Ecuaciones polinómicas complejas reducibles a ecuaciones cuadráticas

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Reducir algunas ecuaciones de cuarto grado a ecuaciones cuadráticas

Muchas ecuaciones polinómicas de cuarto grado se pueden transformar en ecuaciones cuadráticas utilizando un truco bien conocido de la escuela secundaria que se describe aquí:

Reducir a una ecuación cuadrática

Esto funciona, por supuesto, y de la mejor manera también para polinomios en números complejos.

Para recordarte, teniendo la ecuación:

{{z}^{4}}+3{{z}^{2}}+2=0

Sustituimos: {{z}^{2}}=t

Y obtenemos una ecuación cuadrática:

{{t}^{2}}+3{t}+2=0

Luego la resolvemos usando delta común y así sucesivamente, tenemos soluciones , recordando que formamos dos ecuaciones adicionales a partir de ellas:

o

Las resolvemos y tenemos cuatro soluciones: .

Reducir algunas ecuaciones de grados mayores a ecuaciones cuadráticas

Absolutamente nada impide extender este método a ecuaciones de grados mayores que 4 (si, por supuesto, se pueden reducir a cuadráticas mediante sustitución).

Así que tenemos:

2{{z}^{6}}-5{{z}^{3}}+4=0

También se puede notar que es equivalente a:

2{( {z}^{3})^{2}}-5{{z}^{3}}+4=0

Y después de sustituir:

Obtenemos una cuadrática:

2{{t}^{2}}-5t+4=0

En la ecuación:

{{x}^{10}}-3{{x}^{5}}+1=0

Después de sustituir:

Tenemos:

{{t}^{2}}-3t+1=0

Y así sucesivamente, y así sucesivamente…

Ejemplo

Tomemos la ecuación:

z^6+(1-i)z^3-i=0

Sustituimos z^2=t y tenemos:

t^2+(1-i)t-i=0

Luego calculamos:

Calculamos estas raíces utilizando los métodos conocidos de números complejos (mostrados por ejemplo en mi Curso).

Tenemos o

Es decir:

Recordando que estos no son aún soluciones, porque z^3=t

Así que tenemos que resolver las ecuaciones:

z^3=-1

Y:

z^3=i

Las transformamos en:

y

Y calculando nuevamente utilizando los métodos conocidos, tenemos tres raíces de la primera ecuación:

Y tres raíces de la segunda ecuación:

Resuelto 🙂