Euler-Substitution der zweiten Art

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Euler-Substitution der ersten Art (für a>0) – Wiederholung

Im vorherigen Beitrag:

Euler-Substitution der ersten Art

haben wir uns mit Integralen vom Typ:

beschäftigt,

bei denen a>0.

Wir haben auch ein Beispielintegral gelöst, das diese Bedingung erfüllt, nämlich

Aber was, wenn im Trinom negativ ist (den Fall a=0 können wir vernachlässigen, da es dann kein quadratisches Trinom mehr wäre und das Integral durch einfachere Substitution gelöst werden kann als die Euler-Substitution) ?

Dann kann uns der zweite Typ der Euler-Substitution helfen (oder auch nicht…):

Euler-Substitution der zweiten Art (für c>0)

Wir haben ein Integral vom Typ:

,

bei dem c>0 ist, verwenden wir eine Substitution des Typs:

,

das wir erneut auf beiden Seiten quadrieren, wobei diesmal die Terme mit sich kürzen und dann müssen wir beide Seiten durch teilen, um eine lineare Abhängigkeit zu erhalten, aus der wir mit der Variable in der Reihenfolge lösen:

Wir setzen das alles in das Integral ein:

und erhalten erneut ein rationales Integral, das – wie ich wiederhole – in der Regel mühsam ist.

Lass uns also mit einem Beispiel beginnen.

Beispiel

Im quadratischen Trinom ist die Reihenfolge der Terme etwas verändert, aber es ist klar, dass . Das bedeutet, dass nicht größer ist als (wir verwenden also nicht die erste Art der Euler-Substitution), aber c>0 (also verwenden wir die zweite Art).

Wir substituieren also:

Wir quadrieren beide Seiten:

Der Term 2 kürzt sich (wie es sein soll):

Und jetzt etwas, das in der ersten Art der Substitution nicht vorkam, wir teilen beide Seiten durch x:

Als nächstes lösen wir für x:

Wir haben x in Bezug auf die Variable t gelöst. Jetzt lösen wir für . Anfangs hatten wir die Substitution:

ist bereits gelöst, also setzen wir es einfach ein:

Wir müssen nur noch lösen. Wir berechnen es, indem wir die Ableitung von nehmen:

Wir haben also gelöst:

, alles unter Verwendung der Variable . Wir nehmen das Integral:

und substituieren:

Lass uns aufräumen:

\int{\frac{-2\left( -\sqrt{2}{{t}^{2}}+\sqrt{2}+t \right)}{\left( 1-2\sqrt{2}t \right)\left( -\sqrt{2}{{t}^{2}}+\sqrt{2}+t \right)}dt} \int{\frac{-2}{1-2\sqrt{2}t}dt}=\left| \begin{matrix}&u=1-2\sqrt{2}t\\&du=-2\sqrt{2}dt\\&dt=\frac{du}{-2\sqrt{2}}\\\end{matrix} \right|=\int{\frac{-2}{u}\frac{du}{-2\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int{\frac{du}{u}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| u \right|+C

Zurück zur Substitution:

\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| u \right|+C=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| 1-2\sqrt{2}t \right|+C

Wir müssen noch von t zu x zurückkehren. Unsere Euler-Substitution war

xt+\sqrt{2}=\sqrt{2+x-{{x}^{2}}}

Daraus ergibt sich

t=\frac{\sqrt{2+x-{{x}^{2}}}-\sqrt{2}}{x}

Somit ist unsere Lösung

\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| u \right|+C=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| 1-2\sqrt{2}t \right|+C=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| 1-2\sqrt{2}\frac{\sqrt{2+x-{{x}^{2}}}-\sqrt{2}}{x} \right|+C

Was ist mit anderen Fällen?

Wir wissen, dass wenn im Integral:

• a>0 – wir verwenden die erste Art der Substitution
• c>0 – wir verwenden die zweite Art der Substitution

Was aber, wenn weder noch größer als null sind? Das besprechen wir im nächsten Beitrag, in dem ich die dritte Art der Euler-Substitution behandle und zeige, dass das Thema damit abgeschlossen ist, d.h. für jedes Integral vom Typ:

…werden wir eine der drei Substitutionsarten wählen.