Kalkulator Do Całek Nieoznaczonych (Sprawdź, Czy Dobrze Liczysz)

27 kwietnia 2012 przez Krystian Karczyński 176 komentarzy

Przedstawiam nowy kalkulator do całek nieoznaczonych, przerobiony przeze mnie 17 maja 2019. Niestety, „stare” kalkulatory przestały działać ze względu na zmiany na stronie WolframAlpha.

Sprawa jest prosta: w kalkulator wpisujemy formułę (zgodnie z Zasadami) ze zmienną x – bez dx, klikamy na ‚Oblicz’ i mamy policzoną całkę.

Na przykład, żeby policzyć $\int{\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}}dx$ wpisujemy w kalkulator: x^2/(x^2+1).

Tyle, mam nadzieję, że kalkulator się Tobie przyda. W razie kłopotów z jego korzystaniem, daj znać w komentarzach pod postem, będę naprawiał je na bieżąco.

Komentarze

Szpieg napisał

28 kwietnia 2012 at 00:57

Dzięki. Na pewno skorzystam z kalkulatora. Właśnie szukałem czegoś podobnego. Pomocna strona.

Odpowiedz
Arkadiusz napisał

18 stycznia 2013 at 17:06

Witam. Mam problem z całką nr 3 z zadania domowego z kursu całek nieoznaczonych (lekcja 5 – całki wymierne). Nie mogę się połapać w którym miejscu robię błąd bo wynik wychodzi mi taki: 0,75 ln|x+0,75| + 0,25 ln|x-0,25|+C.

Odpowiedz
- Krystian Karczyński napisał
  
  4 lutego 2013 at 12:59
  
  Witam. No to w odpowiedziach jest tak samo: $\frac{1}{4}\ln \left| x-\frac{1}{4} \right|+\frac{3}{4}\ln \left| x+\frac{3}{4} \right|+C$ …?
  
  Odpowiedz
  - Kuba napisał
    
    9 stycznia 2018 at 15:11
    
    Zasadniczo to 0.75 to nie jest 1/4 jak coś a 0.25 to nie 3/4
    
    Odpowiedz
    - Ewa napisał
      
      13 stycznia 2018 at 14:52
      
      Zasadniczo dodawanie może być przestawne najpierw jest 0.25 czyli 1/4 a potem 0.75 czyli 3/4
      
      Odpowiedz
      - Mati napisał
        
        29 stycznia 2018 at 19:11
        
        Hahaha, zasadniczo miałem to samo napisać, że dodawanie jest przemienne 😀
- FS napisał
  
  26 czerwca 2016 at 22:28
  
  Proszę o pomoc przy obliczeniu całki \int_{2}^{4}\frac{1}{x-1}*\sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^4}}dx
  
  Odpowiedz
Damian napisał

1 lutego 2013 at 18:24

Dzięki!

Odpowiedz
- Krystian Karczyński napisał
  
  4 lutego 2013 at 12:56
  
  Nie ma sprawy.
  
  Odpowiedz
Marcin napisał

20 lutego 2013 at 23:55

Witam Panie Krystianie!
Mam problem z całka cos^7xsinxdx jak to policzyć ?
Rozumiem że za t=cos^7x co daje nam pochodna -7cos^6sinx , dalej nie rozumiem jak to ustrojstwo policzyć.
Proszę o pomoc

Odpowiedz
- Daniel napisał
  
  21 kwietnia 2013 at 21:47
  
  $\displaystyle \int cos^7xsinxdx = -cos^8x-7 \int cos^7xsinx = -\frac{cos^8x}{8} + C$
  $\displaystyle f(x)=cos^7x$
  $\displaystyle g'(x)=sinx$
  Akurat to jest bardzo latwa calka. Pan
  Krystian dobrze omawia korzystanie z tej metody w swoim
  kursie:).
  
  Odpowiedz
Marcin napisał

21 lutego 2013 at 00:11

t=cosx =) Pozdrawiam

Odpowiedz
Artur napisał

4 lipca 2013 at 20:04

Stary, jesteś moim zdaniem PROMETEUSZEM 21 wieku, 2 dni do egzaminu, ale dzięki kursowi z całek nieoznaczonych myślę że, dam rady.

Odpowiedz
- Jakub Radzik napisał
  
  10 czerwca 2015 at 10:27
  
  Ja przez noc ogarnąłem 😉 MISZCZ xD
  
  Odpowiedz
kunni napisał

30 listopada 2013 at 05:22

Pomocy! mam do obliczenia nastepujaca calke: (x^0.5)*((r^2-(H-x)^2)^0.5) gdzie r i H to stale, kalkulator tego niestety nie liczy… ;(

Odpowiedz
MMM napisał

12 grudnia 2013 at 20:09

GENIUSZ!!!

Odpowiedz
Marta napisał

29 grudnia 2013 at 16:46

witam mam problem z policzeniem całki z kursu całek nieoznaczonych z lekcji 4 (zadanie domowe nr 15). Proszę o pomoc

Odpowiedz
- Anna Zalewska napisał
  
  12 października 2016 at 22:13
  
  Mamy do obliczenia całkę $integral fraction numerator sin x cos x over denominator square root of 3 sin squared x minus 7 cos squared x end root end fraction d x$ .
  
  Najpierw skorzystamy ze wzoru: $cos squared x equals 1 minus sin squared x$ , aby uprościć nieco wyrażenie pod pierwiastkiem w mianowniku. Następnie zastosujemy kolejno dwa podstawienia.
  
  $integral fraction numerator sin x cos x over denominator square root of 3 sin squared x minus 7 cos squared x end root end fraction d x equals integral fraction numerator sin x cos x over denominator square root of 3 sin squared x minus 7 left parenthesis 1 minus sin squared x right parenthesis end root end fraction d x equals integral fraction numerator sin x cos x over denominator square root of 10 sin squared x minus 7 end root end fraction d x equals$
  
  $equals open vertical bar table row cell sin x equals t end cell row cell cos x d x equals d t end cell end table close vertical bar equals integral fraction numerator t over denominator square root of 10 t squared minus 7 end root end fraction d t equals open vertical bar table row cell 10 t squared minus 7 equals u end cell row cell 20 t space d t equals d u end cell row cell t space d t equals begin inline style 1 over 20 end style d u end cell end table close vertical bar equals integral fraction numerator 1 over denominator square root of u end fraction times 1 over 20 d u equals$
  
  $equals 1 over 20 integral u to the power of negative begin inline style 1 half end style end exponent d u equals 1 over 20 times 2 u to the power of begin inline style 1 half end style end exponent plus C equals 1 over 10 square root of u plus C equals 1 over 10 square root of 10 t squared minus 7 end root plus C equals$
  
  $equals 1 over 10 square root of 10 sin squared x minus 7 end root plus C equals 1 over 10 square root of 3 sin squared x minus 7 cos squared x end root plus C$
  
  Odpowiedz
Maciek napisał

26 stycznia 2014 at 02:00

Witam

Mam problem z taką całką: integral (x^2)*(1+x^2)^(1/2) dx
Czy mogę prosić Pana o jakąś „drobną” wskazówkę?

Pozdrawiam

Odpowiedz
Daniel napisał

5 lutego 2014 at 15:40

Witam. Czy w lekcji 4 o całkach nieoznaczonych (części + podstawienie) gdy jest całka z x cos^2x za u bierze Pan cos^2x a za v’x, można podstawić odwrotnie? Tzn u=x a v’=cos^2x ?

Odpowiedz
- Krystian Karczyński napisał
  
  5 lutego 2014 at 22:35
  
  Można.
  
  Odpowiedz
Czerx napisał

12 marca 2014 at 23:35

Mam całkę 1/dx, ale w kalkulator nie można wpisać dx, więc jest problem……

Odpowiedz
- Krystian Karczyński napisał
  
  13 marca 2014 at 11:16
  
  Coś nie tak z tą całką nie halo, dx nie powinno być w mianowniku…
  
  Odpowiedz
Mariola napisał

13 marca 2014 at 17:42

Witam Panie Krystianie
Mam problem z całką (2x-1)/(x-2)
Dziękuje za pomoc

Odpowiedz
- Joanna Grochowska napisał
  
  3 grudnia 2015 at 14:39
  
  $\displaystyle \int{{\frac{{2x-1}}{{x-2}}}}dx$
  
  Na początku porządkuje wyrażenie pod całką:
  $\displaystyle \frac{{2x-1}}{{x-2}}=\frac{{2(x-2)+3}}{{x-2}}=\frac{{2(x-2)}}{{x-2}}+\frac{3}{{x-2}}=2+\frac{3}{{x-2}}$
  
  Liczę:
  $\displaystyle \int{{\frac{{2x-1}}{{x-2}}}}dx=\int{{\left( {2+\frac{3}{{x-2}}} \right)}}dx=\int{{2dx+\int{{\frac{3}{{x-2}}}}}}dx=2\int{{1dx+3\int{{\frac{1}{{x-2}}}}}}dx=2x+3\ln |x-2|+C$
  
  Wynik drugiej całki otrzymałam licząc przez podstawienie.
  $\displaystyle \int{{\frac{1}{{x-2}}}}dx=\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {t=x-2} \\ {dt=dx} \end{array}} \right|=\int{{\frac{1}{t}}}dt=\ln |t|+C=\ln |x-2|+C$
  
  Odpowiedz
Arek napisał

25 marca 2014 at 22:55

witam, mam problem z całką z zadania domowego z lekcji 4 całek nieoznaczonych, dokładnie chodzi o przykład 15, w którym w mianowniku jest 3sinx^2-7cosx^2 i całosc pod pierwiastkiem. Nie mam pojęcia od czego zacząć tutaj, próbowałem podstawiania ale zapętlałem sie coraz bardziej, prosze o pomoc, pozdrawiam 🙂

Odpowiedz
- Arek napisał
  
  25 marca 2014 at 23:15
  
  to znaczy po kilku przeliczeniach wychodzi mi wynik rozbieżny z tym w odpowiedziach z tym że tyle sieróznie ułamkiem przed całoscia bo mi wychodzi 1/10 a u Pana w odpowiedzi ja mam -1/4, skąd może być ta rozbieżność?
  
  Odpowiedz
  - Krystian Karczyński napisał
    
    26 marca 2014 at 08:52
    
    Tak, tam był kiedyś błąd w odpowiedziach, powinna być 1/10, przepraszam!
    
    Odpowiedz
    - Magdalena napisał
      
      20 kwietnia 2014 at 15:10
      
      Witam. Próbowałam wyliczyć całkę z przykładu 15, ale wychodzą mi całkiem inne wyniki, nie wiem jak się za to zabrać. Czy mógłby ktoś napisać mi jak powinno wyglądać podstawienie?
      
      Odpowiedz
      - Krystian Karczyński napisał
        
        23 kwietnia 2014 at 13:46
        
        Powinno to pójść tak:
        
        $\int{\frac{\sin x\cos x}{\sqrt{3{{\sin }^{2}}x-7{{\cos }^{2}}x}}dx}=\left| \begin{matrix} & t=3{{\sin }^{2}}x-7{{\cos }^{2}}x \\ & dt=6\sin x\cos x-14\cos x\cdot \left( -\sin x \right) \\ & dt=20\sin x\cos xdx \\ & \frac{dt}{20}=\sin x\cos xdx \\ \end{matrix} \right|=$
        
        $=\int{\frac{\tfrac{dt}{20}}{\sqrt{t}}}=\frac{1}{20}\int{\frac{dt}{\sqrt{t}}}=\frac{1}{20}\int{\frac{1}{{{t}^{\tfrac{1}{2}}}}dt}=\frac{1}{20}\int{{{t}^{-\tfrac{1}{2}}}dt}=\frac{1}{20}\cdot \frac{1}{\tfrac{1}{2}}{{t}^{\tfrac{1}{2}}}+C=\frac{1}{20}\cdot 2{{t}^{\tfrac{1}{2}}}+C=$
        
        $=\frac{1}{10}\sqrt{t}+C=\frac{1}{10}\sqrt{3{{\sin }^{2}}x-7{{\cos }^{2}}x}+C$
Jolka Groch napisał

28 marca 2014 at 20:50

Witam, mam problem z całką nr 14 z zadania domowego z lekcji całkowanie przez podstawienie, nie bardzo wiem jakie ma być to podstawienie?

Odpowiedz
- Jolka Groch napisał
  
  2 kwietnia 2014 at 12:31
  
  dokładnie chodzi o x^4(x^2+11)^1/2 dx
  
  Odpowiedz
  - Krystian Karczyński napisał
    
    3 kwietnia 2014 at 09:38
    
    Tam nie ma na początku ${{x}^{4}}$ , tylko jest $x$ pomnożone przez pierwiastek CZWARTEGO stopnia, czyli całka wygląda tak (inaczej zapisana):
    
    $\int{x\cdot \sqrt[4]{4{{x}^{2}}+11}dx}$
    
    🙂
    
    Odpowiedz
    - Jolka Groch napisał
      
      3 kwietnia 2014 at 12:59
      
      a tak się męczyłam, dziękuję bardzo 🙂
      
      Odpowiedz
Natalia napisał

30 marca 2014 at 18:19

Dzień dobry, mam pytanie: jak wyliczyc calke z (lgx)/(x)?? DZIEKUJE

Odpowiedz
- stell94 napisał
  
  17 grudnia 2014 at 19:12
  
  przez podstawienie
  lnx=t
  dt=1/x
  i wtedy masz całkę z tdt czyli (x^2)/2 🙂
  
  Odpowiedz
Asia napisał

17 kwietnia 2014 at 13:51

Witam! 🙂 Czy mogłabym prosić o wskazówkę, jak policzyć całkę przez podstawianie 1/(x^2-2x+2)? 🙂

Odpowiedz
- Krystian Karczyński napisał
  
  29 kwietnia 2014 at 14:02
  
  Witam. Można tak:
  
  $\int{\frac{1}{{{x}^{2}}-2x+2}dx}=\int{\frac{1}{{{x}^{2}}-2x+1+1}dx}=\int{\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+1}dx}=\left| \begin{matrix} & t=x-1 \\ & dt=dx \\ \end{matrix} \right|=$
  
  $\int{\frac{1}{{{t}^{2}}+{{1}^{2}}}=arctgt+C}=arctg\left( x-1 \right)+C$
  
  …ale wszystko tutaj opierało się na sprytnym zauważeniu tego wzoru skróconego mnożenia. Bardziej uniwersalny schemat jest w moim Kursie Całek Nieoznaczonych na Lekcji 5 – zapraszam!
  
  Odpowiedz
Monika napisał

30 maja 2014 at 22:28

Witam 🙂 Mam problem z całką cos^2xsins^2x. proszę o pomoc 🙂 Pozdrawiam

Odpowiedz
- Krystian Karczyński napisał
  
  31 maja 2014 at 15:29
  
  Tutaj akurat da się zastosować taki sprytny „patent”, mianowicie skorzystać z trygonometrycznego wzoru ze średniej $\sin 2x=2\sin x\cos x$ :
  
  $\int{{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}xdx}=\int{{{\left( \sin x\cos x \right)}^{2}}dx}=\int{{{\left( \frac{1}{2}\cdot 2\sin x\cos x \right)}^{2}}dx}=$
  
  $=\int{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}\cdot {{\left( 2\sin x\cos x \right)}^{2}}dx}=\frac{1}{4}\int{{{\left( \sin 2x \right)}^{2}}dx}=\frac{1}{4}\int{{{\sin }^{2}}2xdx}=$
  
  Teraz korzystam z innego trygonometrycznego wzoru ze średniej (przerywając na chwilę liczenie całki):
  
  $\cos 2x={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x$
  
  czyli:
  
  $\cos 4x={{\cos }^{2}}2x-{{\sin }^{2}}2x$
  
  $\cos 4x=1-{{\sin }^{2}}2x-{{\sin }^{2}}2x$
  
  $2{{\sin }^{2}}2x=1-\cos 4x$
  
  ${{\sin }^{2}}2x=\frac{1}{2}\left( 1-\cos 4x \right)$
  
  Mając wyznaczony ${{\sin }^{2}}2x$ wracam się do całki:
  
  $\frac{1}{4}\int{{{\sin }^{2}}2xdx}=\frac{1}{4}\int{\frac{1}{2}\left( 1-\cos 4x \right)dx}=\frac{1}{8}\int{\left( 1-\cos 4x \right)dx}=$
  
  $=\frac{1}{8}\int{dx}-\frac{1}{8}\int{\cos 4xdx}=\frac{1}{8}x-\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{4}\sin 4x+C=\frac{1}{8}x-\frac{1}{32}\sin 4x+C$
  
  Odpowiedz
Emilia napisał

1 czerwca 2014 at 12:48

Witam,
Poproszę o pomoc w rozwiązaniu całki oznaczonej [2,782*(1- exp(-0,125t)*cos(2,5t))]dt w granicach od 0 do 42.
z góry dziękuję 🙂

Odpowiedz
Piotr napisał

3 czerwca 2014 at 11:37

Witam,
Proszę o rozwiązanie dla całki 3/(x^4)

Odpowiedz
- Krystian Karczyński napisał
  
  4 czerwca 2014 at 09:09
  
  $\int{\frac{3}{{{x}^{4}}}dx}=3\int{\frac{1}{{{x}^{4}}}dx}=3\int{{{x}^{-4}}dx}=3\frac{1}{-4+1}{{x}^{-4+1}}+C=3\cdot \frac{1}{-3}{{x}^{-3}}+C=$
  
  $=-\frac{1}{{{x}^{3}}}+C$
  
  Odpowiedz
Rafal napisał

7 czerwca 2014 at 22:46

potrzebuje pomocy z obliczeniem calki xsin4x

Odpowiedz
- Krystian Karczyński napisał
  
  10 czerwca 2014 at 08:59
  
  To pójdzie tak:
  
  $\int{x\sin 4xdx}=\left| \begin{matrix} u=x & {v}'=\sin 4x \\ {u}'=1 & v=-\frac{1}{4}\cos 4x \\ \end{matrix} \right|=$
  
  $=-\frac{1}{4}x\cos 4x-\int{1\cdot \left( -\frac{1}{4}\cos 4x \right)dx}=-\frac{1}{4}x\cos 4x+\frac{1}{4}\int{\cos 4xdx}=$
  
  $=-\frac{1}{4}x\cos 4x+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\sin 4x+C=-\frac{1}{4}x\cos 4x+\frac{1}{16}\sin 4x+C$
  
  Odpowiedz
Kiku napisał

11 czerwca 2014 at 17:50

Krystian jesteś najlepszy! dzięki Tobie zaliczam matme na spokojnie 🙂

Odpowiedz
Piotr napisał

11 czerwca 2014 at 22:41

Mam problem z taką całką:
integral(e^(-2e^x))dx

Kalkulator daje wynik, ale to za mało. Ja pokonany, a zadanie z fizyki stoi :). Proszę o wsparcie.

Odpowiedz
Sylwek napisał

27 czerwca 2014 at 14:35

Witam Panie Krystianie
Mam problem przy rozwiązaniu 9 całki z zadania domowego, dokładnie kurs całki oznaczone, niewłaściwe i zastosowania całek, jest to lekcja 2. Nie wiem co tam źle liczę, ale cały czas wychodzi mi 0, bardzo proszę o pilna pomoc obliczenia tego przykładu,
Pozdrawiam

Odpowiedz
- Anna Zalewska napisał
  
  13 października 2016 at 00:29
  
  Mamy do obliczenia całkę nieoznaczoną $integral subscript negative infinity end subscript superscript plus infinity end superscript fraction numerator 1 over denominator negative x squared plus 2 x minus 3 end fraction d x$ .
  
  Zaczniemy od przekształcenia mianownika do postaci pozwalającej obliczyć tego typu całkę, zgodnie ze schematem obliczania całek wymiernych.
  
  $capital delta equals 2 squared minus 4 times left parenthesis negative 1 right parenthesis times left parenthesis negative 3 right parenthesis equals negative 8 less than 0$
  
  Wielomianu w mianowniku nie da się rozłożyć na czynniki liniowe. Przekształcamy zatem następująco:
  
  $negative x squared plus 2 x minus 3 equals negative left parenthesis x squared minus 2 x plus 3 right parenthesis equals negative left parenthesis x squared minus 2 x plus 1 plus 2 right parenthesis equals negative open square brackets open parentheses x minus 1 close parentheses squared plus 2 close square brackets$
  
  Teraz obliczymy całkę nieoznaczoną zamieniając ją najpierw na sumę dwóch całek.
  
  $integral subscript negative infinity end subscript superscript plus infinity end superscript fraction numerator 1 over denominator negative x squared plus 2 x minus 3 end fraction d x equals integral subscript negative infinity end subscript superscript plus infinity end superscript fraction numerator 1 over denominator negative open square brackets open parentheses x minus 1 close parentheses squared plus 2 close square brackets end fraction d x equals$
  
  $equals integral subscript negative infinity end subscript superscript 0 fraction numerator 1 over denominator negative open square brackets open parentheses x minus 1 close parentheses squared plus 2 close square brackets end fraction d x plus integral subscript 0 superscript plus infinity end superscript fraction numerator 1 over denominator negative open square brackets open parentheses x minus 1 close parentheses squared plus 2 close square brackets end fraction d x equals$
  
  $equals limit as a rightwards arrow negative infinity of integral subscript a superscript 0 fraction numerator negative 1 over denominator open square brackets open parentheses x minus 1 close parentheses squared plus 2 close square brackets end fraction d x plus limit as a rightwards arrow plus infinity of integral subscript 0 superscript a fraction numerator negative 1 over denominator open square brackets open parentheses x minus 1 close parentheses squared plus 2 close square brackets end fraction d x equals$
  
  $equals limit as a rightwards arrow negative infinity of open square brackets right enclose open parentheses negative fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction a r c t g begin inline style fraction numerator x minus 1 over denominator square root of 2 end fraction end style close parentheses end enclose subscript a superscript 0 close square brackets plus limit as a rightwards arrow plus infinity of open square brackets right enclose open parentheses negative fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction a r c t g begin inline style fraction numerator x minus 1 over denominator square root of 2 end fraction end style close parentheses end enclose subscript 0 superscript a close square brackets equals$
  
  $equals limit as a rightwards arrow negative infinity of open parentheses negative fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction a r c t g begin inline style fraction numerator negative 1 over denominator square root of 2 end fraction end style plus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction a r c t g begin inline style fraction numerator a minus 1 over denominator square root of 2 end fraction end style close parentheses plus limit as a rightwards arrow plus infinity of open parentheses negative fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction a r c t g begin inline style fraction numerator a minus 1 over denominator square root of 2 end fraction end style plus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction a r c t g begin inline style fraction numerator negative 1 over denominator square root of 2 end fraction end style close parentheses equals$
  
  $equals negative fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction a r c t g begin inline style fraction numerator negative 1 over denominator square root of 2 end fraction end style plus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction times open parentheses negative pi over 2 close parentheses minus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction times pi over 2 plus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction a r c t g begin inline style fraction numerator negative 1 over denominator square root of 2 end fraction end style equals$
  
  $equals negative fraction numerator pi over denominator 2 square root of 2 end fraction minus fraction numerator pi over denominator 2 square root of 2 end fraction equals negative fraction numerator 2 pi over denominator 2 square root of 2 end fraction equals negative fraction numerator pi over denominator square root of 2 end fraction$
  
  Odpowiedz
Ewa Gorzeń napisał

25 lipca 2014 at 00:54

Witam, czy można prosić o pomoc z całka [ (x^1/2 + 2x) (3-x) ] / x^3 ? poprzez wymnożenie i podział z właściwości całek wychodzi dalej dzielenie przez 0, a kalkulator nie mam pojęcia skąd to policzył. Dzięki z góry

Odpowiedz
- Krystian Karczyński napisał
  
  25 sierpnia 2014 at 15:14
  
  Witam cały przykład krok po kroku pójdzie tak:
  
  $\int{\frac{\left( \sqrt{x}+2x \right)\left( 3-x \right)}{{{x}^{3}}}dx}=\int{\frac{3\sqrt{x}-x\sqrt{x}+6x-2{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}}dx}=$
  
  $=\int{\left( \frac{3\sqrt{x}}{{{x}^{3}}}-\frac{x\sqrt{x}}{{{x}^{3}}}+\frac{6x}{{{x}^{3}}}-\frac{2{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}} \right)dx}=\int{\left( \frac{3{{x}^{\tfrac{1}{2}}}}{{{x}^{3}}}-\frac{{{x}^{\tfrac{3}{2}}}}{{{x}^{3}}}+\frac{6}{{{x}^{2}}}-\frac{2}{x} \right)dx}=$
  
  $=\int{\left( 3{{x}^{-2\tfrac{1}{2}}}-{{x}^{-\tfrac{3}{2}}}+6{{x}^{-2}}-\frac{2}{x} \right)dx}=3\int{{{x}^{-2\tfrac{1}{2}}}dx}-\int{{{x}^{-\tfrac{3}{2}}}dx}+6\int{{{x}^{-2}}dx}-2\int{\frac{1}{x}dx}=$
  
  $=3\frac{1}{-2\tfrac{1}{2}+1}{{x}^{-2\tfrac{1}{2}+2}}-\frac{1}{-\tfrac{3}{2}+1}{{x}^{-\tfrac{3}{2}+1}}+6\frac{1}{-2+1}{{x}^{-2+1}}-2\ln \left| x \right|+C=$
  
  $=3\left( -\frac{2}{3} \right){{x}^{-\tfrac{3}{2}}}+2{{x}^{-\tfrac{1}{2}}}-6{{x}^{-1}}-2\ln \left| x \right|+C=-2{{x}^{-\tfrac{3}{2}}}+2{{x}^{-\tfrac{1}{2}}}-6{{x}^{-1}}-2\ln \left| x \right|+C=$
  
  $=-\frac{2}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}+\frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{6}{x}-2\ln \left| x \right|+C$
  
  Domyślam się, że problem z dzieleniem przez zero wynikł przy okazji liczenia całki $\int{\frac{1}{x}dx}$ . Nie można do niej zastosować wzoru: $\int{{{x}^{n}}dx}=\frac{1}{n+1}{{x}^{n+1}}+C$ .
  
  Ten wzór, co jest zaznaczone we wszystkich wzorach na całki, obowiązuje tylko dla $n\ne 1$ .
  
  Tutaj należy zastosować wzór: $\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left| x \right|+C$ .
  
  Odpowiedz
Aneta napisał

10 sierpnia 2014 at 14:59

Witam, mam problem z całką (zastosowanie całek) opisaną y=1/(sqrt[3](x-1)) x=0 x=9 y=0. Dziękuję z góry za pomoc

Odpowiedz
- Krystian Karczyński napisał
  
  22 sierpnia 2014 at 15:13
  
  Witam,
  
  Mamy ten komfort, że obędzie się bez wykresu. Granice całkowania są z góry dane, x od 0 do 9, czyli mamy:
  
  $\int\limits_{0}^{9}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}$
  
  Całka jest podstępna, bo udaje „zwykłą” oznaczoną, a tak naprawdę jest niewłaściwa. $x=1$ nie należy do dziedziny. Całkę rozbijamy więc na dwie:
  
  $\int\limits_{0}^{9}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}+\int\limits_{1}^{9}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}$
  
  Liczę osobno pierwszą całkę:
  
  $\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}=\underset{\varepsilon \to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{0}^{\varepsilon }{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}=\ldots$
  
  $\int{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}=\left| \begin{matrix} & t=x-1 \\ & dt=dx \\ \end{matrix} \right|=\int{\frac{1}{\sqrt[3]{t}}dt}=\int{{{t}^{-\tfrac{1}{3}}}dt}=\frac{1}{\tfrac{2}{3}}{{t}^{\tfrac{2}{3}}}+C=\frac{3}{2}\sqrt[3]{{{t}^{2}}}+C=\frac{3}{2}\sqrt[3]{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+C$
  
  $\underset{\varepsilon \to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left. \left[ \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} \right] \right|_{0}^{\varepsilon }=\underset{\varepsilon \to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \left[ \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{\left( \varepsilon -1 \right)}^{2}}} \right]-\left[ \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{\left( 0-1 \right)}^{2}}} \right] \right)=\frac{3}{2}\cdot 0-\frac{3}{2}\cdot 1=-\frac{3}{2}$
  
  Potem liczę osobno drugą całkę:
  
  $\int\limits_{1}^{9}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}=\underset{\varepsilon \to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{\varepsilon }^{9}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}=\ldots$
  
  $\underset{\varepsilon \to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left. \left[ \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} \right] \right|_{\varepsilon }^{9}=\underset{\varepsilon \to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \left[ \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{\left( 9-1 \right)}^{2}}} \right]-\left[ \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{\left( \varepsilon -1 \right)}^{2}}} \right] \right)=\frac{3}{2}\cdot 4-\frac{3}{2}\cdot 0=6$
  
  Wracam się do „głównej” całki i mam:
  
  $\int\limits_{0}^{9}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}+\int\limits_{1}^{9}{\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx}=-\frac{3}{2}+6=4\tfrac{1}{2}$
  
  Odpowiedz
natalia napisał

13 sierpnia 2014 at 23:21

Witam ja nie umiem policzyc calki 26 z zadania domowego calki nieoznaczone wstep mecze sie z nia i mecze (x^2-1)/(x-1) mozna prosic o pomoc?

Odpowiedz
- Krystian Karczyński napisał
  
  14 sierpnia 2014 at 11:14
  
  Witam, tak, jasne, proszę bardzo:
  
  $\int{\frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}dx}=\int{\frac{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}{x-1}dx}=\int{\left( x+1 \right)dx}=\int{xdx}+\int{dx}=\frac{1}{2}{{x}^{2}}+x+C$
  
  Odpowiedz
Marika napisał

27 sierpnia 2014 at 15:56

Witam! Panie Krystianie mam problem z taką całką: całka w granicach od -100 do 100 z x^20 arctgx dx.

Odpowiedz
Marika napisał

27 sierpnia 2014 at 16:37

Mam problem z takim działaniem:
całka w granicach od – nieskończoności do 0 z 0 x dx + całka o tych samych granicach z e^x dx. Bardzo proszę o pomoc.

Odpowiedz
Iga napisał

2 września 2014 at 14:20

Witam,
Mam problem z policzeniem całki z zadania domowego:
e^(x^1/3)
Będę wdzięczna za pomoc.
Pozdrawiam

Odpowiedz
- Joanna Grochowska napisał
  
  8 kwietnia 2016 at 13:35
  
  Całka nr 13 z Zadania Domowego Lekcja 4:
  
  $\int {{e}^{{\sqrt[3]{x}}}}~dx=\int {{e}^{{{{x}^{{\frac{1}{3}}}}}}}~dx$
  
  Najpierw stosuję podstawienie:
  
  $\int {{e}^{{{{x}^{{\frac{1}{3}}}}}}}~dx=\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{x}^{{\frac{1}{3}}}}=t} \\ {\frac{1}{3}{{x}^{{-\frac{2}{3}}}}dx=dt~~~/\cdot 3{{x}^{{\frac{2}{3}}}}~~} \\ {dx=3{{x}^{{\frac{1}{3}\cdot 2}}}dt=3{{t}^{2}}dt} \end{array}} \right|=\int 3{{t}^{2}}{{e}^{t}}~dx~~=~~$
  
  Obliczam całkę przez części:
  
  $=3\int {{t}^{2}}\cdot {{e}^{t}}~dx~~=\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {u={{t}^{2}}} & {v'={{e}^{t}}} \\ {u'=2t} & {v={{e}^{t}}} \end{array}} \right|=3\left[ {{{t}^{2}}\cdot {{e}^{t}}-\int 2t\cdot {{e}^{t}}~dx} \right]=3{{t}^{2}}{{e}^{t}}-6\int t\cdot {{e}^{t}}~dx=....$
  
  Ponownie stosując całkowanie przez części rozwiązuję otrzymaną całkę:
  $\int t\cdot {{e}^{t}}~dx~~=\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {u=t} & {v'={{e}^{t}}} \\ {u'=1} & {v={{e}^{t}}} \end{array}} \right|=t\cdot {{e}^{t}}-\int 1\cdot {{e}^{t}}~dx=t{{e}^{t}}-\int {{e}^{t}}~dx=t{{e}^{t}}-{{e}^{t}}~+C$
  
  Wracam do mojej pierwotnej całki:
  
  $....=3{{t}^{2}}{{e}^{t}}-6\left[ {t{{e}^{t}}-{{e}^{t}}~+C} \right]=~3{{t}^{2}}{{e}^{t}}-6t{{e}^{t}}+6{{e}^{t}}~+C~=$
  
  I do postawienia z początku $t={{x}^{{\frac{1}{3}}}}=\sqrt[3]{x}$ , dzięki czemu mam wynik:
  
  $=\mathbf{3}{{\left( {\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{x}}} \right)}^{\mathbf{2}}}{{e}^{{\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{x}}}}}-\mathbf{6}\left( {\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{x}}} \right){{e}^{{\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{x}}}}}+\mathbf{6}{{e}^{{\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{x}}}}}+C$
  
  Odpowiedz
Norbert Turoń napisał

23 października 2014 at 00:00

Witam, mógłby mi ktoś pomóc z całką (2^x)/((1-4^x)^1/2)??

Odpowiedz
Ela napisał

20 listopada 2014 at 12:45

potrzebna mi całka cbrt{0,00027698913*(x^5+3x^4+3x^3+3x^2)}

Odpowiedz
Marta12 napisał

28 listopada 2014 at 14:59

Witam. Mam problem z całką z nr3 z lekcji piątej 🙁 x/(x^2 + 1/2x – 3/16)

Odpowiedz
- Anna Zalewska napisał
  
  12 października 2016 at 01:38
  
  Mamy do obliczenia całkę $integral fraction numerator x over denominator x squared plus 1 half x minus 3 over 16 end fraction d x$ .Zaczniemy od obliczenia miejsc zerowych mianownika. $capital delta equals open parentheses begin inline style 1 half end style close parentheses squared minus 4 times 1 times open parentheses negative begin inline style 3 over 16 end style close parentheses equals begin inline style 1 fourth end style plus begin inline style 3 over 4 end style equals 1$ $square root of capital delta equals 1$ $x subscript 1 equals fraction numerator negative 1 half plus 1 over denominator 2 end fraction equals 1 fourth semicolon space x subscript 2 equals end subscript fraction numerator negative 1 half minus 1 over denominator 2 end fraction equals negative 3 over 4$ Zastosujemy teraz rozkład na ułamki proste: $fraction numerator x over denominator x squared plus 1 half x minus 3 over 16 end fraction equals fraction numerator A over denominator x minus 1 fourth end fraction plus fraction numerator B over denominator x plus 3 over 4 end fraction equals fraction numerator A open parentheses x plus 3 over 4 close parentheses plus B open parentheses x minus 1 fourth close parentheses over denominator open parentheses x minus 1 fourth close parentheses open parentheses x plus 3 over 4 close parentheses end fraction$ $x equals A open parentheses x plus 3 over 4 close parentheses plus B open parentheses x minus 1 fourth close parentheses$ $x equals A x plus 3 over 4 A plus B x minus 1 fourth B$ Porównujemy współczynniki przy odpowiednich potęgach $x$ . $open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell A plus B equals 1 end cell row cell begin inline style 3 over 4 end style A minus begin inline style 1 fourth end style B equals 0 space space space space space divided by times 4 end cell end table close$ $open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell A plus B equals 1 end cell row cell 3 A minus B equals 0 end cell end table close$ $4 A equals 1$ $A equals begin inline style 1 fourth end style semicolon space B equals begin inline style 3 over 4 end style$ Mamy zatem: $integral fraction numerator x over denominator x squared plus 1 half x minus 3 over 16 end fraction d x equals integral open parentheses fraction numerator 1 fourth over denominator x minus 1 fourth end fraction plus fraction numerator 3 over 4 over denominator x plus 3 over 4 end fraction close parentheses d x equals$ $equals 1 fourth integral fraction numerator 1 over denominator x minus 1 fourth end fraction d x plus 3 over 4 integral fraction numerator 1 over denominator x plus 3 over 4 end fraction d x equals equals 1 fourth ln open vertical bar x minus 1 fourth close vertical bar plus 3 over 4 ln open vertical bar x plus 3 over 4 close vertical bar plus C$
  
  Odpowiedz
Przemo napisał

9 stycznia 2015 at 17:06

Mam problem z taką całką √x/(√x-1)

Odpowiedz
- Anna Zalewska napisał
  
  6 października 2016 at 22:45
  
  Całkę $integral fraction numerator square root of x over denominator square root of x minus 1 end fraction d x$ najlepiej scałkować przez podstawienie. $integral fraction numerator square root of x over denominator square root of x minus 1 end fraction d x equals open vertical bar table row cell square root of x equals t end cell row cell x equals t squared end cell row cell d x equals 2 t space d t end cell end table close vertical bar equals integral fraction numerator t over denominator t minus 1 end fraction 2 t space d t equals 2 integral fraction numerator t squared over denominator t minus 1 end fraction d t equals$ $equals 2 integral fraction numerator t squared minus 1 plus 1 over denominator t minus 1 end fraction d t equals 2 integral open parentheses fraction numerator t squared minus 1 over denominator t minus 1 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator t minus 1 end fraction close parentheses d t equals 2 integral open parentheses fraction numerator open parentheses t minus 1 close parentheses open parentheses t plus 1 close parentheses over denominator t minus 1 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator t minus 1 end fraction close parentheses d t equals$ $equals 2 integral open parentheses t plus 1 plus fraction numerator 1 over denominator t minus 1 end fraction close parentheses d t equals 2 open parentheses 1 half t squared plus t plus ln open vertical bar t minus 1 close vertical bar close parentheses plus C equals t squared plus 2 t plus 2 ln open vertical bar t minus 1 close vertical bar plus C equals$ $equals x plus 2 square root of x plus 2 ln open vertical bar square root of x minus 1 close vertical bar plus C$
  
  Odpowiedz
Kasia napisał

29 stycznia 2015 at 17:31

Mam problem z całkami prosiabym o rozwiązanie:
(2x^-1,2+3x^-0,8-5x^0,4)
x+2x^2/pierwiastek 3stopnia z x
x^2*e^4x^3-7
x^3ln

Odpowiedz
- Kasia napisał
  
  29 stycznia 2015 at 17:32
  
  osttania całka ma być
  x^3lnx
  
  Odpowiedz
Żaneta napisał

5 lutego 2015 at 23:41

prosze o pomoc w obliczeniu całki z e^(x^2) dziękuję z góry

Odpowiedz
Peti napisał

8 lutego 2015 at 23:01

Witam

Mam problem z całką z dx/(4 + 3sinx). Zgodnie z poleceniem muszę ją rozwiązać przy pomocy podstawienia tg(x/2) = t. Takim sposobem dochodzę do całki z dt/(2(t^2) + 3t + 2). W tym miejscu zaczynają się problemy, bo w rozwiązaniu jest wynik: (2/(7^1/2))*arctg((4t+3/(7^1/2)). Mi natomiast wychodzi ((7^1/2)/2) * arctg((4t+3/(7^1/2)). Nie mam pojęcia czy to ja robię błąd, czy może podana odpowiedź jest nieprawidłowa. Proszę o pomoc!!

Z góry dzięki wszystkim, pozdrawiam.

Odpowiedz
- Ryhor Abramovich napisał
  
  24 października 2016 at 00:03
  
  $integral fraction numerator d x over denominator 4 plus 3 sin x end fraction$
  
  Rozwiązanie:
  
  $integral fraction numerator d x over denominator 4 plus 3 sin x end fraction equals open vertical bar table row cell t g x over 2 equals t end cell row cell sin x equals fraction numerator 2 t over denominator 1 plus t squared end fraction end cell row cell d x equals fraction numerator 2 d t over denominator 1 plus t squared end fraction end cell end table close vertical bar equals integral fraction numerator begin display style fraction numerator 2 d t over denominator 1 plus t squared end fraction end style over denominator 4 plus 3 times begin display style fraction numerator 2 t over denominator 1 plus t squared end fraction end style end fraction equals$
  
  $equals integral fraction numerator begin display style fraction numerator 2 d t over denominator 1 plus t squared end fraction end style over denominator begin display style fraction numerator 4 times open parentheses 1 plus t squared close parentheses plus 3 times 2 t over denominator 1 plus t squared end fraction end style end fraction equals integral fraction numerator 2 d t over denominator 1 plus t squared end fraction times fraction numerator 1 plus t squared over denominator 4 plus 4 t squared plus 6 t end fraction equals integral fraction numerator 2 d t over denominator 4 t squared plus 6 t plus 4 end fraction equals$
  
  $integral fraction numerator d t over denominator 2 t squared plus 3 t plus 2 end fraction equals 1 half integral fraction numerator d t over denominator t squared plus begin display style 3 over 2 end style t plus 1 end fraction equals 1 half integral fraction numerator d t over denominator open parentheses t plus begin display style 3 over 4 end style close parentheses squared minus begin display style 9 over 16 end style plus 1 end fraction equals$
  
  $1 half integral fraction numerator d t over denominator open parentheses t plus begin display style 3 over 4 end style close parentheses squared plus begin display style 7 over 16 end style end fraction equals open vertical bar table row cell t plus 3 over 4 equals u end cell row cell d t equals d u end cell end table close vertical bar equals 1 half integral fraction numerator d u over denominator u squared plus begin display style 7 over 16 end style end fraction equals$
  
  $equals 1 half integral fraction numerator d u over denominator u squared plus open parentheses begin display style fraction numerator square root of 7 over denominator 4 end fraction end style close parentheses squared end fraction equals 1 half times fraction numerator 1 over denominator begin display style fraction numerator square root of 7 over denominator 4 end fraction end style end fraction times a r c t g fraction numerator u over denominator begin display style fraction numerator square root of 7 over denominator 4 end fraction end style end fraction plus C equals$
  
  $equals fraction numerator 2 over denominator square root of 7 end fraction times a r c t g fraction numerator 4 u over denominator square root of 7 end fraction plus C equals fraction numerator 2 over denominator square root of 7 end fraction times a r c t g fraction numerator 4 times open parentheses t plus begin display style 3 over 4 end style close parentheses over denominator square root of 7 end fraction plus C equals$
  
  $fraction numerator 2 over denominator square root of 7 end fraction times a r c t g fraction numerator 4 t plus 3 over denominator square root of 7 end fraction plus C equals fraction numerator 2 over denominator square root of 7 end fraction times a r c t g fraction numerator 4 times t g begin display style x over 2 end style plus 3 over denominator square root of 7 end fraction plus C$
  
  Odpowiedz
Ala napisał

12 lutego 2015 at 20:18

Mam problem z rozwiązaniem całki z 1 lekcji przykład 18 z zadania domowego: 4-x^2/x√x , mogę prosić o pomoc w rozwiazaniu ?

Odpowiedz
- Anna Zalewska napisał
  
  12 października 2016 at 01:19
  
  Zastosujemy całkowanie przez podstawienie. Można ułatwić sobie podnosząc obustronnie $square root of x equals t$ do kwadratu. $integral fraction numerator 4 minus x squared over denominator x square root of x end fraction d x equals open vertical bar table row cell square root of x equals t end cell row cell x equals t squared end cell row cell d x equals 2 t space d t end cell end table close vertical bar equals integral fraction numerator 4 minus t to the power of 4 over denominator t cubed end fraction times 2 t space d t equals$ $equals 2 integral fraction numerator 4 t minus t to the power of 5 over denominator t cubed end fraction d t equals 2 integral fraction numerator 4 t over denominator t cubed end fraction d t minus 2 integral t to the power of 5 over t cubed d t equals 8 integral 1 over t squared d t minus 2 integral t squared d t equals$ $equals 8 times open parentheses negative t to the power of negative 1 end exponent close parentheses minus 2 times begin inline style 1 third end style t cubed plus C equals negative 8 open parentheses x to the power of begin inline style 1 half end style end exponent close parentheses to the power of negative 1 end exponent minus begin inline style 2 over 3 end style open parentheses x to the power of begin inline style 1 half end style end exponent close parentheses cubed plus C equals$ $equals negative 8 x to the power of negative begin inline style 1 half end style end exponent minus begin inline style 2 over 3 end style x to the power of begin inline style 3 over 2 end style end exponent plus C$
  
  Odpowiedz
Agata Hopko napisał

20 lutego 2015 at 17:41

mam problem : oblicz funkcje pierwotna f(x)=ln(x+1)

Odpowiedz
- Anna Zalewska napisał
  
  14 października 2016 at 16:09
  
  $integral ln open parentheses x plus 1 close parentheses d x$
  
  Zastosujemy tu całkowanie przez części.
  
  $integral ln open parentheses x plus 1 close parentheses d x equals integral ln open parentheses x plus 1 close parentheses times 1 d x equals open vertical bar table row cell u equals ln open parentheses x plus 1 close parentheses end cell cell v apostrophe equals 1 end cell row cell u apostrophe equals fraction numerator 1 over denominator x plus 1 end fraction end cell cell v equals x end cell end table close vertical bar equals$
  
  $equals x times ln open parentheses x plus 1 close parentheses minus integral fraction numerator x over denominator x plus 1 end fraction d x equals x times ln open parentheses x plus 1 close parentheses minus integral fraction numerator x plus 1 minus 1 over denominator x plus 1 end fraction d x equals$
  
  $equals x times ln open parentheses x plus 1 close parentheses minus integral open parentheses 1 minus fraction numerator 1 over denominator x plus 1 end fraction close parentheses d x equals x times ln open parentheses x plus 1 close parentheses minus x plus ln open parentheses x plus 1 close parentheses plus C equals$
  
  $equals open parentheses x plus 1 close parentheses times ln open parentheses x plus 1 close parentheses minus x plus C$
  
  Odpowiedz
Agnieszka napisał

5 kwietnia 2015 at 20:46

mam problem z taką całką: a^-x dx. Mógłbyś mi pomóc, nie korzystajac z Wolframa?

Odpowiedz
- Ryhor Abramovich napisał
  
  20 października 2016 at 02:11
  
  $integral a to the power of negative x end exponent d x$
  
  Rozwiązanie:
  
  Liczymy to przez podstawienie:
  
  $integral a to the power of negative x end exponent d x equals open square brackets table row cell t equals negative x end cell row cell d t equals negative d x end cell row cell negative d t equals d x end cell end table close square brackets equals integral a to the power of t open parentheses negative d t close parentheses equals negative integral a to the power of t d t equals negative fraction numerator a to the power of t over denominator ln a end fraction plus C equals negative fraction numerator a to the power of negative x end exponent over denominator ln a end fraction plus C$
  
  Np, dla a=2 mamy:
  
  $integral 2 to the power of negative x end exponent d x equals negative fraction numerator 2 to the power of negative x end exponent over denominator ln 2 end fraction plus C equals negative fraction numerator 1 over denominator 2 to the power of x times ln 2 end fraction plus C$
  
  Odpowiedz
Adam napisał

18 kwietnia 2015 at 14:51

Nie mogę rozwiązać przykładu 21 z zadania domowego całek nieoznaczonych wymiernych, czyli
(8x^3)/(x+1)^4.
Proszę o pomoc

Odpowiedz
- Adam napisał
  
  18 kwietnia 2015 at 19:23
  
  dobra, nieważne. Juz zrobilem 😀
  
  Odpowiedz
  - Anna Zalewska napisał
    
    14 października 2016 at 14:32
    
    Mamy do obliczenia następującą całkę: $integral fraction numerator 8 x cubed over denominator left parenthesis x plus 1 right parenthesis to the power of 4 end fraction d x$ .
    
    Zastosujemy tutaj rozkład na ułamki proste.
    
    $fraction numerator 8 x cubed over denominator left parenthesis x plus 1 right parenthesis to the power of 4 end fraction equals fraction numerator A over denominator x plus 1 end fraction plus B over open parentheses x plus 1 close parentheses squared plus C over open parentheses x plus 1 close parentheses cubed plus D over open parentheses x plus 1 close parentheses to the power of 4$
    
    $fraction numerator 8 x cubed over denominator left parenthesis x plus 1 right parenthesis to the power of 4 end fraction equals fraction numerator A left parenthesis x plus 1 right parenthesis cubed plus B open parentheses x plus 1 close parentheses squared plus C left parenthesis x plus 1 right parenthesis plus D over denominator open parentheses x plus 1 close parentheses to the power of 4 end fraction$ $8 x cubed equals A x cubed plus 3 A x squared plus 3 A x plus A plus B x squared plus 2 B x plus B plus C x plus C plus D$
    
    $A equals 8$
    
    $3 A plus B equals 0 comma space space space space space space space B equals negative 24$
    
    $3 A plus 2 B plus C equals 0 comma space space space space space C equals 24$
    
    $A plus B plus C plus D equals 0 comma space space space space space D equals negative 8$
    
    $fraction numerator 8 x cubed over denominator left parenthesis x plus 1 right parenthesis to the power of 4 end fraction equals fraction numerator 8 over denominator x plus 1 end fraction plus fraction numerator negative 24 over denominator open parentheses x plus 1 close parentheses squared end fraction plus 24 over open parentheses x plus 1 close parentheses cubed plus fraction numerator negative 8 over denominator open parentheses x plus 1 close parentheses to the power of 4 end fraction$
    
    $integral fraction numerator 8 x cubed over denominator left parenthesis x plus 1 right parenthesis to the power of 4 end fraction d x equals integral fraction numerator 8 over denominator x plus 1 end fraction d x plus integral fraction numerator negative 24 over denominator open parentheses x plus 1 close parentheses squared end fraction d x plus integral 24 over open parentheses x plus 1 close parentheses cubed d x plus integral fraction numerator negative 8 over denominator open parentheses x plus 1 close parentheses to the power of 4 end fraction d x equals$
    
    $equals 8 ln open vertical bar x plus 1 close vertical bar minus 24 times open parentheses negative fraction numerator 1 over denominator x plus 1 end fraction close parentheses plus 24 times open parentheses negative 1 half times 1 over open parentheses x plus 1 close parentheses squared close parentheses minus 8 times open parentheses negative 1 third times 1 over open parentheses x plus 1 close parentheses cubed close parentheses plus C equals$
    
    $equals 8 ln open vertical bar x plus 1 close vertical bar plus fraction numerator 24 over denominator x plus 1 end fraction minus 12 over open parentheses x plus 1 close parentheses squared plus fraction numerator 8 over denominator 3 open parentheses x plus 1 close parentheses cubed end fraction plus C equals$
    
    $equals 8 ln open vertical bar x plus 1 close vertical bar plus fraction numerator 24 times 3 times open parentheses x plus 1 close parentheses squared minus 12 times 3 times left parenthesis x plus 1 right parenthesis plus 8 over denominator 3 open parentheses x plus 1 close parentheses cubed end fraction plus C equals$
    
    $equals 8 ln open vertical bar x plus 1 close vertical bar plus fraction numerator 72 x squared plus 144 x plus 72 minus 36 x minus 36 plus 8 over denominator 3 open parentheses x plus 1 close parentheses cubed end fraction plus C equals$
    
    $equals 8 ln open vertical bar x plus 1 close vertical bar plus fraction numerator 72 x squared plus 108 x plus 44 over denominator 3 open parentheses x plus 1 close parentheses cubed end fraction plus C equals$
    
    Odpowiedz
ŁK napisał

16 maja 2015 at 14:37

Cześć jak byś miał chwile i rozpisał mi jak rozwiązać całkę z xcos(5x) , liczę juz 3 strony i końca nie widać.

Odpowiedz
- Anna Zalewska napisał
  
  12 października 2016 at 00:03
  
  Zastosujemy tu całkowanie przez części: $integral x space cos left parenthesis 5 x right parenthesis space d x equals open vertical bar table row cell u equals x end cell cell v apostrophe equals cos left parenthesis 5 x right parenthesis end cell row cell u apostrophe equals 1 end cell cell v equals begin inline style 1 fifth end style sin left parenthesis 5 x right parenthesis end cell end table close vertical bar equals begin inline style 1 fifth end style x space sin left parenthesis 5 x right parenthesis minus integral begin inline style open square brackets 1 fifth sin left parenthesis 5 x right parenthesis close square brackets end style d x equals$ $equals begin inline style 1 fifth end style x space sin left parenthesis 5 x right parenthesis minus begin inline style 1 fifth end style begin inline style open square brackets negative 1 fifth cos left parenthesis 5 x right parenthesis close square brackets end style plus C equals begin inline style 1 fifth end style begin inline style x end style begin inline style space end style begin inline style sin end style begin inline style left parenthesis end style begin inline style 5 end style begin inline style x end style begin inline style right parenthesis end style begin inline style plus end style begin inline style 1 over 25 end style begin inline style c os left parenthesis 5 x right parenthesis end style begin inline style plus end style begin inline style C end style$ Zauważmy, że $integral cos left parenthesis 5 x right parenthesis d x equals begin inline style 1 fifth end style sin left parenthesis 5 x right parenthesis plus C$ oraz $integral sin left parenthesis 5 x right parenthesis d x equals negative begin inline style 1 fifth end style cos left parenthesis 5 x right parenthesis plus C$ . Można to wykazać stosując całkowanie przez podstawienie.
  
  Odpowiedz
magda napisał

28 czerwca 2015 at 17:41

Witam Panie Krystianie! mam problem z jedną całką a mianowicie (1+e^x)^(1/2) proszę o pomoc w środę mam egzamin.

Odpowiedz
- Anna Zalewska napisał
  
  12 października 2016 at 01:05
  
  Zastosujemy tu całkowanie przez podstawienie wraz z pewnymi przekształceniami: $integral square root of 1 plus e to the power of x end root d x equals open vertical bar table row cell square root of 1 plus e to the power of x end root equals t end cell row cell 1 plus e to the power of x equals t squared end cell row cell e to the power of x equals t squared minus 1 end cell end table close vertical bar open vertical bar table row cell e to the power of x d x equals 2 t space d t end cell row cell open parentheses t squared minus 1 close parentheses d x equals 2 t space d t end cell row cell d x equals fraction numerator 2 t over denominator t squared minus 1 end fraction d t end cell end table close vertical bar equals integral t times fraction numerator 2 t over denominator t squared minus 1 end fraction d t equals$ $equals 2 integral fraction numerator t squared over denominator t squared minus 1 end fraction d t equals 2 integral fraction numerator t squared minus 1 plus 1 over denominator t squared minus 1 end fraction d t equals 2 integral open parentheses fraction numerator t squared minus 1 over denominator t squared minus 1 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator t squared minus 1 end fraction close parentheses d t equals$ $equals 2 integral open parentheses 1 plus fraction numerator 1 over denominator t squared minus 1 end fraction close parentheses d t equals 2 integral 1 d t plus 2 integral fraction numerator 1 over denominator t squared minus 1 end fraction d t equals 2 t plus 2 times begin inline style 1 half end style ln open vertical bar fraction numerator t minus 1 over denominator t plus 1 end fraction close vertical bar plus C equals$ $equals 2 t plus ln open vertical bar fraction numerator t minus 1 over denominator t plus 1 end fraction close vertical bar plus C equals 2 square root of 1 plus e to the power of x end root plus ln open vertical bar fraction numerator square root of 1 plus e to the power of x end root minus 1 over denominator square root of 1 plus e to the power of x end root plus 1 end fraction close vertical bar plus C$ Wynik w kalkulatorze wychodzi w postaci: $integral square root of 1 plus e to the power of x end root d x equals 2 square root of 1 plus e to the power of x end root minus 2 tan h to the power of negative 1 end exponent open parentheses square root of 1 plus e to the power of x end root close parentheses plus C$ Po zastosowaniu wzoru $tan h to the power of negative 1 end exponent x equals begin inline style 1 half end style ln fraction numerator 1 plus x over denominator 1 minus x end fraction semicolon space minus 1 less than x less than 1$ wynik z kalkulatora całek zgadza się z tym przedstawionym powyżej.
  
  Odpowiedz
Mateusz napisał

3 września 2015 at 12:57

Witam. mam do policzenia objętość bryły. Mam obliczyć objętość bryły utworzonych przez obrót dookoła osi OX krzywych: y=1-x^2 i y=x^2+2.

Odpowiedz
zolty pawel napisał

2 stycznia 2016 at 15:01

Wydaje mi się ze kalkulator zle liczy calki z f wymiernych. np takie integral 1/((x^2+1)(x^2+4))
wychodzi mi (1/3) arctgx +(-1/6) arctg(x/2) przy czym kalkulator daje mi w wyniku 2/x
sprawdzałem w wolframie wszystko i rozbicie na ulamki proste i pojedyncze calki z tych ulamkow i suma ich była rozna niż calka z całej f wymiennej. Jakies wskazówki? Dziekuje 😉

Odpowiedz
- Ryhor Abramovich napisał
  
  24 października 2016 at 00:35
  
  $integral fraction numerator d x over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses open parentheses x squared plus 4 close parentheses end fraction$
  
  Rozwiązanie:
  
  Najpierw przedstawiamy ten ułamek jako sumę ułamków prostych:
  
  $fraction numerator 1 over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses open parentheses x squared plus 4 close parentheses end fraction equals fraction numerator A x plus B over denominator x squared plus 1 end fraction plus fraction numerator C x plus D over denominator x squared plus 4 end fraction space divided by times open parentheses x squared plus 1 close parentheses open parentheses x squared plus 4 close parentheses$
  
  $1 equals open parentheses A x plus B close parentheses open parentheses x squared plus 4 close parentheses plus open parentheses C x plus D close parentheses open parentheses x squared plus 1 close parentheses$
  
  $1 equals A x cubed plus 4 A x plus B x squared plus 4 B plus C x cubed plus C x plus D x squared plus D$
  
  $1 equals open parentheses A plus C close parentheses x cubed plus open parentheses B plus D close parentheses x squared plus open parentheses 4 A plus C close parentheses x plus open parentheses 4 B plus D close parentheses$
  
  $open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell A plus C equals 0 end cell row cell B plus D equals 0 end cell row cell 4 A plus C equals 0 end cell row cell 4 B plus D equals 1 end cell end table close$
  
  Odejmując od trzeciego równania pierwsze, otrzymamy: $3 A equals 0$ , czyli $A equals 0$ . Podstawiając ten wynik do pierwszego równania, mamy $C equals 0$ . Analogiczne, odejmując od czwarztego równania drugie, mamy $3 B equals 1$ . Stąd $B equals 1 third comma space D equals negative 1 third$ .
  
  W takim razie,
  
  $fraction numerator 1 over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses open parentheses x squared plus 4 close parentheses end fraction equals fraction numerator A x plus B over denominator x squared plus 1 end fraction plus fraction numerator C x plus D over denominator x squared plus 4 end fraction equals fraction numerator 0 times x plus begin display style 1 third end style over denominator x squared plus 1 end fraction plus fraction numerator 0 times x minus begin display style 1 third end style over denominator x squared plus 4 end fraction equals$
  
  $1 third times fraction numerator 1 over denominator x squared plus 1 end fraction minus 1 third times fraction numerator 1 over denominator x squared plus 4 end fraction$
  
  (Oczywiście, ten samy wynik można było otrzymać szybciej w sposób trochę stuczny:
  
  $fraction numerator 1 over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses open parentheses x squared plus 4 close parentheses end fraction equals 1 third times fraction numerator 3 over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses open parentheses x squared plus 4 close parentheses end fraction equals 1 third times fraction numerator open parentheses x squared plus 4 close parentheses minus open parentheses x squared plus 1 close parentheses over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses open parentheses x squared plus 4 close parentheses end fraction equals$
  
  $equals 1 third times open parentheses fraction numerator 1 over denominator x squared plus 1 end fraction minus fraction numerator 1 over denominator x squared plus 4 end fraction close parentheses equals 1 third times fraction numerator 1 over denominator x squared plus 1 end fraction minus 1 third times fraction numerator 1 over denominator x squared plus 4 end fraction$ )
  
  Wracamy do całki i liczymy ją, korzystając ze wzoru:
  
  $integral fraction numerator d x over denominator x squared plus a squared end fraction equals 1 over a times a r c t g x over a plus C$
  
  Mamy:
  
  $integral fraction numerator d x over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses open parentheses x squared plus 4 close parentheses end fraction equals integral open parentheses 1 third times fraction numerator 1 over denominator x squared plus 1 end fraction minus 1 third times fraction numerator 1 over denominator x squared plus 4 end fraction close parentheses d x equals$
  
  $equals 1 third integral fraction numerator d x over denominator x squared plus 1 squared end fraction minus 1 third integral fraction numerator d x over denominator x squared plus 2 squared end fraction equals 1 third times 1 over 1 times a r c t g x over 1 minus 1 third times 1 half times a r c t g x over 2 plus C equals$
  
  $1 third a r c t g x minus 1 over 6 a r c t g x over 2 plus C$
  
  Odpowiedz
bół napisał

12 stycznia 2016 at 19:24

zapis w kalkulatorze calek log(x) to jest logarytm naturalny czy dziesiętny??

Odpowiedz
- Joanna Grochowska napisał
  
  13 stycznia 2016 at 09:00
  
  log(x) oznaczany jest przez WolframAlpha jako logarytm naturalny.
  Logarytm przy podstawie dziesiętnej to log_10(x) .
  
  Odpowiedz
  - BÓŁ napisał
    
    13 stycznia 2016 at 21:04
    
    dzieki
    
    Odpowiedz
damian napisał

14 stycznia 2016 at 22:26

witam mam do rozwiązania dwie calki:)
1 calka to : ln^2x/x
2 calka to: (x^2-2)/(x^2+1)

Odpowiedz
- damian napisał
  
  14 stycznia 2016 at 22:31
  
  czy ktoś pomoze?
  
  Odpowiedz
- Joanna Grochowska napisał
  
  29 lutego 2016 at 11:06
  
  Całka pierwsza: $\displaystyle \int{{\frac{{{{{\ln }}^{2}}x}}{x}}}dx$
  
  $\displaystyle \int{{\frac{{{{{\ln }}^{2}}x}}{x}}}dx=\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {t=\ln x} \\ {dt=\frac{1}{x}dx} \end{array}} \right|=\int{{{{t}^{2}}}}dt=\frac{1}{3}{{t}^{3}}+C=\frac{1}{3}{{\ln }^{3}}x+C$
  
  Odpowiedz
- Joanna Grochowska napisał
  
  29 lutego 2016 at 11:12
  
  Całka druga: $\displaystyle \int{{\frac{{{{x}^{2}}-2}}{{{{x}^{2}}+1}}}}dx$
  
  $\displaystyle \int{{\frac{{{{x}^{2}}-2}}{{{{x}^{2}}+1}}}}dx=\int{{\frac{{{{x}^{2}}+1-3}}{{{{x}^{2}}+1}}}}dx=\int{{\left( {\frac{{{{x}^{2}}+1}}{{{{x}^{2}}+1}}-\frac{3}{{{{x}^{2}}+1}}} \right)}}dx=$
  $\displaystyle =\int{{1dx-3\int{{\frac{1}{{{{x}^{2}}+1}}}}}}dx=x-3\cdot arctgx+C$
  
  Odpowiedz
TS napisał

11 lutego 2016 at 12:14

Witam czy mógłby ktoś mi pomoc z rozwiazaniem całki x^3ln(x^2+3)

Odpowiedz
- Joanna Grochowska napisał
  
  12 lutego 2016 at 10:36
  
  $\displaystyle \int{{{{x}^{3}}ln({{x}^{2}}+3)dx}}$
  
  Całkuję przez części:
  $\displaystyle \begin{array}{l}\int{{{{x}^{3}}ln({{x}^{2}}+3)dx}}=\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {u=\ln ({{x}^{2}}+3)} & {v'={{x}^{3}}} \\ {u'=\frac{1}{{{{x}^{2}}+3}}\cdot 2x} & {v=\frac{1}{4}{{x}^{4}}} \end{array}} \right|=\frac{1}{4}{{x}^{4}}\ln ({{x}^{2}}+3)-\int{{\frac{1}{4}{{x}^{4}}}}\cdot \frac{{2x}}{{{{x}^{2}}+3}}dx=\\=\frac{1}{4}{{x}^{4}}\ln ({{x}^{2}}+3)-\frac{1}{2}\int{{\frac{{{{x}^{5}}}}{{{{x}^{2}}+3}}}}dx=...\end{array}$
  
  Rozpisuję na boku całkę:
  $\displaystyle \int{{\frac{{{{x}^{5}}}}{{{{x}^{2}}+3}}}}dx=\int{{\frac{{{{x}^{4}}\cdot x}}{{{{x}^{2}}+3}}}}dx=\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {t={{x}^{2}}} \\ {dt=2xdx} \\ {\frac{1}{2}dt=xdx} \end{array}} \right|=\int{{\frac{1}{2}\frac{{{{t}^{2}}}}{{t+3}}}}dt=\frac{1}{2}\int{{\frac{{{{t}^{2}}}}{{t+3}}}}dt=$
  
  Dzielę licznik przez mianownik:
  $\displaystyle \begin{array}{l}\overset{{}}{\mathop{{}}}\,\underline{{t-3\overset{{}}{\mathop{{}}}\,}}\\\overset{{}}{\mathop{{}}}\,{{t}^{2}}\overset{{}}{\mathop{{}}}\,:(t+3)\\\underline{{-{{t}^{2}}-3t}}\\\overset{{}}{\mathop{{}}}\,\overset{{}}{\mathop{{}}}\,\overset{{}}{\mathop{{}}}\,-3t\\\underset{{}}{\mathop{{}}}\,\underset{{}}{\mathop{{}}}\,\underset{{}}{\mathop{{}}}\,\underset{{}}{\mathop{{}}}\,\underline{{3t+9}}\\\underset{{}}{\mathop{{}}}\,\underset{{}}{\mathop{{}}}\,\underset{{}}{\mathop{{}}}\,\underset{{}}{\mathop{{}}}\,\underset{{}}{\mathop{{}}}\,\underset{{}}{\mathop{{}}}\,9\end{array}$
  
  Wracając:
  $\displaystyle \begin{array}{l}=\frac{1}{2}\int{{\frac{{{{t}^{2}}}}{{t+3}}}}dt=\frac{1}{2}\int{{\frac{{(t+3)(t-3)+9}}{{t+3}}}}dt=\frac{1}{2}\int{{\left( {\frac{{(t+3)(t-3)}}{{t+3}}+\frac{9}{{t+3}}} \right)}}dt=\frac{1}{2}\int{{\left( {t-3+\frac{9}{{t+3}}} \right)}}dt=\\\frac{1}{2}\left( {\int{{tdt-}}\int{{3dt}}+\int{{\frac{9}{{t+3}}}}dt} \right)=\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}{{t}^{2}}-3t+9\ln |t+3|+C} \right)=\frac{1}{4}{{x}^{4}}-\frac{3}{2}{{x}^{2}}+\frac{9}{2}\ln |{{x}^{2}}+3|+C\end{array}$
  
  Bo jedna z całek została obliczona przez podstawienie
  $\displaystyle \int{{\frac{9}{{t+3}}}}dt=9\int{{\frac{1}{{t+3}}}}dt=\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {u=t+3} \\ {du=dt} \end{array}} \right|=9\int{{\frac{1}{u}}}du=9\ln |u|+C=9\ln |t+3|+C$
  
  Mam więc ostatecznie:
  $\displaystyle \begin{array}{l}...=\frac{1}{4}{{x}^{4}}\ln ({{x}^{2}}+3)-\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{4}{{x}^{4}}-\frac{3}{2}{{x}^{2}}+\frac{9}{2}\ln |{{x}^{2}}+3|+C} \right)=\\\frac{1}{4}{{x}^{4}}\ln ({{x}^{2}}+3)-\frac{1}{8}{{x}^{4}}+\frac{3}{4}{{x}^{2}}-\frac{9}{4}\ln |{{x}^{2}}+3|+C=\\\frac{1}{8}\left( {\left( {2{{x}^{4}}-18} \right)\ln ({{x}^{2}}+3)-{{x}^{2}}\left( {{{x}^{2}}-6} \right)} \right)+C\end{array}$
  
  Odpowiedz
moltoallegro napisał

13 lutego 2016 at 17:31

pan jest boski <3

Odpowiedz
FlyingBa napisał

15 lutego 2016 at 21:51

mam Problem z całką cosx/(sin^3x+sinx) czy byłby mi ktoś w stanie pomóc? Proszę

Odpowiedz
- Anna Zalewska napisał
  
  13 października 2016 at 14:54
  
  $integral fraction numerator cos x over denominator sin cubed x plus sin x end fraction d x equals open vertical bar table row cell sin x equals t end cell row cell cos x space d x equals d t end cell end table close vertical bar equals integral fraction numerator 1 over denominator t cubed plus t end fraction d t$
  
  Wyznaczymy teraz rozkład na ułamki proste wyrażenia pod całką:
  
  $fraction numerator 1 over denominator t cubed plus t end fraction equals fraction numerator 1 over denominator t open parentheses t squared plus 1 close parentheses end fraction equals A over t plus fraction numerator B t plus C over denominator t squared plus 1 end fraction$
  
  $fraction numerator 1 over denominator t cubed plus t end fraction equals fraction numerator A t squared plus A plus B t squared plus C t over denominator t open parentheses t squared plus 1 close parentheses end fraction$
  
  $1 equals A t squared plus A plus B t squared plus C t$
  
  $open curly brackets table row cell A plus B equals 0 end cell row cell C equals 0 end cell row cell A equals 1 end cell end table close$
  
  $open curly brackets table row cell A equals 1 end cell row cell B equals negative 1 end cell row cell C equals 0 end cell end table close$
  
  $fraction numerator 1 over denominator t cubed plus t end fraction equals 1 over t plus fraction numerator negative t over denominator t squared plus 1 end fraction$
  
  $integral fraction numerator 1 over denominator t cubed plus t end fraction d t equals integral open parentheses 1 over t plus fraction numerator negative t over denominator t squared plus 1 end fraction close parentheses d t equals integral 1 over t d t minus integral fraction numerator t over denominator t squared plus 1 end fraction d t equals$
  
  $equals open vertical bar table row cell t squared plus 1 equals u end cell row cell 2 t space d t equals d u end cell row cell t space d t equals begin inline style 1 half end style d u end cell end table close vertical bar equals ln open vertical bar t close vertical bar minus begin inline style 1 half end style integral 1 over u d u equals ln open vertical bar t close vertical bar minus begin inline style 1 half end style ln open vertical bar u close vertical bar plus C equals$
  
  $equals ln open vertical bar t close vertical bar minus begin inline style 1 half end style ln open vertical bar t squared plus 1 close vertical bar plus C equals ln open vertical bar sin x close vertical bar minus begin inline style 1 half end style ln open vertical bar sin squared x plus 1 close vertical bar plus C$
  
  W kalkulatorze całek wychodzi wynik: $ln open vertical bar sin x close vertical bar minus begin inline style 1 half end style ln open vertical bar 3 minus cos open parentheses 2 x close parentheses close vertical bar plus C$
  
  Oba te wyniki są ze sobą tożsame. Można dokonać następujących przekształceń:
  
  $ln open vertical bar sin x close vertical bar minus begin inline style 1 half end style ln open vertical bar 3 minus cos open parentheses 2 x close parentheses close vertical bar plus C equals ln open vertical bar sin x close vertical bar minus begin inline style 1 half end style ln open vertical bar 3 minus left parenthesis 1 minus 2 sin squared x right parenthesis close vertical bar plus C equals$
  
  $equals ln open vertical bar sin x close vertical bar minus begin inline style 1 half end style ln open vertical bar 2 sin squared x plus 2 close vertical bar plus C equals ln open vertical bar sin x close vertical bar minus begin inline style 1 half end style ln open vertical bar 2 open parentheses sin squared x plus 1 close parentheses close vertical bar plus C equals$
  
  $equals ln open vertical bar sin x close vertical bar minus begin inline style 1 half end style ln open vertical bar 2 close vertical bar minus begin inline style 1 half end style ln open vertical bar sin squared x plus 1 close vertical bar plus C equals ln open vertical bar sin x close vertical bar minus begin inline style 1 half end style ln open vertical bar sin squared x plus 1 close vertical bar plus C subscript 1$ ,
  
  gdzie $C subscript 1 equals negative begin inline style 1 half end style ln open vertical bar 2 close vertical bar plus C$ .
  
  Odpowiedz
Budowniczy napisał

6 kwietnia 2016 at 19:24

Witam. Proszę o pomoc z trudną dość całką.
(1/x)*sinx Chodzi mi o wartości w punktach pi/2 oraz 0 (dla x=0 jak się nie mylę jest 0)

Odpowiedz
Karolina Reszka napisał

22 sierpnia 2016 at 00:14

Witam, bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu całki z (x^4 – 1)/(x-1) dx.
Z góry bardzo dziękuję 🙂

Odpowiedz
- Joanna Grochowska napisał
  
  30 września 2016 at 14:04
  
  Tę całkę wymierną $integral subscript blank fraction numerator x to the power of 4 minus 1 over denominator x minus 1 end fraction d x$ można rozwiązać w ten sposób:
  
  Odpowiedz
Kinga napisał

25 sierpnia 2016 at 15:36

Witam, prosze o pomoc w rozwiązaniu zadania 17 z lekcji 2 z całek nieoznaczonych. sin(2 x^1/2)/x^1-2 dx

Odpowiedz
- Anna Zalewska napisał
  
  12 października 2016 at 00:37
  
  Zastosujemy tu całkowanie przez podstawienie: $integral fraction numerator sin open parentheses 2 square root of x close parentheses over denominator square root of x end fraction d x equals open vertical bar table row cell 2 square root of x equals t end cell row cell 2 times fraction numerator 1 over denominator 2 square root of x end fraction d x equals d t end cell row cell fraction numerator 1 over denominator square root of x end fraction d x equals d t end cell end table close vertical bar equals integral sin t space d t equals negative cos t plus C equals negative cos open parentheses 2 square root of x close parentheses plus C$
  
  Odpowiedz
Szymon napisał

28 października 2016 at 15:01

Witam, bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu całki z (1 + (2*sinx*cosx)^2)^(1/2) dx

Odpowiedz
Mateusz napisał

30 grudnia 2016 at 16:41

Witam, mam problem z przeliczeniem całki $integral fraction numerator cos open parentheses x close parentheses cubed over denominator sin open parentheses x close parentheses cubed end fraction$ . Proszę o pomoc 🙂

Odpowiedz
- Ryhor Abramovich napisał
  
  18 stycznia 2017 at 23:03
  
  Wersja 1.
  
  $integral fraction numerator cos cubed x over denominator sin cubed x end fraction d x equals integral fraction numerator cos squared x times cos x over denominator sin cubed x end fraction d x equals integral fraction numerator open parentheses 1 minus sin squared x close parentheses cos x over denominator sin cubed x end fraction d x equals$ $open vertical bar table row cell sin x equals t end cell row cell cos x d x equals d t end cell end table close vertical bar equals$
  
  $integral fraction numerator 1 minus t squared over denominator t cubed end fraction d t equals integral 1 over t cubed d t minus integral t squared over t cubed d t equals integral t to the power of negative 3 end exponent d t minus integral fraction numerator d t over denominator t end fraction equals$ $fraction numerator t to the power of negative 3 plus 1 end exponent over denominator negative 3 plus 1 end fraction minus ln open vertical bar t close vertical bar plus C equals$
  
  $fraction numerator t to the power of negative 2 end exponent over denominator negative 2 end fraction minus ln open vertical bar sin x close vertical bar plus C equals negative fraction numerator 1 over denominator 2 sin squared x end fraction minus ln open vertical bar sin x close vertical bar plus C$
  
  Odpowiedz
- Ryhor Abramovich napisał
  
  18 stycznia 2017 at 23:12
  
  Wersja 2.
  
  $integral fraction numerator cos open parentheses x cubed close parentheses over denominator sin open parentheses x cubed close parentheses end fraction d x$
  
  Tej całki nie da się rozwiązać w funkcjach znanych.
  
  Odpowiedz
Kasia napisał

3 stycznia 2017 at 18:49

Proszę o pomoc 🙁 całka z 2^x*sin3x dx

Odpowiedz
- Ryhor Abramovich napisał
  
  18 stycznia 2017 at 22:54
  
  $integral 2 to the power of x times sin 3 x d x equals open square brackets integral u times v apostrophe d x equals u times v minus integral v times u apostrophe d x close square brackets equals open vertical bar table row cell u equals 2 to the power of x end cell cell u apostrophe equals 2 to the power of x times ln 2 d x end cell row cell v apostrophe equals sin 3 x d x end cell cell v equals negative 1 third cos 3 x end cell end table close vertical bar equals$
  
  $open square brackets t u colon space integral sin 3 x d x equals open vertical bar table row cell 3 x equals t end cell row cell 3 d x equals d t end cell row cell d x equals fraction numerator d t over denominator 3 end fraction end cell end table close vertical bar equals integral sin t times fraction numerator d t over denominator 3 end fraction equals 1 third integral sin t d t equals 1 third times open parentheses negative cos t close parentheses equals negative 1 third cos 3 x close square brackets$
  
  $equals 2 to the power of x times open parentheses negative 1 third cos 3 x close parentheses minus integral negative 1 third cos 3 x times 2 to the power of x times ln 2 d x equals$
  
  $negative 1 third times 2 to the power of x times cos 3 x plus 1 third ln 2 times integral 2 to the power of x times cos 3 x d x equals$
  
  $negative 1 third times 2 to the power of x times cos 3 x plus open vertical bar table row cell u equals 2 to the power of x end cell cell u apostrophe equals 2 to the power of x times ln 2 d x end cell row cell v apostrophe equals cos 3 x d x end cell cell v equals 1 third sin 3 x end cell end table close vertical bar plus 1 third ln 2 times 2 to the power of x times 1 third sin 3 x minus$
  
  $negative 1 third ln 2 times integral 1 third sin 3 x times 2 to the power of x times ln 2 d x equals$ $negative 1 third times 2 to the power of x times cos 3 x plus 1 over 9 ln 2 times 2 to the power of x times sin 3 x minus$
  
  $negative 1 over 9 ln squared 2 times integral 2 to the power of x times sin 3 x d x$
  
  Niech $integral 2 to the power of x times sin 3 x d x equals T.$ Wtedy
  
  $T equals negative 1 third times 2 to the power of x times cos 3 x plus 1 over 9 ln 2 times 2 to the power of x times sin 3 x minus 1 over 9 ln squared 2 times T$ . Stąd:
  
  $T plus 1 over 9 ln squared 2 times T equals negative 1 third times 2 to the power of x times cos 3 x plus 1 over 9 ln 2 times 2 to the power of x times sin 3 x space divided by times 9$
  
  $9 T plus ln squared 2 times T equals negative 3 times 2 to the power of x times cos 3 x plus ln 2 times 2 to the power of x times sin 3 x space rightwards double arrow$
  
  $T times open parentheses 9 plus ln squared 2 close parentheses equals 2 to the power of x times open parentheses negative 3 cos 3 x plus ln 2 times sin 3 x close parentheses space rightwards double arrow$
  
  $T equals fraction numerator 2 to the power of x times open parentheses negative 3 cos 3 x plus ln 2 times sin 3 x close parentheses over denominator 9 plus ln squared 2 end fraction space rightwards double arrow$
  
  $integral 2 to the power of x times sin 3 x d x equals fraction numerator negative 3 cos 3 x plus ln 2 times sin 3 x over denominator 9 plus ln squared 2 end fraction times 2 to the power of x plus C$
  
  Odpowiedz
patryk napisał

5 stycznia 2017 at 20:59

witam, mam problem z całkami : 1 ) $integral fraction numerator ln x over denominator x hat 2 end fraction d x space$ 2 ) $integral fraction numerator 3 x cubed over denominator x to the power of 4 plus 1 end fraction$ dx 3 ) $integral fraction numerator cos left parenthesis ln x right parenthesis over denominator x end fraction d x$ 4 ) $integral fraction numerator d x over denominator 2 square root of 5 x plus 3 end root end fraction$ BARDZO PROSZĘ O POMOC !!!! 🙂

Odpowiedz
- Mateusz napisał
  
  15 stycznia 2017 at 18:00
  
  1) $open square brackets table row cell f left parenthesis x right parenthesis equals ln x end cell cell f apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals 1 over x end cell row cell g apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals 1 over x squared end cell cell g left parenthesis x right parenthesis equals negative 1 over x end cell end table close square brackets equals negative fraction numerator ln x over denominator x end fraction plus integral 1 over x squared d x space equals space minus fraction numerator ln x over denominator x end fraction minus 1 over x plus c equals negative fraction numerator left parenthesis ln x plus 1 right parenthesis over denominator x end fraction plus c$ 2) $open vertical bar table row cell u equals x to the power of 4 plus 1 end cell row cell d u equals 4 x cubed d x end cell end table close vertical bar equals integral fraction numerator 3 x cubed over denominator u end fraction asterisk times fraction numerator d u over denominator 4 x cubed end fraction equals integral fraction numerator 3 d u over denominator 4 u end fraction equals 3 over 4 integral fraction numerator d u over denominator u end fraction equals 3 over 4 ln vertical line u vertical line plus c equals 3 over 4 ln vertical line x to the power of 4 plus 1 vertical line space plus c space equals space 3 over 4 ln left parenthesis x to the power of 4 plus 1 right parenthesis plus c$ 4) $1 half integral fraction numerator d x over denominator square root of 5 x plus 3 end root end fraction equals open vertical bar table row cell u equals 5 x space plus 3 end cell row cell d u equals 5 d x end cell end table close vertical bar equals 1 half integral fraction numerator 1 over denominator square root of u end fraction asterisk times fraction numerator d u over denominator 5 end fraction equals 1 over 10 integral u to the power of negative 1 half end exponent d u equals 1 over 10 asterisk times 2 asterisk times square root of u plus c equals 1 fifth square root of 5 x plus 3 end root plus c$
  
  Odpowiedz
- Joanna Grochowska napisał
  
  18 stycznia 2017 at 10:51
  
  3) $integral fraction numerator cos left parenthesis ln x right parenthesis over denominator x end fraction d x equals integral cos left parenthesis ln x right parenthesis times 1 over x d x space equals space open vertical bar table row cell ln x equals t end cell row cell 1 over x d x equals d t end cell end table close vertical bar equals integral cos left parenthesis t right parenthesis d t space equals equals space sin left parenthesis t right parenthesis plus C space equals space sin left parenthesis ln x right parenthesis plus C$
  
  Odpowiedz
Mateusz napisał

15 stycznia 2017 at 17:36

Mam problem z całką oznaczoną i m.in. równaniami z nimi nie wiem jak się za nie zabrać proszę o wsparcie $integral subscript square root of 2 end subscript superscript x fraction numerator 1 over denominator t square root of t squared minus 1 end root end fraction d t space equals space straight pi over 12$

Odpowiedz
- Kamil Kocot napisał
  
  20 stycznia 2017 at 13:09
  
  Na początku oczywiście należy wyliczyć podaną całkę. Można to zrobić przez podstawienie
  
  $table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell integral fraction numerator 1 over denominator t square root of t squared minus 1 end root end fraction d t end cell equals cell open vertical bar table row cell bold italic t to the power of bold 2 bold minus bold 1 bold equals bold italic s to the power of bold 2 rightwards double arrow t squared equals s squared plus 1 rightwards double arrow t equals square root of s squared plus 1 end root end cell row cell t equals square root of s squared plus 1 end root rightwards double arrow bold italic d bold italic t equals fraction numerator 1 over denominator 2 square root of straight s squared plus 1 end root end fraction times 2 straight s space ds equals fraction numerator bold s over denominator square root of bold s to the power of bold 2 bold plus bold 1 end root end fraction bold italic d bold italic s end cell end table close vertical bar end cell row blank equals cell integral fraction numerator 1 over denominator square root of s squared plus 1 end root square root of bold italic s to the power of bold 2 end root end fraction fraction numerator bold s over denominator square root of bold s to the power of bold 2 bold plus bold 1 end root end fraction bold italic d bold italic s end cell row blank blank blank row blank equals cell integral fraction numerator d s over denominator s squared plus 1 end fraction equals a r c t g left parenthesis s right parenthesis plus C equals open vertical bar bold italic t to the power of bold 2 bold minus bold 1 bold equals bold italic s to the power of bold 2 rightwards double arrow s equals square root of t squared minus 1 end root close vertical bar end cell row blank equals cell a r c t g open parentheses square root of t squared minus 1 end root close parentheses plus C end cell row blank blank blank end table$
  
  Dalej powracamy do całki oznaczonej
  
  $integral subscript square root of 2 end subscript superscript x fraction numerator 1 over denominator t square root of t squared minus 1 end root end fraction d t equals table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open square brackets a r c t g open parentheses square root of t squared minus 1 end root close parentheses close square brackets end cell end table subscript square root of 2 end subscript superscript x equals table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank a end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank r end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank c end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank t end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank g end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses square root of x squared minus 1 end root close parentheses end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank minus end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank a end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank r end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank c end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank t end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank g end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses square root of open parentheses square root of 2 close parentheses squared minus 1 end root close parentheses end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank a end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank r end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank c end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank t end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank g end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses square root of x squared minus 1 end root close parentheses end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank minus end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank a end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank r end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank c end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank t end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank g end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses 1 close parentheses end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank a end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank r end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank c end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank t end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank g end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses square root of x squared minus 1 end root close parentheses end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank minus end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell straight pi over 4 end cell end table$
  
  gdzie w ostatniej równości skorzystano z faktu, że $a r c t g left parenthesis 1 right parenthesis equals straight pi over 4 space b o space t g open parentheses straight pi over 4 close parentheses equals 1$ .
  
  Tym samy równanie
  
  $integral subscript square root of 2 end subscript superscript x fraction numerator 1 over denominator t square root of t squared minus 1 end root end fraction d t equals table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell straight pi over 12 end cell end table$
  
  sprowadzamy do postaci
  
  $table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank a end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank r end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank c end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank t end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank g end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses square root of x squared minus 1 end root close parentheses end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank minus end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell straight pi over 4 end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell straight pi over 12 end cell end table$ .
  
  Rozwiązując dostaniemy
  
  $table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank a end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank r end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank c end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank t end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank g end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses square root of x squared minus 1 end root close parentheses end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank minus end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell straight pi over 4 end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell straight pi over 12 end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank a end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank r end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank c end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank t end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank g end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses square root of x squared minus 1 end root close parentheses end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell straight pi over 3 end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank space end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank divided by end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank t end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank g end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell square root of x squared minus 1 end root end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank t end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank g end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell straight pi over 3 end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell square root of x squared minus 1 end root end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell square root of 3 end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank x end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell blank squared end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank minus end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank 1 end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank 3 end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank space end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank x end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank plus-or-minus end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank 2 end table$
  
  Odpowiedz
XXX napisał

16 stycznia 2017 at 15:31

$integral fraction numerator 2 to the power of x space asterisk times space 3 to the power of x over denominator 9 to the power of x space plus space 2 to the power of x end fraction d x space$ Czy ktoś ma pomysł jak się za to zabrać, muszę znać takie całki do Egzaminu

Odpowiedz
- Kamil Kocot napisał
  
  20 stycznia 2017 at 12:38
  
  Witam
  
  Czy aby na pewno o taką całkę chodzi? W tej postaci nawet Wolfram wyrzuca, że nie można jej policzyć metodami elementarnymi.
  
  Pozdrawiam
  
  Odpowiedz
Anna napisał

16 stycznia 2017 at 19:53

Witam! Jak mam wpisać pierwiastek TRZECIEJ potęgi? Potrzebuję całkę z 3x^4 + 4*pierwiastek z 3 potęgi z x + sqrt( x) / x Serdecznie dziękuję

Odpowiedz
- Joanna Grochowska napisał
  
  18 stycznia 2017 at 09:25
  
  Pierwiastek trzeciego stopnia najlepiej wpisywać z potęgą ułamkową, tzn
  
  $cube root of x equals x to the power of 1 third end exponent equals left parenthesis x right parenthesis hat 1 divided by 3$
  
  Czyli w Pani przypadku liczona całka to:
  3x^4 + 4*(x)^1/3 + sqrt( x) / x
  
  Odpowiedz
  - Ryhor Abramovich napisał
    
    18 stycznia 2017 at 21:40
    
    Wersja 1.
    
    $integral open parentheses 3 x to the power of 4 plus 4 cube root of x plus fraction numerator square root of x over denominator x end fraction close parentheses d x equals integral 3 x to the power of 4 d x plus integral 4 cube root of x d x plus integral fraction numerator 1 over denominator square root of x end fraction d x equals$
    
    $3 integral x to the power of 4 d x plus 4 integral x to the power of 1 third end exponent d x plus integral x to the power of negative 1 half end exponent d x equals$
    
    $3 times fraction numerator x to the power of 4 plus 1 end exponent over denominator 4 plus 1 end fraction plus 4 times fraction numerator x to the power of begin display style 1 third end style plus 1 end exponent over denominator begin display style 1 third end style plus 1 end fraction plus fraction numerator x to the power of negative begin display style 1 half end style plus 1 end exponent over denominator negative begin display style 1 half end style plus 1 end fraction plus C equals$
    
    $3 times x to the power of 5 over 5 plus 4 times fraction numerator x to the power of begin display style 4 over 3 end style end exponent over denominator begin display style 4 over 3 end style end fraction plus fraction numerator x to the power of begin display style 1 half end style end exponent over denominator begin display style 1 half end style end fraction plus C equals$ $3 over 5 x to the power of 5 plus 3 x to the power of 4 over 3 end exponent plus 2 x to the power of 1 half end exponent plus C equals$
    
    $3 over 5 x to the power of 5 plus 3 cube root of x to the power of 4 end root plus 2 square root of x plus C$
    
    Odpowiedz
    - Ryhor Abramovich napisał
      
      18 stycznia 2017 at 22:24
      
      Wersja 2.
      
      $integral fraction numerator 3 x to the power of 4 plus 4 cube root of x plus square root of x over denominator x end fraction d x equals$
      
      $integral fraction numerator 3 x to the power of 4 over denominator x end fraction d x plus integral fraction numerator 4 cube root of x over denominator x end fraction d x plus integral fraction numerator square root of x over denominator x end fraction d x equals$
      
      $integral 3 x cubed d x plus integral fraction numerator 4 over denominator cube root of x squared end root end fraction d x plus integral fraction numerator 1 over denominator square root of x end fraction d x equals$
      
      $3 integral x cubed d x plus 4 integral x to the power of negative 2 over 3 end exponent d x plus integral x to the power of negative 1 half end exponent d x equals$
      
      $3 times fraction numerator x to the power of 3 plus 1 end exponent over denominator 3 plus 1 end fraction plus 4 times fraction numerator x to the power of negative begin display style 2 over 3 end style plus 1 end exponent over denominator negative begin display style 2 over 3 end style plus 1 end fraction plus fraction numerator x to the power of negative begin display style 1 half end style plus 1 end exponent over denominator negative begin display style 1 half end style plus 1 end fraction plus C equals$
      
      $3 times x to the power of 4 over 4 plus 4 times fraction numerator x to the power of begin display style 1 third end style end exponent over denominator begin display style 1 third end style end fraction plus fraction numerator x to the power of begin display style 1 half end style end exponent over denominator begin display style 1 half end style end fraction plus C equals$
      
      $3 over 4 x to the power of 4 plus 12 cube root of x plus 2 square root of x plus C$
      
      Odpowiedz
kaaaa napisał

17 stycznia 2017 at 16:04

a najprostrza całka: (5+7x-3x^2)dx? 🙁

Odpowiedz
- Joanna Grochowska napisał
  
  18 stycznia 2017 at 09:21
  
  Tutaj wystarczy rozbić to na sumę 3 całek i wykorzystać podstawowe wzory:
  
  $integral a x d x equals a times integral x d x$ , $integral 1 d x equals x plus C$ oraz $integral x to the power of n d x equals fraction numerator 1 over denominator n plus 1 end fraction x to the power of n plus 1 end exponent plus C$
  
  Stąd:
  
  $integral left parenthesis 5 plus 7 x minus 3 x squared right parenthesis d x equals integral 5 space d x plus integral 7 x space d x minus integral 3 x squared space d x equals equals 5 integral 1 space d x plus 7 integral x d x minus 3 integral x squared space d x equals equals 5 x plus 7 times 1 half x squared minus 3 times 1 third x cubed space plus C equals bold 5 bold italic x bold plus bold 7 over bold 2 bold italic x to the power of bold 2 bold minus bold italic x to the power of bold 3 bold space bold plus bold italic C$
  
  Odpowiedz
Marlena napisał

19 stycznia 2017 at 20:44

Witam, proszę o pomoc w wyliczeniu jednej całki: $integral open parentheses fraction numerator x squared minus 1 over denominator open parentheses x plus 1 close parentheses open parentheses x squared plus 1 close parentheses end fraction close parentheses$

Odpowiedz
- Joanna Grochowska napisał
  
  3 lutego 2017 at 19:37
  
  Proszę bardzo, tutaj rozwiązanie tej całeczki: 🙂
  
  Odpowiedz
Mateusz napisał

28 stycznia 2017 at 12:26

Proszę o pomoc część już zrobiłem ale potem się zatrzymałem $integral fraction numerator a r c t g x over denominator x squared end fraction equals open vertical bar table row cell f left parenthesis x right parenthesis space equals space a r c t g x end cell cell f apostrophe left parenthesis x right parenthesis space equals space fraction numerator 1 over denominator 1 plus x squared end fraction end cell row cell g apostrophe left parenthesis x right parenthesis space equals space 1 over x squared end cell cell g left parenthesis x right parenthesis space equals space minus 1 over x end cell end table close vertical bar equals negative fraction numerator a r c t g x over denominator x end fraction plus integral fraction numerator 1 over denominator x left parenthesis 1 plus x squared right parenthesis end fraction d x$ Nie mogę rozgryźć tej całki ostatniej. Z góry dzięki

Odpowiedz
- Mateusz napisał
  
  28 stycznia 2017 at 12:44
  
  Już rozwiązałem 🙂
  
  Odpowiedz
Ola napisał

31 stycznia 2017 at 23:00

Witam mam problem z całką 1/x(x^2-2)^1/2 dx. Jak ją rozwiązać?

Odpowiedz
Ola napisał

2 lutego 2017 at 18:17

$integral x square root of 2 minus x squared end root x d$ Błagam o pomoc .. xC

Odpowiedz
- klim napisał
  
  5 lutego 2017 at 16:34
  
  t=2-x^2dt=2xdxdt/2=xdx
  
  Odpowiedz
Popek napisał

6 lutego 2017 at 00:12

$integral fraction numerator d x over denominator cos cubed x end fraction$ Ktoś pomoże?

Odpowiedz
adek napisał

6 lutego 2017 at 04:58

Witam,jak rozwinąć całkę od A (x^2)dA ?

Odpowiedz
Maciej napisał

6 lutego 2017 at 17:59

Witam mam pytanie jak obliczyc calke x^2/(3x^2-6)^(1/3)

Odpowiedz
Terazka napisał

8 lutego 2017 at 07:28

Dzień dobry 🙂 Wstałam jaki sposób obliczyć całkę z (1+x)^x

Odpowiedz
Maja Szczęsna napisał

9 lutego 2017 at 22:27

Dzień dobry…. bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu całki …:cosx/(sinx^3+sinx^2)… 🙁

Odpowiedz
Piotr napisał

22 lutego 2017 at 23:50

Proszę o rozpisanie tych całek są to przykłady z kursu pana Krystiana. Piszę ponieważ nie mogę ich rozgryźć i dojść do zgodności z wynikiem końcowym.Całka nieoznaczona $integral open parentheses 4 minus 2 x close parentheses squared x d x$ całka nieoznaczona przez podstawianie $integral fraction numerator ln to the power of 4 x over denominator x end fraction d x$ , $integral fraction numerator x cubed over denominator 1 plus x to the power of 8 end fraction d x$ , $integral fraction numerator 2 to the power of x over denominator square root of 1 minus 4 to the power of x end root end fraction$ Za pomoc z góry dziękuję i pozdrawiam

Odpowiedz
- ewcia5665 napisał
  
  7 marca 2017 at 14:26
  
  $integral left parenthesis 4 minus 2 x right parenthesis squared equals space integral left parenthesis 16 minus 16 x plus 4 x squared right parenthesis space x space d x equals space integral left parenthesis 16 x minus 16 x squared plus 4 x cubed right parenthesis d x equals space integral 16 x d x minus integral 16 x squared d x space plus integral 4 x cubed d x equals space 16 integral x space d x minus 16 integral x to the power of 2 space end exponent d x plus 4 integral x to the power of 3 to the power of blank end exponent d x equals 16 asterisk times space 1 divided by 2 space x squared minus space 16 asterisk times 1 divided by 3 space x to the power of 3 space end exponent plus 4 asterisk times space 1 divided by 4 space x to the power of 4 equals space 8 x squared minus 16 divided by 3 x cubed plus x to the power of 4$
  
  Odpowiedz
- Joanna Grochowska napisał
  
  15 marca 2017 at 15:10
  
  Pozostałe całki:
  
  20) $integral fraction numerator ln to the power of 4 x over denominator x end fraction d x equals integral ln to the power of 4 x times 1 over x d x equals open vertical bar table row cell ln x equals t end cell row cell 1 over x d x equals d t end cell end table close vertical bar equals integral t to the power of 4 space d t equals 1 fifth t to the power of 5 plus C equals 1 fifth ln to the power of 5 x plus C$
  
  25) $integral fraction numerator x cubed over denominator 1 plus x to the power of 8 end fraction d x equals integral fraction numerator x cubed over denominator 1 plus open parentheses x to the power of 4 close parentheses squared end fraction d x equals open vertical bar table row cell x to the power of 4 equals t end cell row cell 4 x cubed d x equals d t end cell row cell x cubed d x equals 1 fourth d t end cell end table close vertical bar equals integral 1 fourth fraction numerator 1 over denominator 1 plus t squared end fraction d t equals$ $equals 1 fourth integral fraction numerator 1 over denominator 1 plus t squared end fraction d t equals 1 fourth a r c t g left parenthesis t right parenthesis plus C equals 1 fourth a r c t g left parenthesis x to the power of 4 right parenthesis plus C$
  
  26) $integral fraction numerator 2 to the power of x over denominator square root of 1 minus 4 to the power of x end root end fraction d x equals integral fraction numerator 2 to the power of x over denominator square root of 1 minus open parentheses 2 squared close parentheses to the power of x end root end fraction d x equals integral fraction numerator 2 to the power of x over denominator square root of 1 minus open parentheses 2 to the power of x close parentheses squared end root end fraction d x equals open vertical bar table row cell 2 to the power of x equals t end cell row cell 2 to the power of x ln 2 space d x equals d t end cell row cell 2 to the power of x d x equals fraction numerator 1 over denominator ln 2 end fraction d t end cell end table close vertical bar equals$
  $integral fraction numerator 1 over denominator square root of 1 minus t squared end root end fraction fraction numerator 1 over denominator ln 2 end fraction d t equals fraction numerator 1 over denominator ln 2 end fraction integral fraction numerator 1 over denominator square root of 1 minus t squared end root end fraction d t equals fraction numerator 1 over denominator ln 2 end fraction a r c sin t plus C equals fraction numerator 1 over denominator ln 2 end fraction a r c sin open parentheses 2 to the power of x close parentheses plus C$
  
  Odpowiedz
ewcia5665 napisał

7 marca 2017 at 14:18

pomocy całka 4^x/2^x

Odpowiedz
- Joanna Grochowska napisał
  
  15 marca 2017 at 15:18
  
  Tutaj wyjdzie ostatecznie prosta całka, trzeba tylko na samym początku dokonać kilku przekształceń:
  
  $integral 4 to the power of x over 2 to the power of x d x equals integral open parentheses 2 squared close parentheses to the power of x over 2 to the power of x d x equals integral open parentheses 2 to the power of x close parentheses squared over 2 to the power of x d x equals integral 2 to the power of x space d x equals fraction numerator 2 to the power of x over denominator ln 2 end fraction plus C$
  
  Odpowiedz
Sylwia napisał

22 marca 2017 at 18:01

Jak obliczyć całkę: 5x^2-6x+12/x^4-2x^3+4x^2

Odpowiedz
Sylwia napisał

22 marca 2017 at 18:09

Przez podstawienie: całka x^2/ $square root of 4 minus x hat 6 end root$ dx

Odpowiedz
Sylwia napisał

22 marca 2017 at 18:11

Całka przez podstawienie : sin2x/ $square root of 3 minus sin to the power of 4 x end root$

Odpowiedz
BBB napisał

26 marca 2017 at 18:58

Witam, mam problem z całką (x^2)(sinx)^2 z zadania domowego nr 10 z lekcji 4. Wynik wychodzi mi podobny ale na końcu zamiast -(1/4)xcox2x+(1/8)sin2x mam -(1/2)xcos2x+(1/4)sin2x, tak jakbym coś zgubił po drodze, a liczyłem kilka razy i ciągle ten sam wynik. Ktoś coś?

Odpowiedz
Patryk napisał

15 kwietnia 2017 at 18:01

Dzień dobry,mam problem z całką z funkcji $fraction numerator 1 over denominator 1 minus begin display style x over c end style end fraction$ gdzie c to pewna stała. Wynik który wychodzi z kalkulatora to $negative c space ln open parentheses c minus v close parentheses$ Natomiast książka z książki od mechaniki, wynosi on $negative c ln open parentheses 1 minus x over c close parentheses$ Czy istnieje jakiś sposób na doprowadzenie z jednego wzoru do drugiego i ja tego nie widzę? Gdzie jest błąd?

Odpowiedz
Mirek napisał

22 kwietnia 2017 at 09:31

Czy ktoś ma pomysł jak rozwiązać poniższą całkę? Męczę się już dość długo z nią i wszystkie pomysły na jej rozwiązanie doprowadzają mnie do ślepego zaułku. $integral open parentheses r squared over 2 a sin open parentheses fraction numerator x over denominator open vertical bar r close vertical bar end fraction close parentheses plus x over 2 square root of r squared minus x squared end root close parentheses cross times e to the power of negative x end exponent d x space space space g d z i e space r greater than 0 space i space r equals c o n s t l u b space p r o ś c i e j integral open parentheses a sin open parentheses x close parentheses plus x square root of 1 squared minus x squared end root close parentheses cross times e to the power of negative x end exponent d x$

Odpowiedz
Całka246 napisał

22 czerwca 2017 at 11:05

Dzien dobry, mam problem z rozwiązaniem poniższej całki… Nie mam kompletnie pomysłu jak się za to zabrać, próbowałam przez części jak i przed podstawienie, ale niestety do nieczego mądrego nie doszłam… $integral subscript 1 superscript infinity fraction numerator x squared over denominator square root of x to the power of 7 plus 3 x plus 1 end root end fraction d x$

Odpowiedz
Marlena napisał

30 czerwca 2017 at 09:46

co oznacza ei

Odpowiedz
Kuba napisał

24 listopada 2017 at 21:06

Witam, posiadam całkę(cos(x/5))/((sin^8(x/5)jak ją obliczyć metodą przez podstawianie t= sin(x/5)

Odpowiedz
Wera napisał

18 grudnia 2017 at 00:13

A pomoże ktoś w takiej całeczce: ln(2x+3)/2x+3

Odpowiedz
- Joanna Grochowska napisał
  
  12 października 2018 at 11:07
  
  Całka $integral fraction numerator ln left parenthesis 2 x plus 3 right parenthesis over denominator 2 x plus 3 end fraction$ pójdzie tak (przez „podwójne” podstawienie):
  
  $integral fraction numerator ln left parenthesis 2 x plus 3 right parenthesis over denominator 2 x plus 3 end fraction d x equals open vertical bar table row cell 2 x plus 3 equals t end cell row cell 2 space d x equals d t end cell row cell d x equals 1 half d t end cell end table close vertical bar space equals space integral fraction numerator ln left parenthesis t right parenthesis over denominator t end fraction times 1 half d t space equals space 1 half integral ln left parenthesis t right parenthesis times 1 over t d t space equals equals open vertical bar table row cell l n left parenthesis t right parenthesis equals u end cell row cell 1 over t d t equals d u end cell end table close vertical bar space equals space 1 half integral u space d u space equals space 1 half times 1 half u squared plus C space equals space space 1 fourth u squared plus C space equals space equals space 1 fourth open square brackets l n left parenthesis t right parenthesis close square brackets space squared plus C space equals space space 1 fourth l n squared left parenthesis t right parenthesis space plus C space equals space bold 1 over bold 4 bold italic l bold italic n to the power of bold 2 bold left parenthesis bold 2 bold italic x bold plus bold 3 bold right parenthesis bold space bold plus bold italic C$
  
  Odpowiedz
Filipides napisał

18 grudnia 2017 at 14:59

a co z taką całką? Całka: 2x/(x-1)^8 dx ?

Odpowiedz
- Joanna Grochowska napisał
  
  28 września 2018 at 09:28
  
  Ta całka pójdzie tak: $integral fraction numerator 2 x over denominator left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 8 end fraction d x equals 2 times integral fraction numerator x over denominator left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 8 end fraction d x space equals space...$
  
  rozbijam ułamek na sumę dwóch ułamków. Na dole jest aż 8 potęga, ja nie potrzebuję rozbijać na osiem kolejnych ułamków, gdzie w mianowniku będą kolejne potęgi wyrażenia (x-1)… Wystarczy że zejdę tylko o JEDEN stopień niżej, ponieważ w liczniku jest tylko „x” (postać liniowa wielomianu, x w pierwszej potędze), czyli:
  
  $fraction numerator x over denominator left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 8 end fraction equals fraction numerator A over denominator left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 7 end fraction plus fraction numerator B over denominator left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 8 end fraction space space space space space space space space divided by times left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 8$
  
  $x space equals space A open parentheses x minus 1 close parentheses space plus space B$
  
  $x space equals space A x minus A space plus space B$
  
  $open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell A equals 1 end cell row cell negative A plus B equals 0 end cell end table close space rightwards double arrow space space space space open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell A equals 1 end cell row cell B equals 1 end cell end table close$
  
  $fraction numerator x over denominator left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 8 end fraction equals fraction numerator 1 over denominator left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 7 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 8 end fraction$
  
  $... equals 2 times integral open square brackets fraction numerator 1 over denominator left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 7 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 8 end fraction close square brackets d x equals 2 integral fraction numerator 1 over denominator left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 7 end fraction d x plus 2 integral fraction numerator 1 over denominator left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 8 end fraction d x equals$
  
  Każdą z całek liczę na boku, przez podstawienie:
  
  $integral fraction numerator 1 over denominator left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 7 end fraction d x equals open vertical bar table row cell x minus 1 equals t end cell row cell d x equals d t end cell end table close vertical bar equals integral 1 over t to the power of 7 d t equals integral t to the power of negative 7 end exponent d t equals fraction numerator 1 over denominator negative 7 plus 1 end fraction t to the power of negative 7 plus 1 end exponent plus C equals negative 1 over 6 t to the power of negative 6 end exponent plus C equals negative fraction numerator 1 over denominator 6 left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 6 end fraction plus C$
  
  $integral fraction numerator 1 over denominator left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 8 end fraction d x equals open vertical bar table row cell x minus 1 equals s end cell row cell d x equals d s end cell end table close vertical bar equals integral 1 over s to the power of 8 d s equals integral t to the power of negative 8 end exponent d s equals fraction numerator 1 over denominator negative 8 plus 1 end fraction s to the power of negative 8 plus 1 end exponent plus C equals negative 1 over 7 s to the power of negative 7 end exponent plus C equals negative fraction numerator 1 over denominator 7 left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 7 end fraction plus C$
  
  Wracając do całki:
  
  $equals integral fraction numerator 2 over denominator left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 7 end fraction d x plus integral fraction numerator 2 over denominator left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 8 end fraction d x equals negative fraction numerator 2 over denominator 6 left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 6 end fraction minus fraction numerator 2 over denominator 7 left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 7 end fraction plus C equals negative fraction numerator 1 over denominator 3 left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 6 end fraction minus fraction numerator 2 over denominator 7 left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 7 end fraction plus C equals$
  
  $equals negative fraction numerator 7 left parenthesis x minus 1 right parenthesis over denominator 21 left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 7 end fraction minus fraction numerator 6 over denominator 21 left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 7 end fraction plus C equals fraction numerator negative 7 x plus 7 over denominator 21 left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 7 end fraction plus fraction numerator negative 6 over denominator 21 left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 7 end fraction plus C equals fraction numerator bold 1 bold minus bold 7 bold x over denominator bold 21 bold left parenthesis bold x bold minus bold 1 bold right parenthesis to the power of bold 7 end fraction bold plus bold italic C$
  
  Odpowiedz
Sonia napisał

28 grudnia 2017 at 21:54

Mam problem z taką oto całką: (x-13)/(x^3-x-6) dx mianownik ni jak da się rozłożyć – zatem zgodnie ze schematem muszę przekształcić licznik tak, aby był podobny do mianownika – tylko co jeśli się nie da jak tutaj?? HELP 🙂

Odpowiedz
Jagoda napisał

31 stycznia 2018 at 13:21

Hej :)pomoże ktoś obliczyć:

Odpowiedz
Łukasz napisał

4 lutego 2018 at 17:26

(1/2-sinx)^2 pomoże mi ktoś przy tej całce ?

Odpowiedz
- Joanna Grochowska napisał
  
  13 sierpnia 2018 at 11:40
  
  Chodzi o całkę: $integral open parentheses 1 half minus sin x close parentheses squared d x$ ? Jeśli tak to rozwiązanie będzie następujące:
  
  Najpierw korzystam ze wzoru skróconego mnożenia: $open parentheses a minus b close parentheses squared equals a squared minus 2 a b plus b squared$
  
  $integral open parentheses 1 half minus sin x close parentheses squared d x equals integral open parentheses open parentheses 1 half close parentheses squared minus 2 times 1 half times sin x plus open parentheses sin x close parentheses squared close parentheses d x equals integral open parentheses 1 fourth minus sin x plus sin squared x close parentheses d x equals integral 1 fourth d x minus integral sin x space d x plus integral sin squared x space d x equals.... space space$
  
  Pierwsze dwie całki są proste:
  
  $integral 1 fourth d x equals 1 fourth integral 1 d x space equals space bold 1 over bold 4 bold times bold italic x bold plus bold italic C$
  
  $integral sin x space d x equals bold minus bold cos bold italic x bold plus bold italic C$
  
  Zostaje trzecia całka z $integral sin squared x space d x$ . Rozwiązanie tej całki z wytłumaczeniem krok po kroku można odnaleźć w lekcji 7 Kursu Całki nieoznaczone:
  
  https://etrapez.pl/temat/lekcja-7-calki-trygonometryczne-video/
  
  Należy skorzystać tu z przekształcenia dodatkowej zależności funkcji trygonometrycznych, mianowicie
  
  $cos 2 x equals cos squared x minus sin squared x$ . A że chce mieć same sinusy w kwadracie, korzystam jeszcze z jedynki trygonometrycznej
  
  $sin squared x plus cos squared x equals 1 space space rightwards double arrow space cos squared x equals 1 minus sin squared x space space$ . Stąd:
  
  $cos 2 x equals cos squared x minus sin squared x cos 2 x equals 1 minus sin squared x minus sin squared x cos 2 x equals 1 minus 2 sin squared x 2 sin squared x equals 1 minus cos 2 x space space space divided by space colon 2 sin squared x equals 1 half open parentheses 1 minus cos 2 x close parentheses$
  
  Podstawiam to teraz do całki z sinusem kwadrat
  
  $integral sin squared x space d x equals integral open parentheses 1 half open parentheses 1 minus cos 2 x close parentheses close parentheses d x space equals 1 half space integral 1 space d x minus 1 half integral cos 2 x d x equals 1 half times x minus 1 half times 1 half s i n 2 x plus C equals bold 1 over bold 2 bold italic x bold minus bold 1 over bold 4 bold italic s bold italic i bold italic n bold 2 bold italic x bold plus bold italic C$
  
  Wykorzystano tu bezpośredni wzór z dodatkowych wzorów (lub tez można było to obliczyć szybką całką przez podstawienie $integral cos open parentheses a x close parentheses d x equals 1 over a sin open parentheses a x close parentheses plus C$
  
  Ostatnie wychodzi:
  
  $integral open parentheses 1 half minus sin x close parentheses squared d x equals integral open parentheses open parentheses 1 half close parentheses squared minus 2 times 1 half times sin x plus open parentheses sin x close parentheses squared close parentheses d x equals integral open parentheses 1 fourth minus sin x plus sin squared x close parentheses d x equals integral 1 fourth d x minus integral sin x space d x plus integral sin squared x space d x equals$
  
  $equals 1 fourth x minus open parentheses negative cos x close parentheses plus 1 half x minus 1 fourth sin 2 x plus C equals 1 fourth x plus cos x plus 2 over 4 x minus 1 fourth sin 2 x plus C equals bold 3 over bold 4 bold italic x bold plus bold cos bold italic x bold minus bold 1 over bold 4 bold sin bold 2 bold italic x bold plus bold italic C bold equals$
  
  Odpowiedz
Arek napisał

8 lutego 2018 at 22:45

Witam mam problem z niektórymi przykładami całkowania przez podstawienie, mógłby ktoś mi je rozpisać? 1. $integral fraction numerator sin open parentheses square root of x close parentheses over denominator square root of x end fraction d x space$ , 2. $integral fraction numerator 2 to the power of x over denominator square root of 1 space minus space 4 to the power of x end root end fraction d x$ 3. $integral fraction numerator x over denominator square root of 2 plus 2 x squared end root end fraction d x$

Odpowiedz
- Joanna Grochowska napisał
  
  23 maja 2018 at 09:38
  
  Całka nr 1: (pójdzie przez podstawienie)
  
  $integral fraction numerator sin open parentheses square root of x close parentheses over denominator square root of x end fraction d x space equals integral sin open parentheses square root of x close parentheses times fraction numerator 1 over denominator square root of x end fraction d x equals open vertical bar table row cell square root of x equals t end cell row cell fraction numerator 1 over denominator 2 square root of x end fraction space d x space equals d t end cell row cell fraction numerator 1 over denominator square root of x end fraction space d x space equals 2 space d t end cell end table close vertical bar space equals$
  
  $equals integral sin open parentheses t close parentheses times 2 space d t equals space 2 integral sin t space d t equals 2 times open parentheses negative cos t close parentheses plus C space equals space bold minus bold 2 bold times bold italic c bold italic o bold italic s open parentheses square root of bold x close parentheses bold plus bold italic C bold space$
  
  Dokładny sposób postępowania omówiono w Kursie Całki Nieoznaczone. Pierwsza lekcja (całki bezpośrednie) dostępna jest za darmo po założeniu konta na Akademii.
  
  Odpowiedz
- Joanna Grochowska napisał
  
  28 maja 2018 at 12:39
  
  Całka nr 2 także pójdzie przez podstawienie i wykorzystanie bezpośredniego wzoru
  
  $integral fraction numerator 1 over denominator square root of 1 space minus space x squared end root end fraction d x equals a r c sin x space plus space C$ (wzór 15.)
  
  oraz małe przekształcanie $4 to the power of x equals open parentheses 2 squared close parentheses to the power of x equals 2 to the power of 2 times x end exponent equals open parentheses 2 to the power of x close parentheses squared$
  
  $integral fraction numerator 2 to the power of x over denominator square root of 1 space minus space 4 to the power of x end root end fraction d x space equals space open vertical bar table row cell 2 to the power of x equals t end cell row cell 2 to the power of x times ln 2 space d x space equals space d t end cell row cell 2 to the power of x space d x space equals fraction numerator 1 over denominator ln 2 end fraction space d t end cell end table close vertical bar space equals space integral fraction numerator t over denominator square root of 1 space minus space t squared end root end fraction times space fraction numerator 1 over denominator ln 2 end fraction space d t space equals space$
  
  $equals space fraction numerator 1 over denominator ln 2 end fraction integral fraction numerator t over denominator square root of 1 space minus space t squared end root end fraction space d t space equals space fraction numerator 1 over denominator ln 2 end fraction times a r c s i n left parenthesis t right parenthesis space plus C space equals space fraction numerator bold 1 over denominator bold l bold n bold 2 end fraction bold times bold italic a bold italic r bold italic c bold italic s bold italic i bold italic n bold left parenthesis bold 2 to the power of bold x bold right parenthesis bold space bold plus bold italic C$
  
  Odpowiedz
- Joanna Grochowska napisał
  
  5 czerwca 2018 at 12:49
  
  $integral fraction numerator x over denominator square root of 2 plus 2 x squared end root end fraction d x$ ta całka także pójdzie przez podstawienie (całego wyrażenia pod pierwiastkiem):
  
  $integral fraction numerator x over denominator square root of 2 plus 2 x squared end root end fraction d x equals integral fraction numerator 1 over denominator square root of 2 plus 2 x squared end root end fraction times x space d x equals open vertical bar table row cell 2 plus 2 x squared equals t end cell row cell 0 plus 2 times 2 x space d x equals d t end cell row cell x space d x equals 1 fourth d t end cell end table close vertical bar space equals space integral fraction numerator 1 over denominator square root of t end fraction times 1 fourth d t equals$
  
  $equals space 1 fourth integral space t to the power of negative 1 half end exponent d t equals 1 fourth times 1 over blank to the power of negative 1 half plus 1 end exponent space t space to the power of negative 1 half plus 1 end exponent plus C space equals space 1 fourth times 1 over blank to the power of 1 half end exponent space t space to the power of 1 half end exponent plus C space equals space 1 fourth times 2 square root of space t end root plus C space equals bold 1 over bold 2 square root of bold space bold 2 bold plus bold 2 bold x to the power of bold 2 end root bold plus bold italic C$
  
  Odpowiedz
Iva napisał

9 lutego 2018 at 21:28

Witam
Mam problem z całka nieoznaczoną
2x-9/3pirwiastki z 3

Odpowiedz
- Joanna Grochowska napisał
  
  22 maja 2018 at 10:25
  
  $integral fraction numerator 2 x minus 9 over denominator 3 square root of 3 end fraction d x$
  
  Mianownik to zwykła liczba (nie ma tam zmiennej „x”). Dlatego wyciągam go jako stałą przed całkę. Dalej to proste działania na całkach elementarnych.
  
  $integral fraction numerator 2 x minus 9 over denominator 3 square root of 3 end fraction d x equals integral fraction numerator 1 over denominator 3 square root of 3 end fraction times open parentheses 2 x minus 9 close parentheses space d x space equals space fraction numerator 1 over denominator 3 square root of 3 end fraction times integral open parentheses 2 x minus 9 close parentheses space d x equals$
  
  $equals fraction numerator 1 over denominator 3 square root of 3 end fraction times open square brackets integral 2 x space d x minus integral 9 space d x close square brackets equals fraction numerator 1 over denominator 3 square root of 3 end fraction times open square brackets 2 times integral x space d x minus 9 integral 1 space d x close square brackets equals$
  
  $equals fraction numerator 1 over denominator 3 square root of 3 end fraction times open square brackets 2 times 1 half x squared space minus 9 times x space plus space C close square brackets equals fraction numerator 1 over denominator 3 square root of 3 end fraction times open square brackets x squared space minus 9 x space plus space C close square brackets equals fraction numerator bold x to the power of bold 2 bold space bold minus bold 9 bold x over denominator bold 3 square root of bold 3 end fraction bold plus bold space bold italic C$
  
  Odpowiedz
Sonia napisał

21 marca 2018 at 15:06

Obliczyć całkę z funkcji e^{x^2}. Jak?

Odpowiedz
Kasia napisał

1 kwietnia 2018 at 15:31

Witam, mam problem z wyznaczeniem obszaru ograniczonego przez:y=|cosx|x=0x=3/2 $pi$ y=0.Czy ma ktoś może pomysł jak ją rozwiązać ?

Odpowiedz
Kasia napisał

1 kwietnia 2018 at 15:32

Witam, mam problem z wyznaczeniem obszaru ograniczonego przez:y=|cosx| , x=0 , x=3/2* $pi$ , y=0.Czy ma ktoś może pomysł jak ją rozwiązać ? (wstawiam poprawione bo było nieczytelne)

Odpowiedz
Karol napisał

2 czerwca 2018 at 13:26

Jak obliczyć y’-y*sinx=sinx*cosx.
Czy da się to zadanie wpisać w kalkulator?

Odpowiedz
- Krystian Karczyński napisał
  
  5 czerwca 2018 at 11:15
  
  Da się wpisać w kalkulator, tyle, że w inny, do równań różniczkowych:
  
  https://blog.etrapez.pl/narzedzia/kalkulatory/kalkulator-do-rownan-rozniczkowych/
  
  A obliczyć można stosując metodę „uzmienniania stałej”, pokazałem ją w swoim Kursie dokładniej:
  
  $y apostrophe minus y sin x equals sin x cos x$
  
  Rozwiązuję odpowiadające temu równaniu równanie jednorodne:
  
  $y apostrophe minus y sin x equals 0 y apostrophe equals y sin x fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals y sin x space space divided by colon y space space divided by times d x fraction numerator d y over denominator y end fraction equals sin x d x integral fraction numerator d y over denominator y end fraction equals integral sin x d x ln open vertical bar y close vertical bar equals negative cos x plus C y equals e to the power of negative cos x plus C end exponent y equals e to the power of negative cos x end exponent e to the power of C y equals C e to the power of negative cos x end exponent$
  
  W otrzymanym rozwiązaniu równania jednorodnego „uzmienniamy stałą”, a następnie liczymy pochodną:
  
  $y equals C open parentheses x close parentheses e to the power of negative cos x end exponent y apostrophe equals open square brackets C open parentheses x close parentheses e to the power of negative cos x end exponent close square brackets apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of negative cos x end exponent plus C open parentheses x close parentheses open parentheses e to the power of negative cos x end exponent close parentheses apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of negative cos x end exponent plus C open parentheses x close parentheses e to the power of negative cos x end exponent open parentheses negative cos x close parentheses apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of negative cos x end exponent plus C open parentheses x close parentheses e to the power of negative cos x end exponent sin x$
  
  Otrzymane wyniki wstawiamy do równania na początku:
  
  $C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of negative cos x end exponent plus C open parentheses x close parentheses e to the power of negative cos x end exponent sin x minus C open parentheses x close parentheses e to the power of negative cos x end exponent sin x equals sin x cos x C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of negative cos x end exponent equals sin x cos x C apostrophe open parentheses x close parentheses 1 over e to the power of cos x end exponent equals sin x cos x space space divided by times e to the power of cos x end exponent C apostrophe open parentheses x close parentheses equals e to the power of cos x end exponent sin x cos x C open parentheses x close parentheses equals integral e to the power of cos x end exponent sin x cos x d x$
  
  Całeczkę rozwiązuję najpierw przez podstawienie, potem przez części:
  
  $integral e to the power of cos x end exponent sin x cos x d x equals open vertical bar table row cell table row cell t equals cos x end cell row cell d t equals open parentheses negative sin x close parentheses d x end cell end table end cell row cell negative d t equals sin x d x end cell row blank end table close vertical bar equals negative integral e to the power of t times t d t equals open vertical bar table row cell u open parentheses t close parentheses equals t end cell cell v apostrophe open parentheses t close parentheses equals e to the power of t end cell row cell u apostrophe open parentheses t close parentheses equals 1 end cell cell v open parentheses t close parentheses equals e to the power of t end cell end table close vertical bar equals equals negative open parentheses t e to the power of t minus integral 1 times e to the power of t d t close parentheses equals negative t e to the power of t plus integral e to the power of t d t equals negative t e to the power of t plus e to the power of t plus C equals negative cos x e to the power of cos x end exponent plus e to the power of cos x end exponent plus C$
  
  Mam więc, że:
  
  $C open parentheses x close parentheses equals negative cos x e to the power of cos x end exponent plus e to the power of cos x end exponent plus C$
  
  Wstawiam ten wynik do rozwiązania z uzmiennioną stałą:
  
  $y equals C open parentheses x close parentheses e to the power of negative cos x end exponent y equals open parentheses negative cos x e to the power of cos x end exponent plus e to the power of cos x end exponent plus C close parentheses e to the power of negative cos x end exponent equals negative cos x plus 1 plus C e to the power of negative cos x end exponent$
  
  Co jest rozwiązaniem tego równania różniczkowego.
  
  Odpowiedz
Joanna Wojtowicz napisał

13 czerwca 2018 at 13:25

Jak obliczyc calke (1 na gorze 0 na dole) adalej (3x^3-x^2+2x-4)dx/((x^2-3x+2)^0,5)gdyby sie udalo krok po kroku zebym mogla rozumiec logikepozdrawiamJoanna

Odpowiedz
- Joanna Grochowska napisał
  
  3 lipca 2018 at 09:29
  
  Aby rozwiązać całkę $integral subscript 0 superscript 1 fraction numerator 3 x cubed minus x squared plus 2 x minus 4 over denominator square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction d x$ posłużę się schematem opisanym w Lekcji 6 Kursu Całki Nieoznaczone. Zacznę oczywiście od całki nieoznaczonej, na koniec podstawię granice.
  
  Jest to całka typu $integral fraction numerator W subscript n greater or equal than 2 end subscript left parenthesis x right parenthesis space d x over denominator square root of a x squared plus b x plus c end root end fraction$ . Wynik tego typu całki będzie wyglądał następująco:
  
  $integral fraction numerator 3 x cubed minus x squared plus 2 x minus 4 over denominator square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction d x space equals space open parentheses A x squared plus B x plus C close parentheses times square root of x squared minus 3 x plus 2 end root space plus space lambda times integral fraction numerator d x over denominator square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction$
  
  Musze teraz znaleźć niewiadome A, B , C oraz lambdę. No i oczywiście rozwiązać całkę z pierwiastkiem. Na powyższe równanie nakładam obustronnie pochodną. Przy obliczaniu pochodnej z wyrażenia $open parentheses A x squared plus B x plus C close parentheses times square root of x squared minus 3 x plus 2 end root$ pamiętam, że jest to mnożenie dwóch funkcji, więc jadę z wzorem: $open parentheses a times b close parentheses apostrophe equals a apostrophe times b plus a times b apostrophe$
  
  $integral fraction numerator 3 x cubed minus x squared plus 2 x minus 4 over denominator square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction d x space equals space open parentheses A x squared plus B x plus C close parentheses times square root of x squared minus 3 x plus 2 end root space plus space lambda times integral fraction numerator d x over denominator square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction space space space space divided by space open parentheses blank close parentheses apostrophe$
  
  $fraction numerator 3 x cubed minus x squared plus 2 x minus 4 over denominator square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction equals space open parentheses A times 2 x plus B times 1 plus 0 close parentheses times square root of x squared minus 3 x plus 2 end root space plus open parentheses A x squared plus B x plus C close parentheses times fraction numerator 1 over denominator 2 square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction times open parentheses x squared minus 3 x plus 2 close parentheses apostrophe plus lambda times fraction numerator 1 over denominator square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction$
  
  $fraction numerator 3 x cubed minus x squared plus 2 x minus 4 over denominator square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction equals space open parentheses 2 A x plus B close parentheses times square root of x squared minus 3 x plus 2 end root space plus open parentheses A x squared plus B x plus C close parentheses times fraction numerator 1 over denominator 2 square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction times open parentheses 2 x minus 3 close parentheses plus lambda times fraction numerator 1 over denominator square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction space space space space space space space space space space divided by times square root of x squared minus 3 x plus 2 end root$
  
  $3 x cubed minus x squared plus 2 x minus 4 space equals space open parentheses 2 A x plus B close parentheses times open parentheses x squared minus 3 x plus 2 close parentheses space plus 1 half open parentheses A x squared plus B x plus C close parentheses times open parentheses 2 x minus 3 close parentheses plus lambda$
  
  Porządkuję prawą stronę i porównuję potęgi przy odpowiednich x-ach wielomianu.
  
  $3 x cubed minus x squared plus 2 x minus 4 space equals space 2 A x cubed minus 6 A x squared plus 4 A x plus B x squared minus 3 B x plus 2 B space plus 1 half open parentheses 2 A x cubed minus 3 A x squared plus 2 B x squared minus 3 B x plus 2 C x minus 3 C close parentheses plus lambda$
  
  $3 x cubed minus x squared plus 2 x minus 4 space equals space 2 A x cubed minus 6 A x squared plus 4 A x plus B x squared minus 3 B x plus 2 B space plus A x cubed minus 3 over 2 A x squared plus B x squared minus 3 over 2 B x plus C x minus 3 over 2 C plus lambda$
  
  $3 x cubed minus x squared plus 2 x minus 4 space equals space 3 A x cubed space plus space open parentheses negative 7 1 half A plus 2 B close parentheses x squared space plus space open parentheses 4 A minus 4 1 half B plus C close parentheses x plus open parentheses 2 B minus 3 over 2 C plus lambda close parentheses$
  
  $open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell 3 A equals 3 end cell row cell negative 7 comma 5 A plus 2 B equals negative 1 end cell row cell 4 A minus 4 comma 5 B plus C equals 2 end cell row cell 2 B minus 1 comma 5 C plus lambda equals negative 4 end cell end table close$ No to rozwiązuję po kolei ten układ równań.
  
  $3 A equals 3 space space space divided by colon 3 bold italic A bold equals bold 1$ , $negative 7 comma 5 times 1 plus 2 B equals negative 1 2 B equals negative 1 plus 7 comma 5 2 B equals 6 comma 5 space space space divided by colon 2 B equals 13 over 2 times 1 half equals bold 13 over bold 4$ , $4 times 1 minus 4 comma 5 times 13 over 4 plus C equals 2 4 minus 9 over 2 times 13 over 4 plus C equals 2 C equals 2 minus 4 plus 117 over 8 equals 117 over 8 minus 16 over 8 equals bold 101 over bold 8$ , $2 times 13 over 4 minus 3 over 2 times 101 over 8 plus lambda equals negative 4 lambda equals negative 4 minus 13 over 2 plus 303 over 16 equals bold 135 over bold 16$
  
  Tak więc na obecną chwilę mamy rozwiązanie postaci:
  
  $integral fraction numerator 3 x cubed minus x squared plus 2 x minus 4 over denominator square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction d x space equals space open parentheses x squared plus 13 over 4 x plus 101 over 8 close parentheses times square root of x squared minus 3 x plus 2 end root space plus space 135 over 16 times integral fraction numerator d x over denominator square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction$
  
  Zostaje więc do policzenia tylko całka z pierwiastkiem $integral fraction numerator d x over denominator square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction$ .
  
  CDN.
  
  Odpowiedz
- Joanna Grochowska napisał
  
  6 lipca 2018 at 18:04
  
  Kończąc przykład, całka $integral fraction numerator d x over denominator square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction$ jest całką typu $integral fraction numerator d x over denominator square root of a x squared plus b x plus c end root end fraction$ , gdzie $a equals 1 space comma space b equals negative 3 space comma space c equals 2$ .
  
  Zapisuję wielomian z mianownika w postaci: $a x squared plus b x plus c space equals space a space open square brackets open parentheses x plus fraction numerator b over denominator 2 a end fraction close parentheses squared minus fraction numerator increment over denominator 4 a end fraction close square brackets$ (schemat z całek niewymiernych).
  
  Liczę: $increment equals open parentheses negative 3 close parentheses squared minus 4 times 1 times 2 equals 9 minus 8 equals 1$ . Stąd:
  
  $integral fraction numerator d x over denominator square root of x squared minus 3 x plus 2 end root end fraction equals integral fraction numerator d x over denominator square root of 1 times open square brackets open parentheses x plus fraction numerator negative 3 over denominator 2 times 1 end fraction close parentheses squared minus fraction numerator 1 over denominator 4 times 1 end fraction close square brackets end root end fraction equals integral fraction numerator d x over denominator square root of open parentheses x minus 3 over 2 close parentheses squared minus 1 fourth end root end fraction equals open vertical bar table row cell t equals x minus 3 over 2 end cell row cell d t space equals space d x end cell end table close vertical bar equals integral fraction numerator d t over denominator square root of t squared minus 1 fourth end root end fraction equals...$
  
  Korzystając z wzoru na całkę: $integral fraction numerator d t over denominator square root of x squared plus q end root end fraction equals ln space open vertical bar x plus square root of x squared plus q end root close vertical bar plus C$ wychodzi ostatecznie
  
  $... equals ln space open vertical bar t plus square root of t squared minus 1 fourth end root close vertical bar plus C equals ln space open vertical bar x minus 3 over 2 plus square root of open parentheses x minus 3 over 2 close parentheses squared minus 1 fourth end root close vertical bar plus C$
  
  Dlatego ostateczna całka z przykładu jest postaci:
  
  $bold integral fraction numerator bold 3 bold x to the power of bold 3 bold minus bold x to the power of bold 2 bold plus bold 2 bold x bold minus bold 4 over denominator square root of bold x to the power of bold 2 bold minus bold 3 bold x bold plus bold 2 end root end fraction bold d bold italic x bold space bold equals bold space open parentheses bold x to the power of bold 2 bold plus bold 13 over bold 4 bold x bold plus bold 101 over bold 8 close parentheses bold times square root of bold x to the power of bold 2 bold minus bold 3 bold x bold plus bold 2 end root bold space bold plus bold space bold 135 over bold 16 bold times bold italic l bold italic n bold space open vertical bar bold x bold minus bold 3 over bold 2 bold plus square root of open parentheses bold x bold minus bold 3 over bold 2 close parentheses to the power of bold 2 bold minus bold 1 over bold 4 end root close vertical bar bold plus bold italic C$
  
  Dziwić może różniący się wynik otrzymany z kalkulatora, tzn.
  
  $integral fraction numerator 3 straight x cubed minus straight x squared plus 2 straight x minus 4 over denominator square root of straight x squared minus 3 straight x plus 2 end root end fraction d x space equals space open parentheses straight x squared plus 13 over 4 straight x plus 101 over 8 close parentheses times square root of straight x squared minus 3 straight x plus 2 end root space plus space 135 over 16 times ln space open vertical bar negative 2 square root of open parentheses straight x minus 3 over 2 close parentheses squared minus 1 fourth end root minus 2 x plus 3 close vertical bar plus C$
  
  Wydawałoby się, że to wyrażenie w logarytmie jest inne. Nic mylnego. Wolfram to chytra sztuka i zawsze próbuje wynik maksymalnie „uładnić” 🙂 Po prostu dobrał sobie taką stałą i wciągnął ją do logarytmu, aby pozbyć się ułamka, tzn:
  
  $ln space open vertical bar negative 2 square root of open parentheses straight x minus 3 over 2 close parentheses squared minus 1 fourth end root minus 2 x plus 3 close vertical bar equals space ln space open vertical bar bold minus bold 2 open square brackets square root of open parentheses straight x minus 3 over 2 close parentheses squared minus 1 fourth end root plus x minus 3 over 2 close square brackets close vertical bar equals l n open parentheses a times b close parentheses equals l n a plus l n b equals space ln space open vertical bar negative 2 close vertical bar plus space ln space open vertical bar square root of open parentheses straight x minus 3 over 2 close parentheses squared minus 1 fourth end root plus x minus 3 over 2 close vertical bar$
  
  gdzie ln|-2| to zwykła stała, podlegająca pod „C”.
  
  To została do policzenia całka oznaczona.
  
  $integral subscript 0 superscript 1 fraction numerator 3 straight x cubed minus straight x squared plus 2 straight x minus 4 over denominator square root of straight x squared minus 3 straight x plus 2 end root end fraction d x space equals space space right enclose open parentheses straight x squared plus 13 over 4 straight x plus 101 over 8 close parentheses times square root of straight x squared minus 3 straight x plus 2 end root space plus space 135 over 16 times ln space open vertical bar straight x minus 3 over 2 plus square root of open parentheses straight x minus 3 over 2 close parentheses squared minus 1 fourth end root close vertical bar space space end enclose subscript 0 superscript 1 equals equals space space open parentheses 1 squared plus 13 over 4 times 1 plus 101 over 8 close parentheses times square root of 1 squared minus 3 times 1 plus 2 end root space plus space 135 over 16 times ln space open vertical bar 1 minus 3 over 2 plus square root of open parentheses 1 minus 3 over 2 close parentheses squared minus 1 fourth end root close vertical bar space minus space open curly brackets space open parentheses 0 squared plus 13 over 4 times 0 plus 101 over 8 close parentheses times square root of 0 squared minus 3 times 0 plus 2 end root space plus space 135 over 16 times ln space open vertical bar 0 minus 3 over 2 plus square root of open parentheses 0 minus 3 over 2 close parentheses squared minus 1 fourth end root close vertical bar space close curly brackets equals equals space space open parentheses 1 plus 13 over 4 plus 101 over 8 close parentheses times square root of 0 space plus space 135 over 16 times ln space open vertical bar negative 1 half plus square root of 0 close vertical bar space minus 101 over 8 times square root of 2 space minus space 135 over 16 times ln space open vertical bar negative 3 over 2 plus square root of 2 close vertical bar space equals equals space 135 over 16 times ln space open vertical bar negative 1 half close vertical bar space minus fraction numerator 101 square root of 2 over denominator 8 end fraction space minus space 135 over 16 times ln space open vertical bar negative 3 over 2 plus square root of 2 close vertical bar space$
  
  Odpowiedz
Paula napisał

3 września 2018 at 15:16

Witam mam problem z calka 1/cosx mogłbys mi ja rozpisac? zgory dziekuje i pozdrawiam

Odpowiedz
Paweł napisał

11 września 2018 at 17:31

Dzień dobry , pomógł by ktoś z taką całeczką, z góry dziękuje $integral subscript blank fraction numerator x over denominator square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared right parenthesis end root end fraction d x$

Odpowiedz
- Krystian Karczyński napisał
  
  8 października 2018 at 18:59
  
  Dzień dobry
  
  Jedziemy zgodnie ze schematem pokazanym w tej Lekcji.
  
  $integral fraction numerator x over denominator square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root end fraction d x$
  
  Liczymy pochodną tego pod pierwiastkiem w mianowniku:
  
  $M apostrophe equals open parentheses 2 minus 6 x minus 9 x squared close parentheses apostrophe equals negative 6 minus 18 x$
  
  Doprowadzamy część składników licznika do tej pochodnej:
  
  $integral fraction numerator x over denominator square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root end fraction d x equals integral fraction numerator open parentheses negative begin display style 1 over 18 end style close parentheses times open parentheses negative 18 close parentheses x over denominator square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root end fraction d x equals negative 1 over 18 integral fraction numerator negative 18 x over denominator square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root end fraction d x equals equals negative 1 over 18 integral fraction numerator negative 6 minus 18 x plus 6 over denominator square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root end fraction d x equals horizontal ellipsis$
  
  Rozbijamy całkę na dwie:
  
  $horizontal ellipsis equals negative 1 over 18 integral fraction numerator negative 6 minus 18 x plus 6 over denominator square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root end fraction d x equals negative 1 over 18 open parentheses stack stack integral fraction numerator negative 6 minus 18 x over denominator square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root end fraction d x with underbrace below with I subscript 1 below plus stack stack integral fraction numerator 6 over denominator square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root end fraction d x with underbrace below with I subscript 2 below close parentheses equals midline horizontal ellipsis$
  
  Obie te całki liczymy osobno:
  
  $I subscript 1 equals integral fraction numerator negative 6 minus 18 x over denominator square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root end fraction d x equals open vertical bar table row cell t equals 2 minus 6 x minus 9 x squared end cell row cell d t equals open parentheses negative 6 minus 18 x close parentheses d x end cell end table close vertical bar equals integral fraction numerator 1 over denominator square root of t end fraction d t equals integral t to the power of negative 1 half end exponent d t equals equals fraction numerator 1 over denominator negative begin display style 1 half end style plus 1 end fraction t to the power of negative 1 half plus 1 end exponent plus C equals fraction numerator 1 over denominator begin display style 1 half end style end fraction t to the power of 1 half end exponent plus C equals 2 square root of t plus C equals 2 square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root plus C$
  
  $I subscript 2 equals integral fraction numerator 6 over denominator square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root end fraction d x$
  
  Sprowadzamy dwumian w mianowniku do postaci $a x squared plus b x plus c equals a open square brackets open parentheses x plus fraction numerator b over denominator 2 a end fraction close parentheses squared minus fraction numerator triangle over denominator 4 a squared end fraction close square brackets$ .
  
  $triangle equals open parentheses negative 6 close parentheses squared minus 4 times open parentheses negative 9 close parentheses times 2 equals 36 plus 72 equals 108$
  
  $I subscript 2 equals integral fraction numerator 6 over denominator square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root end fraction d x equals integral fraction numerator 6 over denominator square root of negative 9 open square brackets open parentheses x plus begin display style fraction numerator negative 6 over denominator 2 times open parentheses negative 9 close parentheses end fraction end style close parentheses squared minus begin display style fraction numerator 108 over denominator 4 times open parentheses negative 9 close parentheses squared end fraction end style close square brackets end root end fraction d x equals equals integral fraction numerator 6 over denominator square root of negative 9 open square brackets open parentheses x plus begin display style 1 third end style close parentheses squared minus begin display style 1 third end style close square brackets end root end fraction d x equals integral fraction numerator 6 over denominator square root of negative 9 open parentheses x plus 1 third close parentheses squared plus 3 end root end fraction d x equals open vertical bar table row cell t equals x plus 1 third end cell row cell d t equals d x end cell end table close vertical bar equals equals integral fraction numerator 6 over denominator square root of negative 9 t squared plus 3 end root end fraction d t equals integral fraction numerator 6 over denominator square root of 3 minus 9 t squared end root end fraction d t equals integral fraction numerator 6 over denominator square root of 9 open parentheses begin display style 3 over 9 end style minus t squared close parentheses end root end fraction d t equals integral fraction numerator 6 over denominator square root of 9 square root of 1 third minus t squared end root end fraction d t equals equals integral fraction numerator 6 over denominator 3 square root of open parentheses fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction close parentheses squared minus t squared end root end fraction d t equals 2 integral fraction numerator 1 over denominator square root of open parentheses fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction close parentheses squared minus t squared end root end fraction d t equals 2 a r c sin fraction numerator t over denominator fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction end fraction plus C equals equals 2 a r c sin fraction numerator square root of 3 t over denominator 2 end fraction plus C equals 2 a r c sin open square brackets square root of 3 open parentheses x plus 1 third close parentheses close square brackets plus C$
  
  Podstawiamy $I subscript 1 comma I subscript 2$ tam, gdzie urwaliśmy, i mamy wynik:
  
  $horizontal ellipsis equals negative 1 over 18 open parentheses stack stack integral fraction numerator negative 6 minus 18 x over denominator square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root end fraction d x with underbrace below with I subscript 1 below plus stack stack integral fraction numerator 6 over denominator square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root end fraction d x with underbrace below with I subscript 2 below close parentheses equals equals negative 1 over 18 open parentheses 2 square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root plus 2 a r c sin open square brackets square root of 3 open parentheses x plus 1 third close parentheses close square brackets close parentheses plus C equals equals negative 1 over 9 square root of 2 minus 6 x minus 9 x squared end root minus 1 over 9 a r c sin open square brackets square root of 3 open parentheses x plus 1 third close parentheses close square brackets plus C equals$
  
  Odpowiedz
matematyk napisał

9 stycznia 2019 at 21:13

((s^2)+6,5*(10^4)*s+0,5*(10^8)-0,5*(10^4)*s)((s^5)+6,5*(10^4)+(s^4)+0,5*(10^8)*(s^3))

czemu nie mogę tego policzyć???

Odpowiedz
Noga matematyczna napisał

28 kwietnia 2019 at 22:24

Witam nie mogę dać sobie rady z całka
(Cos2x/√x^7)dx
Proszę o pomoc
Pozdrawiam

Odpowiedz
Natalia7 napisał

12 maja 2019 at 18:04

Dzień dobry. Czy mógłby ktoś pomóc mi z tą całką? Mam ją całkować przez części, ale nie wychodzi mi i nie wiem jak obliczyć:
Całka x^2e^x sinxdx

Odpowiedz