Podstawienia Eulera I rodzaju

---

Podstawienia Eulera – komu to potrzebne?

Podstawienia Eulera w całkach nieoznaczonych są następną rzeczą, którą wprowadza się po całkach wymiernych, całkach trygonometrycznych i całkach z pierwiastkami (albo według niektórych klasyfikacji: “całkach niewymiernych”). Co oznacza, że większość studentów nie będzie miała przyjemności się z nimi spotkać, nie ująłem ich także w moim Kursie Całek Nieoznaczonych .

Pozostaje jednak całkiem spora grupa studentów na kierunkach matematycznych, albo naprawdę, naprawdę “mocnych” matematycznie, którzy z podstawieniami Eulera muszą się zmierzyć i tych (a także ciekawych) zapraszam. Omówię wszystkie trzy rodzaje podstawień Eulera (w tym poście wezmę się za I rodzaj) i do każdego zrobię po jednym przykładzie.

Jedziemy.

Jakie całki rozwiązujemy podstawieniami Eulera?

Podstawieniami Eulera rozwalamy całki typu:

…czyli jakieś dowolne związki   i  . Można je więc potraktować jako pewne “przedłużenie” tematu całek z pierwiastkami (“niewymiernych”).

Podstawieniami Eulera rozwalamy całki, których nie da się rozwiązać prościej, oczywiście. Na przykład całka:

to jest całka, w której mamy związek i , ale można ją rozwiązać bardzo prosto przez głupie podstawienie: . Nie strzelamy więc z armaty do wróbla i w takich prostych całkach nie męczymy się Eulerem.

Weźmy jednak całkę:

Widzimy, że sytuacja jest poważniejsza, sprawy nie rozwiążą nam znane wcześniej podstawienia , czy  (nie wyznaczymy z nich ).

Potrzebujemy nowej broni.

Podstawienia Eulera – I rodzaj

Mając całkę:

w której ,

stosujemy podstawienie:

, podnosimy obie strony do kwadratu, składniki  się skracają (i o to chodzi), wyznaczamy (w kolejności):

, wyrażone związkami t, podstawiamy do całki wyjściowej:

i mamy całkę zmiennej t (jeśli ostały nam się w niej jakieś x-sy, to popełniliśmy błąd) i jest to całka wymierna.

Uwaga

Warto jeszcze dodać, że w praktyce wielu studentów ma wprowadzone podstawienia Eulera tylko I rodzaju i tylko do całek typu:

, czyli takich, w których jakby

Prześledźmy podstawienia Eulera I rodzaju w akcji,  na przykładzie:

Przykład 1

Stwierdzamy, że jest to całka, w której jest związek i . Że nie da się rozwiązać ją prosto. Że   ( to oczywiście współczynnik przy , w naszym przykładzie jest on równy 1).

Czyli brykać będziemy podstawieniem Eulera I rodzaju.

Podstawiam:

czyli po prostu:

podnoszę obie strony do kwadratu:

Składniki z  po obu stronach się skracają (i tak ma właśnie być za każdym razem):

No i teraz właśnie trzeba wyznaczyć , i  (w tej kolejności).

Zaczniemy od :

Mamy wyrażone zmienną t. Teraz kolej na , czyli w naszym przykładzie: .

Wracamy się do naszego pierwszego podstawienia, w którym było:

Teraz znamy już  (widać, dlaczego ważna jest kolejność, prawda?), możemy więc napisać:

czyli:

Mamy więc  wyrażone zmienną .

Na koniec , które bierzemy już po prostu różniczkując obie strony wyznaczonego :

I w ten sposób wyznaczamy . Mamy więc:

Wstawiamy to wszystko do całki wyjściowej:

Na pierwszy rzut oka wygląda nam to na nudną, żmudną, ale już znana i schematyczna całka wymierna (rozkład na ułamki proste, drugi czynnik w mianowniku da się jeszcze bardziej rozłożyć). Na ogół tak jest, ale w tym konkretnym przykładzie będziemy mieli trochę szczęścia i przebijanie się przez 3 strony a4 obliczeń zostanie nam oszczędzone:

Jak wrócić się podstawieniem? Mieliśmy na początku:

Stąd oczywiście:

Czyli nasz wynik to:

CDN. (mamy jeszcze dwa rodzaje podstawień Eulera, co jeśli współczynnik  nie jest większy od zera?).