Matematyka na studiach i w szkole średniej

Delta równa zero w całkach nieoznaczonych wymiernych

6 września 2010 przez Krystian Karczyński Zostaw komentarz

Rozkład na czynniki trójmianu kwadratowego

W całkach nieoznaczonych wymiernych zachodzi (często) konieczność rozkładu na czynniki trójmianu kwadratowego: . Robimy to oczywiście ze wzoru: , który działa wtedy, gdy 0″ title=”Delta>0″/>.

Jak wygląda jednak ten dwumian, gdy delta równa jest konkretnie i dokładnie ? Na przykład jak wyglądać będzie rozłożone na czynniki: (, )?

Czy może tak: ?

Oczywiście nie… Ze szkoły średniej pamiętamy, że jeśli wychodził nam faktycznie jeden pierwiastek, ale był to pierwiastek podwójny. Zatem w naszym przykładzie można powiedzieć, że: , czyli trójmian kwadratowy rozłożony na czynniki wyglądać będzie tak:

Ma to spore konsekwencje w całkach nieoznaczonych wymiernych przy okazji rozkładu na ułamki proste. Weźmy przykład:

$int{}{}{dx/{2x^3+4x^2+2x}}$

Rozbieramy na boczku sam ułamek bez całki, czyli piszemy:

$1/{2x^3+4x^2+2x}$

Na dole wyciągamy x przed nawias:

$1/{2x^3+4x^2+2x}=1/{x(2x^2+4x+2)}$

Z trójmianu kwadratowego na dole liczymy deltę, wychodzi , oraz pierwiastek – wychodzi . Rozkładając na czynnik uzyskujemy więc:

$1/{2x^3+4x^2+2x}=1/{x(2x^2+4x+2)}=1/{x2(x+1)(x+1)}=1/{2x(x+1)^2}$

A rozkładając na ułamki proste:

$1/{2x(x+1)^2}=A/{2x}+B/{x+1}+C/(x+1)^2$

Dołącz do ponad 3 300 użytkowników na Akademii eTrapez

Zarejestruj darmowe konto i uzyskaj natychmiastowy dostęp do 20 Lekcji Video.
Poznaj podstawy matematyczne na studiach. Za darmo. We własnym domu.

Zarejestruj darmowe konto

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi