blog

Całki oznaczone przez podstawienie – zmiana granic całkowania

Krystian

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


int{2}{5}{{2x}/{x^2-3}dx}

Powyższą całkę oznaczoną należy rozwiązać przez podstawienie x^2-3=t i tu się wszyscy zgadzamy. Co jednak z granicami całkowania?

Granice całkowania w całkowaniu przez podstawienie w całce oznaczonej

Czy można zapisać:

?

Oczywiście nie. Problem z granicami całkowania. W całce oznaczonej po lewej dotyczą się one zmiennej x, a po prawej zmiennej t, powinny więc także ulec zmianie razem ze zmienną.

Jednym wyjściem (zalecam je w swoim Kursie) jest kompletne ominięcie problemu, poprzez rozwiązanie całki nieoznaczonej (bez granic całkowania) na boczku i później wstawienie do wyniku (ze zmienną x) granic całkowania 5 i 2.

Drugim wyjściem jest stawienie czoła problemowi w otwartej walce i zamiana granic całkowania zgodnie z podstawieniem. Skoro granice w zmiennej x wynoszą: 2 i 5, po podstawieniu: t=x^2-3 wyniosą one w zmiennej t odpowiednio: 1 i 22, a wyniki te uzyskałem podstawiając 2 i 5 za x-sa do podstawienia t=x^2-3. Prawidłowym przejściem więc było by:

Podstawienie ze zmianą granic całkowania

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Szczerze powiedziawszy nie żałuję dokonanego wyboru. Przy pomocy tych kursów nie ma zagadnień, których nie dałoby się zrozumieć, ponieważ wszystko jest świetnie tłumaczone, a potem materiał można przećwiczyć na zadaniach i kończąc dany kurs ma się pewność, że ma się wszystko opanowane na 100%. Reasumując jak najbardziej polecam kursy Etrapeza

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Marcin pisze:

    Mam pewne pytanie:
    Otóż mamy sobie całkę w granicach od 0 do 2. Po podstawieniu za t , następuje zmiana granic, za 0 ->0 a za 2 -> -2. Moje pytanie: czy całka będzie w granicach analogicznie do pierwotnej całki, od 0 do -2, czy natomiast w granicach od -2 do 0, od najmniejszej do największej.
    Wiem być może jest to błahe pytanie ale mnie ono trapi.
    Z góry dziękuje za odpowiedz.

  2. R pisze:

    a kiedy podstawiamy 't' za 'ln x'?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Na przykład w takiej całce:

      \int{\frac{\ln x}{x}dx}

      Albo w takiej:

      \int{\frac{{{\ln }^{2}}x}{x}dx}

      Albo w takiej:

      \int{\frac{dx}{x\ln x}}

      Może być i w tej:

      \int{\frac{{{\cos }^{2}}\left( \ln x \right)}{x}dx}

      Niestety, jak widać nie jest możliwe sformułowanie jakiejś bardziej ogólnej odpowiedzi na pytanie „kiedy bierzemy za t lnx”.

      W ogóle w całkach przez podstawienie niestety nie ma reguł typu: „jak jest ułamek, to bierzemy licznik”, albo „jak jest COŚ to podstawiamy COŚ”. Jedyna droga, żeby się tego nauczyć to żmudna metoda prób i błędów…

    2. R pisze:

      Przepraszam, za źle sformułowane, niepełne pytanie. Miałem na myśli, jak zmienią się granice całkowania, jeśli za ln x podstawimy t? 🙂

  3. Aneta pisze:

    Przykład jak najbardziej trafny, nie ważne czy w liczniku jest pochodna mianownika i czy tą całkę da się łatwiej policzyć , ważne jest to by zrozumieć w jaki sposób zmieniamy granice całkowania. Więc darujcie sobie komentarze o złym przykładzie. Ja uważam , że blog jest poprowadzony bardzo dobrze a jeszcze bardziej polecam kursy do odsłuchania;) inwestycja mi się zwróciła;)

  4. Artur pisze:

    słaby przykład, w liczniku pochodna mianownika hehe

  5. Krystian Karczyński pisze:

    Poprawiłem pomyłkę, sorry!

  6. Odyniec pisze:

    u nas Mrozu na PG co chwile się mota w prostych rachunkach, ale potrafi czasem niezłe combosy wycyrać

  7. Switch pisze:

    2^2-3 = 4?
    5^2-3 = 25?

    Takie błędy i „zalecam je w swoim Kursie”…

    1. jotko pisze:

      Naucz się rachować