Powyższą całkę oznaczoną należy rozwiązać przez podstawienie 
i tu się wszyscy zgadzamy. Co jednak z granicami całkowania?
Granice całkowania w całkowaniu przez podstawienie w całce oznaczonej
Czy można zapisać:
?
Oczywiście nie. Problem z granicami całkowania. W całce oznaczonej po lewej dotyczą się one zmiennej 
, a po prawej zmiennej 
, powinny więc także ulec zmianie razem ze zmienną.
Jednym wyjściem (zalecam je w swoim Kursie) jest kompletne ominięcie problemu, poprzez rozwiązanie całki nieoznaczonej (bez granic całkowania) na boczku i później wstawienie do wyniku (ze zmienną x) granic całkowania 5 i 2.
Drugim wyjściem jest stawienie czoła problemowi w otwartej walce i zamiana granic całkowania zgodnie z podstawieniem. Skoro granice w zmiennej x wynoszą: 2 i 5, po podstawieniu: 
wyniosą one w zmiennej t odpowiednio: 1 i 22, a wyniki te uzyskałem podstawiając 2 i 5 za x-sa do podstawienia . Prawidłowym przejściem więc było by:
Switch napisał
2^2-3 = 4?
5^2-3 = 25?
Takie błędy i „zalecam je w swoim Kursie”…
jotko napisał
Naucz się rachować
Odyniec napisał
u nas Mrozu na PG co chwile się mota w prostych rachunkach, ale potrafi czasem niezłe combosy wycyrać
Poprawiłem pomyłkę, sorry!
Artur napisał
słaby przykład, w liczniku pochodna mianownika hehe
Aneta napisał
Przykład jak najbardziej trafny, nie ważne czy w liczniku jest pochodna mianownika i czy tą całkę da się łatwiej policzyć , ważne jest to by zrozumieć w jaki sposób zmieniamy granice całkowania. Więc darujcie sobie komentarze o złym przykładzie. Ja uważam , że blog jest poprowadzony bardzo dobrze a jeszcze bardziej polecam kursy do odsłuchania;) inwestycja mi się zwróciła;)
R napisał
a kiedy podstawiamy ‚t’ za ‚ln x’?
Na przykład w takiej całce:
\int{\frac{\ln x}{x}dx}
Albo w takiej:
\int{\frac{{{\ln }^{2}}x}{x}dx}
Albo w takiej:
\int{\frac{dx}{x\ln x}}
Może być i w tej:
\int{\frac{{{\cos }^{2}}\left( \ln x \right)}{x}dx}
Niestety, jak widać nie jest możliwe sformułowanie jakiejś bardziej ogólnej odpowiedzi na pytanie „kiedy bierzemy za t lnx”.
W ogóle w całkach przez podstawienie niestety nie ma reguł typu: „jak jest ułamek, to bierzemy licznik”, albo „jak jest COŚ to podstawiamy COŚ”. Jedyna droga, żeby się tego nauczyć to żmudna metoda prób i błędów…
R napisał
Przepraszam, za źle sformułowane, niepełne pytanie. Miałem na myśli, jak zmienią się granice całkowania, jeśli za ln x podstawimy t? 🙂
Marcin napisał
Mam pewne pytanie:
Otóż mamy sobie całkę w granicach od 0 do 2. Po podstawieniu za t , następuje zmiana granic, za 0 ->0 a za 2 -> -2. Moje pytanie: czy całka będzie w granicach analogicznie do pierwotnej całki, od 0 do -2, czy natomiast w granicach od -2 do 0, od najmniejszej do największej.
Wiem być może jest to błahe pytanie ale mnie ono trapi.
Z góry dziękuje za odpowiedz.