Wykorzystaj Podobieństwa Między Całkami a Szeregami
Krystian Karczyński
Założyciel i szef serwisu eTrapez.
Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.
Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.
Całkowanie a liczenie szeregów – tak różne, a tak podobne
Obliczanie całki oznaczonej (no i niewłaściwej także) to – jak możesz sprawdzić wgłębiając się trochę w definicję tej całki – właściwie obliczanie pewnego szeregu.
Same całkowanie właściwie to tak naprawdę sumowanie, tyle, że wielkości nieskończenie małych. A suma to przecież szereg.
Trudno więc, żeby pomiędzy całką \int\limits_{a}^{\infty }{f\left( x \right)dx}, a szeregiem \sum\limits_{n=a}^{\infty }{{{a}_{n}}} nie było wielu analogii.
Kryterium całkowe zbieżności szeregów (mając do określenie zbieżność szeregu liczymy odpowiadającą mu całkę i sprawdzamy jej zbieżność) już znasz. Jest to jednak tylko jeden element z dłuższej listy analogii i podobieństw.
Dzięki nim określisz w wielu przypadkach zbieżność (lub nie) całki niewłaściwej, bez konieczności obliczania jej od deski do deski. Ułatwia to sprawę, a czasami nawet nie ułatwia, ale w ogóle umożliwia – bo jak już wiesz liczenie całek to często sprawa bardzo trudna.
W tym poście opiszę 4 kryteria zbieżności, które znasz (no przynajmniej jedno na pewno znasz) z szeregów, w zupełnie identyczny sposób zastosowane do całek.
Kryterium porównawcze
Tak, tak, to nasz stary dobry znajomy z szeregów. Znany i popularny, choć nie bardzo lubiany przez studentów za brak sztywno określonego schematu postępowania.
Przypomnę: chodziło tam o to, że szukałem ciągów ograniczających wyraz szeregu od dołu lub od góry (w zależności, czy wykazywałem zbieżność, czy rozbieżność) i takich, żeby szeregi z tych ciągów były rozbieżne lub zbieżne (znowu w zależności od tego, co chciałem pokazać).
Wszystko to pokazałem w moim Kursie Szeregów.
No i spójrz teraz na kryterium porównawcze całek niewłaściwych:
Jeśli funkcja f\left( x \right) jest funkcją dodatnią od pewnego x(dla x\ge {{x}_{0}}, gdzie {{x}_{0}} oznacza jakąś stałą) i dla tych x zachodzi nierówność f\left( x \right)\le g\left( x \right), to ze zbieżności całki \int\limits_{{{x}_{0}}}^{\infty }{g\left( x \right)dx} wynika zbieżność całki \int\limits_{{{x}_{0}}}^{\infty }{f\left( x \right)dx}
Jeśli funkcja f\left( x \right) jest funkcją dodatnią od pewnego x(dla x\ge {{x}_{0}}, gdzie {{x}_{0}} oznacza jakąś stałą) i dla tych x zachodzi nierówność f\left( x \right)\ge g\left( x \right), to z rozbieżności całki \int\limits_{{{x}_{0}}}^{\infty }{g\left( x \right)dx} wynika rozbieżność całki \int\limits_{{{x}_{0}}}^{\infty }{f\left( x \right)dx}
Jest to właściwie zdublowane kryterium w stosunku do tego z szeregów, a i metoda postępowania taka sama.
Alternatywą do męczącego obliczania wprost tej całki i sprawdzaniu na końcu, czy wyjdzie stała, czy nieskończoność (pokazałem jak to się robi w moim Kursie z całkami niewłaściwymi) jest zastosowanie kryterium porównawczego.
Zupełnie analogicznie, jak w szeregach patrząc na funkcję podcałkową orientuję się, że będę szacował zbieżność, szukam więc jej oszacowania z góry:
\frac{1}{{{x}^{2}}+x}\le
Zmniejszając mianownik zwiększę całe wyrażenie, czyli:
\frac{1}{{{x}^{2}}+x}\le \frac{1}{{{x}^{2}}}– oczywiście dla x>1, a tylko takie bierzemy pod uwagę patrząc na granice całkowania
Całka \int\limits_{1}^{\infty }{\frac{1}{{{x}^{2}}}dx} jest oczywiście zbieżna, możemy to pokazać Panu Profesorowi obliczając ją w kilku ruchach (to już będzie elementarna, a nie wymierna) – jeśli w ogóle tego wymaga.
Czyli – na mocy kryterium porównawczego całek niewłaściwych – całka \int\limits_{1}^{\infty }{\frac{1}{{{x}^{2}}+x}dx} jest zbieżna.
Kolejne kryterium opisałem w moim poście parę dni temu, jako kryterium do szeregów. Świetnie jednak sprawdza się również dla całek niewłaściwych:
Jeśli mam dwie całki \int\limits_{{{x}_{0}}}^{\infty }{f\left( x \right)dx} i \int\limits_{{{x}_{0}}}^{\infty }{g\left( x \right)dx}, oraz istnieje granica:
\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}
wtedy jeżeli:
0<\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}<\infty – obie całki są równocześnie albo zbieżne, albo rozbieżne
\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=0– ze zbieżności całki \int\limits_{{{x}_{0}}}^{\infty }{g\left( x \right)dx} wynika zbieżność całki \int\limits_{{{x}_{0}}}^{\infty }{f\left( x \right)dx}
\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\infty – z rozbieżności całki \int\limits_{{{x}_{0}}}^{\infty }{g\left( x \right)dx} wynika rozbieżność całki \int\limits_{{{x}_{0}}}^{\infty }{f\left( x \right)dx}
Tutaj motanie się z liczeniem tej całki było by już zupełnie przykre (chociaż możliwe). Podejdźmy ją elegancko dobranym kryterium ilorazowym.
Mamy funkcję \frac{x+3}{{{x}^{3}}+\sqrt{x}-1}, trzeba ją podzielić przez odpowiednią funkcję. Największa potęga w liczniku to x, a w mianowniku x^3. Dzielę więc przez funkcję \frac{x}{{{x}^{3}}} i zobacz, jak fajnie uprości to nam temat:
Czyli nasza granica z kryterium ilorazowego wyszła równa 1, zatem obie całki \int\limits_{2}^{\infty }{\frac{x+3}{{{x}^{3}}+\sqrt{x}-1}dx} i \int\limits_{2}^{\infty }{\frac{x}{{{x}^{3}}}dx} są albo równocześnie zbieżne, albo równocześnie rozbieżne.
A tak się oczywiście składa, że całka \int\limits_{2}^{\infty }{\frac{x}{{{x}^{3}}}dx}=\int\limits_{2}^{\infty }{\frac{1}{{{x}^{2}}}dx} jest zbieżna (co można znowu pokazać obliczając ją w kilku ruchach).
Zatem na mocy kryterium ilorazowego zbieżności całek niewłaściwych całka \int\limits_{2}^{\infty }{\frac{x+3}{{{x}^{3}}+\sqrt{x}-1}dx} jest zbieżna.
Uwaga!
Uważnie prześledź ten myk w tym przykładzie, jest on często dobierany przez profesorów. Nieznajomość jego oznacza Twoją śmierć na kolokwium (no chyba, że oszacujesz porównawczym, oczywiście), bo nie chodzi o to, żebyś całkę LICZYŁ, tak jak w standardowych przypadkach.
Funkcję podcałkową dzielisz przez największe potęgi w liczniku i mianowniku, a jak są pod pierwiastkiem, to też pod pierwiastkiem. Na przykład, żeby policzyć całkę \int\limits_{2}^{\infty }{\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{{{x}^{3}}-7}}dx} utworzyłbyś granicę: \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{{{x}^{3}}-7}}}{\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{{{x}^{3}}}}}
Kolejne kryteria nie wymagają tego, żeby funkcja podcałkowa była dodatnia. Ich odpowiedniki w szeregach wprowadziłem w ostatnim poście na blogu.
3. Kryterium Abela
Kryterium Abela zbieżności całek niewłaściwych
Jeśli funkcje f\left( x \right) i g\left( x \right) są określone w przedziale < a,\infty ), całka \int\limits_{a}^{\infty }{f\left( x \right)dx} jest zbieżna w tym przedziale, a funkcja g\left( x \right) jest monotoniczna i ograniczona w tym przedziale, wtedy całka:
\int\limits_{a}^{\infty }{f\left( x \right)g\left( x \right)dx}
funkcja f\left( x \right) jest całkowalna w każdym przedziale \left\langle a,A \right\rangle dla A>a i całka \int\limits_{a}^{A}{f\left( x \right)dx} jest w nim ograniczona
funkcja g\left( x \right) jest monotoniczna i zbieżna do zera, gdy x\to \infty
wtedy: \int\limits_{a}^{\infty }{f\left( x \right)g\left( x \right)dx}
jest zbieżna.
Podchodzimy do kryterium Dirichleta, czyli pokazujemy, że całka \int\limits_{a}^{A}{\sin xdx} jest całkowalna i ograniczona – po prostu ją licząc:
\int\limits_{a}^{A}{\sin xdx}=\ldots \int{\sin xdx}=-\cos x+C \ldots =\left. \left[ -\cos x \right] \right|_{a}^{A} \ldots =\left. \left[ -\cos x \right] \right|_{a}^{A}=-\cos A-\left( -\cos a \right)=\cos a-\cos A
Czyli funkcja \sin x jest całkowalna i ograniczona też, bo \cos a i \cos A nigdy nie “przekroczą” wartości -1 i 1, czyli na pewno:
-2\le \cos a-\cos A\le 2
Dalej funkcja \frac{1}{\sqrt{x}} jest monotoniczna (malejąca) i \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x}}=0.
Czyli założenia kryterium Dirichleta są spełnione. Zatem:
Na mocy kryterium Dirichleta całka \int\limits_{1}^{\infty }{\frac{\sin x}{\sqrt{x}}dx}jest zbieżna.
Ułatwia to wszystko pewne sprawy, prawda? 🙂
Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...
Rewelacyjny sposób prowadzenia pozwala na skuteczne zrozumienie każdego omawianego zagadnienia, co ważne każdy kurs rozpoczyna się od podstaw więc mimo braku znajomości wstępnych zagadnień każdy jest w stanie skorzystać w 100%, jak dla mnie świetna sprawa i polecam serdecznie.
Mateusz Andrzejewski
Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej?
A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?
Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.
Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.
Witam i przepraszam że tu zamieszczam ten post.
Jakieś 3 miesiące temu kolega kupił od pana 2 kursy całek wielokrotnych. I on już miał kolokwium a ja mam w sobotę i mam do pana proźbę o rozwiązanie lub nakierowanie w rozwiązaniu zadania bo u pana w kursie nie było jak rozwiązać takie zadanie:
Oblicz pole części powierzchni paraboloidy z=4-(x do kwadratu + y do kwadratu) wyciętej przez powierzchnie z=1, z=2. Chodzi o to że mam problem z wyznaczeniem obszaru całkowania jak wogóle wyznaczyć z niego do dalszej części zadania “x” i “y”. Rysunek narysowałem pana sposobem i jest czytelny i wyznaczyłem obszar całkowania ale nie wiem jak jest ograniczony chodzi o x i y.
Jak by pan mógł jak najszybciej mi pomóc.
Z góry dziękuje.
Witam
Wiem, że komentarz dodany “troszkę” za późno ale z okazji sesji i mojego egzaminu z Analizy Matematycznej III za 6 godzin chciałbym zrobić coś związanego z tematem i nakierować na rozwiązanie tego zadania osoby, które tak jak ja będą szukać odpowiedzi na jest stronie.
Wstęp: Niemalże każde zadanie jest projektowane tak żeby było możliwe do rozwiązania metodami poznanymi przez na na ćwiczeniach oraz wykładach. Należy więc doszukiwać się jawnych wskazówek
Krok 1 wskazówki: Pole powierzchni płata S jest równe Całce po tym płacie z funkcji tożsamościowo równej 1. zdanie :Oblicz pole części powierzchni paraboloidy z=4-(x^2 + y^2) to jest swoiste: “Mój drogi Studencie teraz podaję Ci wzór funkcji (opis płata S)
A podanie warunków jakimi powierzchniami tniemy naszą paraboloidę jest wskazówką : “Mój drogi Studencie teraz podaję Ci jak będzie wyglądał rzut płata S na płaszczyznę OXY”
Krok 2 Korzystając z narzędzi jakie dostaliśmy w ręce od naszych Prowadzących i Wykładowców możemy teraz obliczyć taką całkę. Jak? Pierwszym pomysłem jaki przychodzi mi do głowy i zdaje się być najprostszy jest sprowadzenie tej całki do całki podwójnej. Wyznaczamy rzut płata S (podstawiając kolejno wartości z=1 i z=2 do równania z=4-(x^2+y^2) po chwili zastanowienia widać, że będzie to pierścień. Czyli całka sprowadza się do obliczenia całki podwójnej po pierścieniu z funkcji która prezentuje długość wektora normalnego do naszej powierzchni (po to została nam podana funkcja z=4-(x^2+y^2).
Krok 3. Obliczenie powyższej całki najlepiej zrobic poprzez podstawienie trygonometryczne ale to już inna bajka, którą na pewno znajdziecie w \internecie i najpewniej w kursie Pana Krystiana Karczyńskiego.
Korzystamy z plików cookies w celu dostosowania jej treści, jeśli będziesz na nią wracał; korzystania z narzędzi analitycznych (Google Optimize); marketingowych (Google Ads, Facebook Custom Audiences); wtyczek społecznościowych (Facebook, Youtube); widgetów matematycznych (Wolfram|Alpha) oraz embedowania treści ze stron zewnętrznych (YouTube, Vimeo). Cookies funkcjonują przez okres do 24 miesięcy, chyba że wcześniej je wyczyścisz. Dostęp do cookies mają podmioty trzecie wskazane w nawiasach. Poprzez kliknięcie “Zaakceptuj wszystkie”, wyrażasz zgodę na użycie WSZYSTKICH ciasteczek. Możesz też dostosować swoje zgody modyfikując Ustawienia Ciasteczek. Czytaj więcej
Używamy ciasteczek, aby ulepszyć funkcjonowanie strony eTrapez. Podzieliliśmy te ciasteczka na kategorie. Niektóre z nich uznaliśmy za "niezbędne". Przechowujemy je w Twojej przeglądarce, ponieważ zapewniają podstawowe funkcjonalności strony. Inne ciasteczka uznaliśmy za mniej ważne i przechowujemy je w Twojej przeglądarce tylko za Twoją zgodą. Masz możliwość zablokowania tych ciasteczek.
Ponadto, oprócz naszych własnych, wewnętrznych ciasteczek, używamy także ciasteczek zewnętrznych firm, takich jak Facebook, Google, Vimeo.
Niezbędne ciasteczka są potrzebne do podstawowego działania strony. Zapewniają najbardziej kluczowe funkcjonalności, zabezpieczenia i zgodność z wymogami prawnymi.
Wszystkie inne ciasteczka, które nie są niezbędne do funkcjonowania strony, w szczególności zbierające dane osobiste do celów analitycznych, reklamowych i innych. Wymagają zgody użytkownika strony internetowej.
Ciasteczka statystyczne są używane do badania tego, jak użytkownicy zachowują się na stronie internetowej. Pomagają dostarczać informacje o wskaźnikach takich jak liczba odwiedzin na stronie, współczynnik odrzuceń, źródła odwiedzin itd.
Ciasteczka reklamowe są używane do celów marketingowych. Śledzą wizyty użytkowników na stronach internetowych i zbierają informacją o ich zachowaniach, aby docierać do nich z odpowiednimi reklamami.
Ciasteczka wydajnościowe używane są do zrozumienia i analizy kluczowych indeksów strony, takich jak szybkość wyświetlania treści, liczba wyświetleń video itp. Dzięki nim możemy poprawiać stronę tak, żeby korzystanie z niej było bardziej przyjazne dla użytkowników.
a co jeśli granice w ogóle nie będą istnień w kryterium ilorazowym?
Dziękuję Krystian, w końcu zrozumiałam to nieszczęsne kryterium! Szybko, łatwo i zwięźle!
Brawo Krystian, swietna robota zarowno merytorycznie, jak i pod wzgledem prezentacji informacji, czytelnie i rzetelnie.
Pozdrawiam.
Witam i przepraszam że tu zamieszczam ten post.
Jakieś 3 miesiące temu kolega kupił od pana 2 kursy całek wielokrotnych. I on już miał kolokwium a ja mam w sobotę i mam do pana proźbę o rozwiązanie lub nakierowanie w rozwiązaniu zadania bo u pana w kursie nie było jak rozwiązać takie zadanie:
Oblicz pole części powierzchni paraboloidy z=4-(x do kwadratu + y do kwadratu) wyciętej przez powierzchnie z=1, z=2. Chodzi o to że mam problem z wyznaczeniem obszaru całkowania jak wogóle wyznaczyć z niego do dalszej części zadania “x” i “y”. Rysunek narysowałem pana sposobem i jest czytelny i wyznaczyłem obszar całkowania ale nie wiem jak jest ograniczony chodzi o x i y.
Jak by pan mógł jak najszybciej mi pomóc.
Z góry dziękuje.
Witam
Wiem, że komentarz dodany “troszkę” za późno ale z okazji sesji i mojego egzaminu z Analizy Matematycznej III za 6 godzin chciałbym zrobić coś związanego z tematem i nakierować na rozwiązanie tego zadania osoby, które tak jak ja będą szukać odpowiedzi na jest stronie.
Wstęp: Niemalże każde zadanie jest projektowane tak żeby było możliwe do rozwiązania metodami poznanymi przez na na ćwiczeniach oraz wykładach. Należy więc doszukiwać się jawnych wskazówek
Krok 1 wskazówki: Pole powierzchni płata S jest równe Całce po tym płacie z funkcji tożsamościowo równej 1. zdanie :Oblicz pole części powierzchni paraboloidy z=4-(x^2 + y^2) to jest swoiste: “Mój drogi Studencie teraz podaję Ci wzór funkcji (opis płata S)
A podanie warunków jakimi powierzchniami tniemy naszą paraboloidę jest wskazówką : “Mój drogi Studencie teraz podaję Ci jak będzie wyglądał rzut płata S na płaszczyznę OXY”
Krok 2 Korzystając z narzędzi jakie dostaliśmy w ręce od naszych Prowadzących i Wykładowców możemy teraz obliczyć taką całkę. Jak? Pierwszym pomysłem jaki przychodzi mi do głowy i zdaje się być najprostszy jest sprowadzenie tej całki do całki podwójnej. Wyznaczamy rzut płata S (podstawiając kolejno wartości z=1 i z=2 do równania z=4-(x^2+y^2) po chwili zastanowienia widać, że będzie to pierścień. Czyli całka sprowadza się do obliczenia całki podwójnej po pierścieniu z funkcji która prezentuje długość wektora normalnego do naszej powierzchni (po to została nam podana funkcja z=4-(x^2+y^2).
Krok 3. Obliczenie powyższej całki najlepiej zrobic poprzez podstawienie trygonometryczne ale to już inna bajka, którą na pewno znajdziecie w \internecie i najpewniej w kursie Pana Krystiana Karczyńskiego.
PM