Całki oznaczone przez podstawienie – zmiana granic całkowania

3 sierpnia 2010 przez Krystian Karczyński 10 komentarzy

$int{2}{5}{{2x}/{x^2-3}dx}$

Powyższą całkę oznaczoną należy rozwiązać przez podstawienie x^2-3=t i tu się wszyscy zgadzamy. Co jednak z granicami całkowania?

Granice całkowania w całkowaniu przez podstawienie w całce oznaczonej

Czy można zapisać:

Oczywiście nie. Problem z granicami całkowania. W całce oznaczonej po lewej dotyczą się one zmiennej , a po prawej zmiennej , powinny więc także ulec zmianie razem ze zmienną.

Jednym wyjściem (zalecam je w swoim Kursie) jest kompletne ominięcie problemu, poprzez rozwiązanie całki nieoznaczonej (bez granic całkowania) na boczku i później wstawienie do wyniku (ze zmienną x) granic całkowania 5 i 2.

Drugim wyjściem jest stawienie czoła problemowi w otwartej walce i zamiana granic całkowania zgodnie z podstawieniem. Skoro granice w zmiennej x wynoszą: 2 i 5, po podstawieniu: t=x^2-3 wyniosą one w zmiennej t odpowiednio: 1 i 22, a wyniki te uzyskałem podstawiając 2 i 5 za x-sa do podstawienia t=x^2-3 . Prawidłowym przejściem więc było by:

Podstawienie ze zmianą granic całkowania

Komentarze

Switch napisał

22 stycznia 2011 at 22:45

2^2-3 = 4?
5^2-3 = 25?

Takie błędy i “zalecam je w swoim Kursie”…

Odpowiedz
- jotko napisał
  
  19 maja 2014 at 19:03
  
  Naucz się rachować
  
  Odpowiedz
Odyniec napisał

14 listopada 2011 at 21:21

u nas Mrozu na PG co chwile się mota w prostych rachunkach, ale potrafi czasem niezłe combosy wycyrać

Odpowiedz
Krystian Karczyński napisał

15 listopada 2011 at 19:15

Poprawiłem pomyłkę, sorry!

Odpowiedz
Artur napisał

25 stycznia 2012 at 23:52

słaby przykład, w liczniku pochodna mianownika hehe

Odpowiedz
Aneta napisał

26 marca 2012 at 19:57

Przykład jak najbardziej trafny, nie ważne czy w liczniku jest pochodna mianownika i czy tą całkę da się łatwiej policzyć , ważne jest to by zrozumieć w jaki sposób zmieniamy granice całkowania. Więc darujcie sobie komentarze o złym przykładzie. Ja uważam , że blog jest poprowadzony bardzo dobrze a jeszcze bardziej polecam kursy do odsłuchania;) inwestycja mi się zwróciła;)

Odpowiedz
R napisał

1 kwietnia 2013 at 18:57

a kiedy podstawiamy ‘t’ za ‘ln x’?

Odpowiedz
- Krystian Karczyński napisał
  
  3 kwietnia 2013 at 13:27
  
  Na przykład w takiej całce:
  
  $\int{\frac{\ln x}{x}dx}$
  
  Albo w takiej:
  
  $\int{\frac{{{\ln }^{2}}x}{x}dx}$
  
  Albo w takiej:
  
  $\int{\frac{dx}{x\ln x}}$
  
  Może być i w tej:
  
  $\int{\frac{{{\cos }^{2}}\left( \ln x \right)}{x}dx}$
  
  Niestety, jak widać nie jest możliwe sformułowanie jakiejś bardziej ogólnej odpowiedzi na pytanie “kiedy bierzemy za t lnx”.
  
  W ogóle w całkach przez podstawienie niestety nie ma reguł typu: “jak jest ułamek, to bierzemy licznik”, albo “jak jest COŚ to podstawiamy COŚ”. Jedyna droga, żeby się tego nauczyć to żmudna metoda prób i błędów…
  
  Odpowiedz
  - R napisał
    
    4 kwietnia 2013 at 19:10
    
    Przepraszam, za źle sformułowane, niepełne pytanie. Miałem na myśli, jak zmienią się granice całkowania, jeśli za ln x podstawimy t? 🙂
    
    Odpowiedz
Marcin napisał

31 sierpnia 2013 at 17:44

Mam pewne pytanie:
Otóż mamy sobie całkę w granicach od 0 do 2. Po podstawieniu za t , następuje zmiana granic, za 0 ->0 a za 2 -> -2. Moje pytanie: czy całka będzie w granicach analogicznie do pierwotnej całki, od 0 do -2, czy natomiast w granicach od -2 do 0, od najmniejszej do największej.
Wiem być może jest to błahe pytanie ale mnie ono trapi.
Z góry dziękuje za odpowiedz.

Odpowiedz