Kategorie: Komplexe Zahlen

Es gibt Tage, an denen einfach nichts funktioniert. Und es gibt Beispiele mit komplexen Zahlen, bei denen nichts funktioniert. Bekannte und auswendig gelernte Methoden helfen nicht.

Nehmen wir zum Beispiel diese unschuldig aussehende Potenzierung: (1+2i)^8. Auf dem bereits oft beschrittenen Weg möchtest du die Zahl 1+2i in trigonometrischer Form schreiben und dann mit der entsprechenden Formel in die achte Potenz heben. Aber auf dem Weg stößt du auf Komplikationen… Sieh dir den Trick an, den ich anwende.

Viele Polynomgleichungen vierten Grades können durch einen bekannten Highschool-Trick der Substitution in quadratische Gleichungen umgewandelt werden. Dies gilt auch für Polynome in komplexen Zahlen.

Sehen Sie, wie Sie diese Gleichungen in Gleichungen niedrigeren Grades umwandeln können.

Beim Berechnen von Quadratwurzeln in kartesischer (oder: algebraischer) Form in meinem Kurs über komplexe Zahlen habe ich eine Methode gezeigt, die darin besteht, eine dritte Gleichung zu den bereits vorhandenen zwei Gleichungen hinzuzufügen, was die weiteren Berechnungen erheblich vereinfacht und verkürzt.

Ich habe diese Methode gezeigt, aber nicht begründet. Und kürzlich habe ich eine E-Mail zu diesem Thema erhalten:

“Könnten Sie erklären, warum wir die Methode verwenden können, indem wir eine dritte Gleichung hinzufügen, wenn wir die Quadratwurzel einer komplexen Zahl berechnen?” Also erkläre ich es.

Komplexe Zahlen sind als Ganzes kein kompliziertes und schwieriges Thema. In untypischen und weniger schematischen Situationen kann es jedoch „heiß“ werden. Der Schlüssel ist dann – wie immer – das Verständnis des Themas und ein „kühler Kopf“, also Klarheit und Selbstvertrauen.

Beim Lösen von Aufgaben mit komplexen Zahlen muss man beachten, dass eine komplexe Zahl in trigonometrischer Form ihre typische Form hat. Und nur diese Form. Nicht mehr, nicht weniger. Daher muss man darauf achten, wann eine komplexe Zahl in trigonometrischer Form vorliegt und wann nicht.