Całkowanie a liczenie szeregów – tak różne, a tak podobne

Obliczanie całki oznaczonej (no i niewłaściwej także) to – jak możesz sprawdzić wgłębiając się trochę w definicję tej całki – właściwie obliczanie pewnego szeregu.

Same całkowanie właściwie to tak naprawdę sumowanie, tyle, że wielkości nieskończenie małych. A suma to przecież szereg.

Trudno więc, żeby pomiędzy całką \int\limits_{a}^{\infty }{f\left( x \right)dx}, a szeregiem \sum\limits_{n=a}^{\infty }{{{a}_{n}}}nie było wielu analogii.

Kryterium całkowe zbieżności szeregów (mając do określenie zbieżność szeregu liczymy odpowiadającą mu całkę i sprawdzamy jej zbieżność) już znasz. Jest to jednak tylko jeden element z dłuższej listy analogii i podobieństw.

Dzięki nim określisz w wielu przypadkach zbieżność (lub nie) całki niewłaściwej, bez konieczności obliczania jej od deski do deski. Ułatwia to sprawę, a czasami nawet nie ułatwia, ale w ogóle umożliwia – bo jak już wiesz liczenie całek to często sprawa bardzo trudna.

W tym poście opiszę 4 kryteria zbieżności, które znasz (no przynajmniej jedno na pewno znasz) z szeregów, w zupełnie identyczny sposób zastosowane do całek.

1. Kryterium porównawcze

Tak, tak, to nasz stary dobry znajomy z szeregów. Znany i popularny, choć nie bardzo lubiany przez studentów za brak sztywno określonego schematu postępowania.

Przypomnę: chodziło tam o to, że szukałem ciągów ograniczających wyraz szeregu od dołu lub od góry (w zależności, czy wykazywałem zbieżność, czy rozbieżność) i takich, żeby szeregi z tych ciągów były rozbieżne lub zbieżne (znowu w zależności od tego, co chciałem pokazać).

Wszystko to pokazałem w moim Kursie Szeregów.

No i spójrz teraz na kryterium porównawcze całek niewłaściwych:

Kryterium porównawcze zbieżności całek niewłaściwych

• Jeśli funkcja f\left( x \right)jest funkcją dodatnią od pewnego x(dla x\ge {{x}_{0}}, gdzie {{x}_{0}}oznacza jakąś stałą) i dla tych xzachodzi nierówność f\left( x \right)\le g\left( x \right), to ze zbieżności całki \int\limits_{{{x}_{0}}}^{\infty }{g\left( x \right)dx}wynika zbieżność całki \int\limits_{{{x}_{0}}}^{\infty }{f\left( x \right)dx}
• Jeśli funkcja f\left( x \right)jest funkcją dodatnią od pewnego x(dla x\ge {{x}_{0}}, gdzie {{x}_{0}}oznacza jakąś stałą) i dla tych xzachodzi nierówność f\left( x \right)\ge g\left( x \right), to z rozbieżności całki \int\limits_{{{x}_{0}}}^{\infty }{g\left( x \right)dx}wynika rozbieżność całki \int\limits_{{{x}_{0}}}^{\infty }{f\left( x \right)dx}

Jest to właściwie zdublowane kryterium w stosunku do tego z szeregów, a i metoda postępowania taka sama.

Przykład 1

Zbadaj zbieżność całki \int\limits_{1}^{\infty }{\frac{1}{{{x}^{2}}+x}dx}

Alternatywą do męczącego obliczania wprost tej całki i sprawdzaniu na końcu, czy wyjdzie stała, czy nieskończoność (pokazałem jak to się robi w moim Kursie z całkami niewłaściwymi) jest zastosowanie kryterium porównawczego.

Zupełnie analogicznie, jak w szeregach patrząc na funkcję podcałkową orientuję się, że będę szacował zbieżność, szukam więc jej oszacowania z góry:

Zmniejszając mianownik zwiększę całe wyrażenie, czyli:

\frac{1}{{{x}^{2}}+x}\le \frac{1}{{{x}^{2}}}– oczywiście dla x>1, a tylko takie bierzemy pod uwagę patrząc na granice całkowania

Całka \int\limits_{1}^{\infty }{\frac{1}{{{x}^{2}}}dx}jest oczywiście zbieżna, możemy to pokazać Panu Profesorowi obliczając ją w kilku ruchach (to już będzie elementarna, a nie wymierna) – jeśli w ogóle tego wymaga.

Czyli – na mocy kryterium porównawczego całek niewłaściwych – całka \int\limits_{1}^{\infty }{\frac{1}{{{x}^{2}}+x}dx}jest zbieżna.

Kolejne kryterium opisałem w moim poście parę dni temu, jako kryterium do szeregów. Świetnie jednak sprawdza się również dla całek niewłaściwych:

2. Kryterium ilorazowe

Kryterium ilorazowe zbieżności całek niewłaściwych

Jeśli mam dwie całki  \int\limits_{{{x}_{0}}}^{\infty }{f\left( x \right)dx}i \int\limits_{{{x}_{0}}}^{\infty }{g\left( x \right)dx}, oraz istnieje granica:

\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}

wtedy jeżeli:

• 0<\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}<\infty – obie całki są równocześnie albo zbieżne, albo rozbieżne
• \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=0– ze zbieżności całki  \int\limits_{{{x}_{0}}}^{\infty }{g\left( x \right)dx}wynika zbieżność całki \int\limits_{{{x}_{0}}}^{\infty }{f\left( x \right)dx}
• \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\infty  – z rozbieżności całki  \int\limits_{{{x}_{0}}}^{\infty }{g\left( x \right)dx}wynika rozbieżność całki \int\limits_{{{x}_{0}}}^{\infty }{f\left( x \right)dx}

 

Przykład 2

Zbadaj zbieżność całki \int\limits_{2}^{\infty }{\frac{x+3}{{{x}^{3}}+\sqrt{x}-1}dx}

Tutaj motanie się z liczeniem tej całki było by już zupełnie przykre (chociaż możliwe). Podejdźmy ją elegancko dobranym kryterium ilorazowym.

Mamy funkcję \frac{x+3}{{{x}^{3}}+\sqrt{x}-1}, trzeba ją podzielić przez odpowiednią funkcję. Największa potęga w liczniku to x, a w mianowniku x^3. Dzielę więc przez funkcję \frac{x}{{{x}^{3}}}i zobacz, jak fajnie uprości to nam temat:

Czyli nasza granica z kryterium ilorazowego wyszła równa 1, zatem obie całki  \int\limits_{2}^{\infty }{\frac{x+3}{{{x}^{3}}+\sqrt{x}-1}dx}i  \int\limits_{2}^{\infty }{\frac{x}{{{x}^{3}}}dx}są albo równocześnie zbieżne, albo równocześnie rozbieżne.

A tak się oczywiście składa, że całka \int\limits_{2}^{\infty }{\frac{x}{{{x}^{3}}}dx}=\int\limits_{2}^{\infty }{\frac{1}{{{x}^{2}}}dx}jest zbieżna (co można znowu pokazać obliczając ją w kilku ruchach).

Zatem na mocy kryterium ilorazowego zbieżności całek niewłaściwych całka \int\limits_{2}^{\infty }{\frac{x+3}{{{x}^{3}}+\sqrt{x}-1}dx}jest zbieżna.

Uwaga!

Uważnie prześledź ten myk w tym przykładzie, jest on często dobierany przez profesorów. Nieznajomość jego oznacza Twoją śmierć na kolokwium (no chyba, że oszacujesz porównawczym, oczywiście), bo nie chodzi o to, żebyś całkę LICZYŁ, tak jak w standardowych przypadkach.

Funkcję podcałkową dzielisz przez największe potęgi w liczniku i mianowniku, a jak są pod pierwiastkiem, to też pod pierwiastkiem. Na przykład, żeby policzyć całkę  \int\limits_{2}^{\infty }{\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{{{x}^{3}}-7}}dx}utworzyłbyś granicę: \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{{{x}^{3}}-7}}}{\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{{{x}^{3}}}}}

 

Kolejne kryteria nie wymagają tego, żeby funkcja podcałkowa była dodatnia. Ich odpowiedniki w szeregach wprowadziłem w ostatnim poście na blogu.

3. Kryterium Abela

Kryterium Abela zbieżności całek niewłaściwych

Jeśli funkcje f\left( x \right)i g\left( x \right)są określone w przedziale < a,\infty ), całka \int\limits_{a}^{\infty }{f\left( x \right)dx}jest zbieżna w tym przedziale, a funkcja g\left( x \right)jest monotoniczna i ograniczona w tym przedziale, wtedy całka:

\int\limits_{a}^{\infty }{f\left( x \right)g\left( x \right)dx}

jest zbieżna.

4. Kryterium Dirichleta

Kryterium Dirichleta zbieżności całek niewłaściwych

Jeżeli:

• funkcja f\left( x \right)jest całkowalna w każdym przedziale \left\langle a,A \right\rangle dla A>ai całka \int\limits_{a}^{A}{f\left( x \right)dx}jest w nim ograniczona
• funkcja g\left( x \right)jest monotoniczna i zbieżna do zera, gdy x\to \infty

wtedy:
\int\limits_{a}^{\infty }{f\left( x \right)g\left( x \right)dx}
jest zbieżna.

Przykład 3

Zbadaj zbieżność całki \int\limits_{1}^{\infty }{\frac{\sin x}{\sqrt{x}}dx}

Jeśli ktoś chciałby liczyć tą całkę, to oczywiście powodzenia, ale o wiele lepiej przedstawić ją jako:

Podchodzimy do kryterium Dirichleta, czyli pokazujemy, że całka \int\limits_{a}^{A}{\sin xdx}jest całkowalna i ograniczona – po prostu ją licząc:

Czyli funkcja \sin xjest całkowalna i ograniczona też, bo \cos ai \cos Anigdy nie „przekroczą” wartości -1 i 1, czyli na pewno:

Dalej funkcja \frac{1}{\sqrt{x}}jest monotoniczna (malejąca) i \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x}}=0.

Czyli założenia kryterium Dirichleta są spełnione. Zatem:

Na mocy kryterium Dirichleta całka \int\limits_{1}^{\infty }{\frac{\sin x}{\sqrt{x}}dx}jest zbieżna.

Ułatwia to wszystko pewne sprawy, prawda? 🙂