end table

      Stąd 

      table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row cell open parentheses asterisk times close parentheses end cell equals cell 2 x open parentheses fraction numerator 1 over denominator 2 square root of x end fraction times sin open parentheses x over y close parentheses plus square root of x times cos open parentheses x over y close parentheses times 1 over y close parentheses plus 2 y open parentheses square root of x times cos open parentheses x over y close parentheses times fraction numerator negative x over denominator y squared end fraction close parentheses end cell row blank equals cell square root of x times sin open parentheses x over y close parentheses plus fraction numerator 2 x square root of x over denominator y end fraction times cos open parentheses x over y close parentheses minus fraction numerator 2 x over denominator y end fraction times cos open parentheses x over y close parentheses end cell end table