DODAJ SOBIE SKRZYDEŁ NA SESJI - ZGARNIJ DWUPAK REDBULLA!
Razem z każdym zakupem Kursów studenckich otrzymujesz kod na odbiór darmowych Red Bulli.

blog

Różne wyniki, poprawne rozwiązanie, w całkach nieoznaczonych – możliwe?

Krystian Karczyński

Sprawdzając wynik swoich obliczeń w całkach nieoznaczonych z odpowiedziami np. na końcu podręcznika często dojść można do frustrującego punktu, w którym nam po prostu „wychodzi inaczej” i nie możemy pojąc dlaczego.

 

Skąd się biorą różnice?

Warto być świadomym, że obie odpowiedzi mogą być poprawne, to znaczy nasza i z podręcznika. Po pierwsze te samo wyrażenie można zapisać w różny sposób, na przykład:

{x^2-1}/{x+1}+C

po skróceniu da nam:

x-1+C

A na przykład 4x^{-2/3}+C to to samo co: 4/{root{3}{x^2}}+C

Ciekawsze może być jednak to, że wyniki mogą się różnić o stałą i również nie ma z tym problemu, bo przecież sama całka nieoznaczona to z definicji rodzina funkcji różniących się o stałą.

Tak więc:

x-1+C

należy do tej samej rodziny funkcji, co:

x+C

bo różnią się tylko o stałą -1. Oba wyniki są poprawne.

Do tej samej rodziny funkcji należała by też:

x+ln3+C

bo ln3 to stała tak samo jak 2 albo 3.

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Wszystkie poruszone zagadnienia zostały BARDZO przejrzyście wytłumaczone. Myślę, że dla znacznej większości studentów kurs powinien być wystarczający. (Dla tych, dla których te 7 lekcji nie wyczerpie tematu, na pewno kurs będzie dobrą bazą do dalszej nauki). Polecam!

Wojciech Trojak

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

  1. Mateusz pisze:

    Dzień dobry, chciałbym zadać pytanie odnośnie sytuacji, gdy wynik całkowania ma kilka postaci, np. całka z 2sinxcosx dx jest równa każdemu z wyrażeń:

    sin^2(x) + C = – cos^2(x) + C1 = – 1/2 cos(2x) + C2 co łatwo sprawdzić przez różniczkowanie.

    Ja zacząłem to udowadniać w taki sposób: sin^2(x) + 1/2 cos(2x)= sin^2(x) + 1/2(cos^2(x) – sin^2(x) )= 1/2(sin^2(x) + cos^2(x)) = 1/2

    Czyli 1/2 = C1 – C , czyli C1 i C nie są DOWOLNYMI stałymi, tylko muszą być wymierne, a na dodatek dawać w różnicy (w sumie) 1/2

    Podobnie jest w równaniu sin^2(x)+cos^2(x) = C1 – C tutaj też C1 i C nie są dowolnymi stałymi, ponieważ w różnicy (sumie) muszą dać 1.

    I podobnie jest w równaniu – cos^2(x) + C1 = – 1/2 cos(2x)+ C2 , gdzie ostatecznie otrzymuję 1/2= C1-C2, czyli to też nie są dowolne stałe, bo muszą dać 1/2 . Bardzo proszę o pomoc w zrozumieniu tego, po zróżniczkowaniu rzeczywiście jest taki sam wynik, ale może źle rozumuję w moim „dowodzie” ?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Dzień dobry

      Już wyjaśniam.

      „całka z 2sinxcosx dx jest równa każdemu z wyrażeń: {{\sin }^{2}}x+C=-{{\cos }^{2}}x+{{C}_{1}}=-\frac{1}{2}\cos 2x+{{C}_{2}}co łatwo sprawdzić przez różniczkowanie.”

      To, że całka z 2sinxcosx jest równa każdemu z wyrażeń: {{\sin }^{2}}x+C,-{{\cos }^{2}}x+{{C}_{1}},-\frac{1}{2}\cos 2x+{{C}_{2}}, jest PRAWDĄ.

      Natomiast to, że {{\sin }^{2}}x+C=-{{\cos }^{2}}x+{{C}_{1}}=-\frac{1}{2}\cos 2x+{{C}_{2}}NIE JEST PRAWDĄ. Innymi słowy, te wyrażenia nie są wcale równe sobie. Te funkcje się RÓŻNIĄ o stałą.

      Całka nieoznaczona jest to własnie rodzina funkcji różniących się (a nie równych sobie) o stałą.

      Czyli z tego, że całka z 2sinxcosxdx równa się funkcji A oraz równa się funkcji B NIE wynika, że A = B.

      Czyli 1/2 = C1 – C , czyli C1 i C nie są DOWOLNYMI stałymi, tylko muszą być wymierne, a na dodatek dawać w różnicy (w sumie) 1/2

      To jest PRAWDA, jeżeli nałożymy warunek, że funkcje {{\sin }^{2}}x+Ci -\frac{1}{2}\cos 2x+{{C}_{2}}mają być równe, to rzeczywiście stałe Ci C_1nie mogą być zupełnie dowolne, ale te funkcje nie są i nie muszą być wcale równe 🙂

      Prześledźmy to może jeszcze na prostszym przykładzie.

      Funkcje f\left( x \right)=x+1i g\left( x \right)=x+2oczywiście nie są równe, bo: x+1\ne x+2.

      Jednak ich pochodne: {f}'(x)=1i {g}'\left( x \right)=1są sobie równe, bo: 1=1.

      Z równości pochodnych nie wynika równość funkcji.

      Do całki (jako rodziny funkcji) z \int{1dx}należą zarówno funkcje f(x)=x+1, jak i g\left( x \right)=x+2– pomimo tego, że wcale nie są równe 🙂

  2. Mateusz pisze:

    Dziękuję za odpowiedź. Właśnie porównanie tych trzech różnych funkcji wzbudziło moją wątpliwość, ale pytanie jest praktycznie przepisaniem stwierdzenia z książki Romana Leitnera, Wojciecha Matuszewskiego i Zdzisława Rojka „Zadania z matematyki wyższej część II ” . Teraz już zrozumiałem całkowicie sens tych różnych wyników: po prostu te trzy funkcje trygonometryczne, np. dla kąta pi/4 zwrócą nam różne wartości, ale poprzez odpowiednie dobranie stałych ( dlatego oznaczono je jako C, C1 i C2 , żeby podkreślić, że wszystkie stałe nie muszą być takie same- zresztą z tego co widzę, to chyba nigdy te 3 stałe nie będą sobie równe jednocześnie) jesteśmy w stanie uzyskać tę samą wartość. Zanotowałem sobie to co Pan napisał: z równości pochodnych nie wynika równość funkcji ( podobnie jak kiedyś się zastanawiałem z panią doktor na studiach , czy z różniczkowalności funkcji ciągłej wynika ciągłość jej pochodnej, ale doszliśmy do wniosku, że NIE, bo np. skoro dystrybuanta jest całką z gęstości, więc pochodna dystrybuanty to gęstość- dystrybuanta jest zawsze ciągła( mówię tu o rozkładach ciągłych zmiennej losowej), ale jej pochodna, czyli gęstość zmiennej losowej, już ciągła wcale nie musi być 😉 ) . Autorzy zapisując równość pomiędzy tymi trzema różnymi funkcjami pewnie chcieli przez to powiedzieć, to co wyżej napisałem, ale jak widać, dla mnie np. sprawiło to problem, ale notabene widziałem w tej książce jeszcze kilka pomyłek ( może kiedyś powstanie kolejne wydanie z poprawkami 😉 ) A tak na sam koniec jak dla mnie ten problem jest dość ciekawy, chociaż można się było spodziewać, że dla tych trzech różnych funkcji można dobrać takie stałe, aby każda z jej wartości dla danego argumentu była taka sama ( w końcu są to funkcje okresowe, pochodzące od funkcji sinus(x) i cosinus(x) przesuniętych w fazie o pi/2 między sobą). Tak na pierwszy rzut oka to naprawdę ciężko jest wychwycić fakt, dlaczego te 3 różne funkcje są poprawnymi wynikami tej samej całki nieoznaczonej. Dziękuję raz jeszcze i pozdrawiam