
Delta równa zero w całkach nieoznaczonych wymiernych
Krystian KarczyńskiRozkład na czynniki trójmianu kwadratowego
W całkach nieoznaczonych wymiernych zachodzi (często) konieczność rozkładu na czynniki trójmianu kwadratowego: . Robimy to oczywiście ze wzoru:
, który działa wtedy, gdy
.
Jak wygląda jednak ten dwumian, gdy delta równa jest konkretnie i dokładnie ? Na przykład jak wyglądać będzie rozłożone na czynniki:
(
,
)?
Czy może tak: ?
Oczywiście nie… Ze szkoły średniej pamiętamy, że jeśli wychodził nam faktycznie jeden pierwiastek, ale był to pierwiastek podwójny. Zatem w naszym przykładzie można powiedzieć, że:
, czyli trójmian kwadratowy rozłożony na czynniki wyglądać będzie tak:
Ma to spore konsekwencje w całkach nieoznaczonych wymiernych przy okazji rozkładu na ułamki proste. Weźmy przykład:
Rozbieramy na boczku sam ułamek bez całki, czyli piszemy:
Na dole wyciągamy x przed nawias:
Z trójmianu kwadratowego na dole liczymy deltę, wychodzi , oraz pierwiastek – wychodzi
. Rozkładając na czynnik uzyskujemy więc:
A rozkładając na ułamki proste: