Der Rang einer Matrix mit einem Parameter
Krystian Karczyński
Gründer und Chef des Dienstes eTrapez.
Master of Mathematics der Technischen Universität Pozen (Polen). Mathematik-Nachhilfelehrer mit langjähriger Erfahrung. Schöpfer der ersten eTrapez-Kurse, die bei Studenten in ganz Polen große Beliebtheit erlangten.
Lebt in Stettin (Polen). Mag Waldspaziergänge, Strandtage und Kajakfahren.
Nehmen wir an, wir sollen den Rang der Matrix berechnen:
Lösung
Es gibt verschiedene Methoden, dies zu lösen, und wahrscheinlich ist die schnellste, die fünfte Spalte mit -1 zu multiplizieren und zu den ersten vier Spalten hinzuzufügen, wodurch sich ergibt:
Nun nehmen wir die Determinante der 4. Ordnung der Matrix:
Eine Determinante, bei der alle Elemente außer der Hauptdiagonale null sind, ist gleich dem Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonale (ich werde das irgendwann mal beweisen 🙂 ), also:
Diese Determinante ist für alle a, die nicht gleich 1 sind, ungleich null. Daher ist für solche a der Rang unserer Matrix, den wir berechnen müssen, 4 (weil man daraus einen nicht null 4. Ordnung Minor extrahieren kann, einen größeren jedoch nicht).
Und was ist mit dem Fall, in dem 
. Dann erhalten wir den Rang der Matrix (ersetzen wir a durch 1):
Und dieser Rang ist 1 (man kann z.B. wieder die fünfte Spalte auf die anderen anwenden und die null Spalten eliminieren).
Also, für a ungleich 1 ist der Rang der Matrix 4, und für a gleich 1 ist der Rang der Matrix 1.
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