Elliptische Koordinaten (Doppelte Integrale)
Krystian Karczyński
Gründer und Chef des Dienstes eTrapez.
Master of Mathematics der Technischen Universität Pozen (Polen). Mathematik-Nachhilfelehrer mit langjähriger Erfahrung. Schöpfer der ersten eTrapez-Kurse, die bei Studenten in ganz Polen große Beliebtheit erlangten.
Lebt in Stettin (Polen). Mag Waldspaziergänge, Strandtage und Kajakfahren.
Es gibt Zeiten im Leben, in denen das Integrationsgebiet in einem Doppelintegral eine Ellipse ist….
Was dann?
Elliptische Koordinaten
Eine elegante Methode zur Lösung besteht meistens darin, die sogenannten elliptischen Koordinaten zu verwenden. Das ist etwas Ähnliches wie Polarkoordinaten, die Arbeitsweise ist ganz ähnlich, nur setzt man andere Dinge für x und y ein und der Jakobideterminant ist anders. Die Interpretation von ‘r’ ist auch anders. Also, um es zusammenzufassen: Wenn du weißt, wie man zu Polarkoordinaten wechselt (was meistens dann der Fall ist, wenn das Integrationsgebiet ein Kreis ist), dann wirst du auch die elliptischen Koordinaten problemlos verstehen.
Also haben wir das Integral: und das Integrationsgebiet, das durch eine Ellipse mit dem Mittelpunkt im Ursprung begrenzt ist, deren Gleichung lautet: . Stellen wir sicher, dass die rechte Seite der Ellipsengleichung auf jeden Fall 1 ist, okay? Wenn dort zum Beispiel eine 9 steht, kannst du sie leicht zu einer 1 machen, indem du beide Seiten der Gleichung durch 9 teilst.
Das gezeichnete Integrationsgebiet sieht so aus:
Was a und b bedeuten, ist auf der Zeichnung zu sehen. Man muss aufpassen, denn wenn im Nenner der Ellipsengleichung unter zum Beispiel 9 steht, bedeutet das, dass , aus offensichtlichen Gründen, richtig?
Nun, mit einer solchen “sauberen” Situation wechseln wir zu elliptischen Koordinaten, indem wir ersetzen:
Bedeutung der Variablen in elliptischen Koordinaten
Der Winkel bedeutet genau das gleiche wie bei Polarkoordinaten, und
Jakobi
Der Jakobi in elliptischen Koordinaten ist gleich
Wenn wir uns an den Jakobi erinnern, wechseln wir also zum Integral in elliptischen Koordinaten:
wobei die Variablen
Einfach nehmen und rechnen.
Beispiel
Berechne das Integral
Nach dem obigen Schema setzen wir ein:
Wir nehmen das Integrationsgebiet:
Und berechnen das Integral:
Was natürlich jetzt nur noch Formsache ist 🙂
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