Die “Pi-mal-Daumen” Schätzung des Ranges einer Matrix
Krystian Karczyński
Gründer und Chef des Dienstes eTrapez.
Master of Mathematics der Technischen Universität Pozen (Polen). Mathematik-Nachhilfelehrer mit langjähriger Erfahrung. Schöpfer der ersten eTrapez-Kurse, die bei Studenten in ganz Polen große Beliebtheit erlangten.
Lebt in Stettin (Polen). Mag Waldspaziergänge, Strandtage und Kajakfahren.
Definition des Rangs einer Matrix und was daraus folgt
Angenommen, wir haben den Rang einer Matrix definiert als: “Anzahl der linear unabhängigen Zeilen und Spalten in einer Matrix”. Welche Eigenschaften des Rangs ergeben sich bereits aus dieser Definition?
Zunächst ist klar, dass der Rang einer Matrix gleich: 1, oder 4, oder manchmal 0 sein kann. Aber er wird sicher nicht gleich: -4, oder 
sein.
Okay, ist das alles?
Aber ist das alles, was man daraus ableiten kann? Nehmen wir zum Beispiel die folgende Matrix:
Diese Matrix hat 3 Zeilen und 6 Spalten.
Fragen wir uns, was der Rang dieser Matrix sein kann? Kann er gleich 7 sein? Es ist klar, dass das nicht möglich ist, denn wenn der Rang einer Matrix “die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen und Spalten” ist, kann er in diesem Fall nicht 7 sein, da diese Matrix nicht so viele Zeilen oder Spalten hat!
Nun eine schwierigere Frage… Kann der Rang gleich 6 sein? Die Matrix hat ja 6 Spalten…
Die Antwort lautet: nein. 6 müsste “die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen und Spalten” sein. 6 kann die Anzahl der linear unabhängigen Spalten sein (weil es 6 Spalten gibt), aber es kann nicht die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen sein (weil es nur 3 Zeilen gibt). Und es sollte die Anzahl der linear unabhängigen “Zeilen und Spalten” sein.
Es ist also offensichtlich, dass der Rang dieser Matrix maximal 3 sein kann.
Wir kommen hier zu einer nützlichen Eigenschaft:
rang(A) <= min(Anzahl der Zeilen der Matrix, Anzahl der Spalten der Matrix)
Daher kann man durch das Betrachten einer Matrix sofort deren maximalen Rang erkennen – was manchmal sehr nützlich sein kann.
Um ihn genauer zu berechnen, musst du jedoch geeignete Methoden anwenden – ich zeige sie in meinem Matrix-Kurs in Lektion 5, willkommen!
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