Blog eTrapez

Matematyka na studiach i w szkole średniej

logo
Główna / Całki / Całki oznaczone / Całki oznaczone przez podstawienie – zmiana granic całkowania

Całki oznaczone przez podstawienie – zmiana granic całkowania

przez 10 komentarzy

int{2}{5}{{2x}/{x^2-3}dx}

Powyższą całkę oznaczoną należy rozwiązać przez podstawienie x^2-3=t i tu się wszyscy zgadzamy. Co jednak z granicami całkowania?

Granice całkowania w całkowaniu przez podstawienie w całce oznaczonej

Czy można zapisać:

?

Oczywiście nie. Problem z granicami całkowania. W całce oznaczonej po lewej dotyczą się one zmiennej x, a po prawej zmiennej t, powinny więc także ulec zmianie razem ze zmienną.

Jednym wyjściem (zalecam je w swoim Kursie) jest kompletne ominięcie problemu, poprzez rozwiązanie całki nieoznaczonej (bez granic całkowania) na boczku i później wstawienie do wyniku (ze zmienną x) granic całkowania 5 i 2.

Drugim wyjściem jest stawienie czoła problemowi w otwartej walce i zamiana granic całkowania zgodnie z podstawieniem. Skoro granice w zmiennej x wynoszą: 2 i 5, po podstawieniu: t=x^2-3 wyniosą one w zmiennej t odpowiednio: 1 i 22, a wyniki te uzyskałem podstawiając 2 i 5 za x-sa do podstawienia t=x^2-3. Prawidłowym przejściem więc było by:

Podstawienie ze zmianą granic całkowania

W kategorii: Całki oznaczone, Studia

Darmowe konto na eTrapez

Uzyskaj dostęp do 22 Lekcji Video i poznaj podstawy edukacji matematycznej na studiach i w szkole średniej.

Otrzymuj powiadomienia o nowych materiałach eTrapez, a także kody rabatowe i promocje.

  • Zgadzam się na przetwarzanie powyższych danych osobowych przez stronę etrapez.pl, w zakresie niezbędnym do dostarczenia mi usług edukacyjnych. Akceptuję politykę prywatności i klauzulę nr 1 zgody na przetwarzanie danych osobowych (RODO).

    Reader Interactions

    Komentarze

    5. Przykład jak najbardziej trafny, nie ważne czy w liczniku jest pochodna mianownika i czy tą całkę da się łatwiej policzyć , ważne jest to by zrozumieć w jaki sposób zmieniamy granice całkowania. Więc darujcie sobie komentarze o złym przykładzie. Ja uważam , że blog jest poprowadzony bardzo dobrze a jeszcze bardziej polecam kursy do odsłuchania;) inwestycja mi się zwróciła;)

      Odpowiedz

      • Na przykład w takiej całce:

        \int{\frac{\ln x}{x}dx}

        Albo w takiej:

        \int{\frac{{{\ln }^{2}}x}{x}dx}

        Albo w takiej:

        \int{\frac{dx}{x\ln x}}

        Może być i w tej:

        \int{\frac{{{\cos }^{2}}\left( \ln x \right)}{x}dx}

        Niestety, jak widać nie jest możliwe sformułowanie jakiejś bardziej ogólnej odpowiedzi na pytanie „kiedy bierzemy za t lnx”.

        W ogóle w całkach przez podstawienie niestety nie ma reguł typu: „jak jest ułamek, to bierzemy licznik”, albo „jak jest COŚ to podstawiamy COŚ”. Jedyna droga, żeby się tego nauczyć to żmudna metoda prób i błędów…

      • Przepraszam, za źle sformułowane, niepełne pytanie. Miałem na myśli, jak zmienią się granice całkowania, jeśli za ln x podstawimy t? 🙂

    7. Mam pewne pytanie:
      Otóż mamy sobie całkę w granicach od 0 do 2. Po podstawieniu za t , następuje zmiana granic, za 0 ->0 a za 2 -> -2. Moje pytanie: czy całka będzie w granicach analogicznie do pierwotnej całki, od 0 do -2, czy natomiast w granicach od -2 do 0, od najmniejszej do największej.
      Wiem być może jest to błahe pytanie ale mnie ono trapi.
      Z góry dziękuje za odpowiedz.

      Odpowiedz

    Dodaj komentarz

    Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

    No search term specified.
      Preview
      XX Discount type
      coupon-code
      Expires on xx date