blog

Współrzędne eliptyczne (całki podwójne)

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


Bywają w życiu takie sytuacje, kiedy obszarem całkowania w całce podwójnej jest elipsa….

Co wtedy?

Współrzędne eliptyczne

Zgrabną metodą rozwiązania jest najczęściej zastosowanie tzw. współrzędnych eliptycznych. To coś takiego jak współrzędne biegunowe, mechanizm działania jest zupełnie podobny, tylko co innego podstawiasz za x i za y i inny jest jakobian. Interpretacja ‘r’ także jest inna. No podsumowując, jeśli umiesz przechodzić na współrzędne biegunowe (a robi się to najczęściej kiedy obszarem całkowania jest koło) to bez trudu załapiesz też eliptyczne.

Mamy więc całkę: doubleint{D}{}{f(x,y)}dydx i obszar całkowania ograniczony elipsą o środku w początku układu współrzędnych, której równanie jest: {x^2}/{a^2}+{y^2}/{b^2}=1 . Niech tam po prawej stronie równania elipsy będzie na pewno 1-ka, dobra? Jakby była na przykład 9 możesz ją łatwo zrobić, dzieląc obie strony równania przez 9.

Obszar całkowania narysowany wygląda tak:

Elipsa

Co oznaczają a i b każdy widzi na rysunku. Trzeba uważać, bo jak w równaniu elipsy jest w mianowniku pod x^2 na przykład 9, to znaczy, że a=3, wiadomo dlaczego, prawda?

No i teraz mając taką “czystą” sytuację przechodzimy na współrzędne eliptyczne, podstawiając:

x=arcos{varphi}

y=brsin{varphi}

Znaczenie zmiennych we współrzędnych eliptycznych

Kąt varphi oznacza dokładnie to samo co we współrzędnych biegunowych, a r dla odmiany co innego. W zadaniach podstawowych z elipsą daną ładnym równaniem {x^2}/{a^2}+{y^2}/{b^2}=1 przyjmuj po prostu, że r zmienia się od zera do jeden (w bardziej skomplikowanych wstaw x=arcos{varphi} i y=brsin{varphi} do równania elipsy i wylicz górne ograniczenie r).

Jakobian

Jakobian we współrzędnych eliptycznych równy jest abr

Pamiętając o jakobianie przechodzimy więc na całkę we współrzędnych eliptycznych:

doubleint{D}{}{f(x,y)}dydx=doubleint{D_E}{}{f(arcos{varphi},brsin{varphi})*abr}drd{varphi} gdzie zmienne r i varphi są ograniczone: r w granicach od zera do jeden, a varphi w zależności czy mówimy o całej elipsie, czy o połowie, czy o np. ćwiartce różnymi wartościami kąta – tak jak we współrzędnych biegunowych.

Tylko brać i liczyć.

Przykład

Oblicz całkę doubleint{D}{}{(x+x^2{y})}dydx, gdzie D jest elipsą o równaniu: {x^2}/9+{y^2}/4=1.

Zgodnie z powyższym schematem podstawiamy:

x=3rcos{varphi}

y=2rsin{varphi}

Bierzemy obszar całkowania:

0<=r<=1

0<={varphi}<=2{pi}

I liczymy całeczkę:

doubleint{D}{}{(x+x^2{y})}dydx=doubleint{D_E}{}{(3rcos{varphi}+(3rcos{varphi})^2{brsin{varphi}})6r}drd{varphi}

=int{0}{1}{delim{lbrace}{int{0}{2{pi}}{(3rcos{varphi}+(3rcos{varphi})^2{brsin{varphi}})6rd{varphi}}}{rbrace}dr}

Co już jest oczywiście formalnością 🙂

 

 

 

Co słychać ogólnie?

Co do spraw ogólnych, w tej chwili pracuję nad Kursem Całek Wielokrotnych, a w marcu będę pokazywał na blogu trochę fajnych narzędzi ułatwiających mocno pracę nad tymi całkami. Będą to na przykład bajerancki kalkulator online do całek podwójnych i fajny program do dwu i trzy wymiarowych wykresów funkcji.

Zachęcam więc do zaglądania na bloga i zapisywania na newsletter, pozdrawiam i sukcesów w bojach z całkami podwójnymi!

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Rewelacyjny sposób prowadzenia pozwala na skuteczne zrozumienie każdego omawianego zagadnienia, co ważne każdy kurs rozpoczyna się od podstaw więc mimo braku znajomości wstępnych zagadnień każdy jest w stanie skorzystać w 100%, jak dla mnie świetna sprawa i polecam serdecznie.

Mateusz Andrzejewski

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. grusia pisze:

    Czy ktoś mógłby mi pomóc z wyznaczeniem przedziału fi w takim przykładzie : {(x,y) należy do R^2, x^2 + y^2 <= 4x}? Wiem, że będzie to koło o środku (2,0) i promieniu 2, ale nie wiem jakie będzie fi. Czy może być od -pi/2 do pi/2?

  2. Wiktor pisze:

    nie rozumiem tego mamy całkować po elipsie a całkujemy po kole o promieniu 1…. we współrzędnych biegunowych promień elipsy zależy od kąta i zmienia się od 0 do r=a*b/sqrt(a^2*sin^2(fi)+b^2*cos^2(fi)) ( jest jeszcze inna wersja tego wzoru z kwadratem mikośrodu http://pl.wikipedia.org/wiki/Elipsa

  3. Grzesiek pisze:

    a jak rozwiązać całkę potrójną, w której jedną ‘płaszczyzną’ jest elipsa? Próbowałem rozwiązywać to przy pomocy współrzędnych walcowych, ale nie potrafię określić jak zmienia się promień…

    1. Grzesiek pisze:

      chodzi mi o to, czy też można na przykład przyjąć, że promień zmienia się w granicach od 0 do 1? dla równania 1=(x^2)/4 + y^2 ?

  4. Mateusz pisze:

    Mam w zadaniu obliczyć obj. bryły ograniczonej powierzchniami x^2/4 + y^2/9 + z = 1 oraz z=0. Wnioskuję, że mam policzyć połowę obj. tej elipsy. Zastanawia mnie tylko co mam zrobić z tym “z” w równaniu elipsy. Bardzo proszę o pomoc

  5. Damian pisze:

    A co wtedy gdy elipsa (obszar calkowania) jest “przesuniety” i jej srodek nie jest w poczatku uklady wspolrzednych? Jak wtedy beda zmienialy sie r i fi?

    1. Darek pisze:

      Możesz sobie podstawić (x’ = x – przesunięcie x) oraz (y’ = y – przesunięcie y) i postępować dalej jak wyżej, ale ze zmiennymi x’ i y’. Na koniec wystarczy podstawić z powrotem.