Delta równa zero w całkach nieoznaczonych wymiernych

Krystian

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.

Rozkład na czynniki trójmianu kwadratowego

W całkach nieoznaczonych wymiernych zachodzi (często) konieczność rozkładu na czynniki trójmianu kwadratowego: ax^2+bx+c . Robimy to oczywiście ze wzoru: ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2) , który działa wtedy, gdy $increment greater than 0$ .

Jak wygląda jednak ten dwumian, gdy delta równa jest konkretnie i dokładnie ? Na przykład jak wyglądać będzie rozłożone na czynniki: x^2-4x+4 ( Delta=0 , x_0=2 )?

Czy może tak: x^2-4x+4=1(x-2) ?

Oczywiście nie… Ze szkoły średniej pamiętamy, że jeśli Delta=0 wychodził nam faktycznie jeden pierwiastek, ale był to pierwiastek podwójny. Zatem w naszym przykładzie można powiedzieć, że: x_1=x_2=2 , czyli trójmian kwadratowy rozłożony na czynniki wyglądać będzie tak:

x^2-4x+4=1(x-2)(x-2)=(x-2)^2

Ma to spore konsekwencje w całkach nieoznaczonych wymiernych przy okazji rozkładu na ułamki proste. Weźmy przykład:

$int{}{}{dx/{2x^3+4x^2+2x}}$

Rozbieramy na boczku sam ułamek bez całki, czyli piszemy:

$1/{2x^3+4x^2+2x}$

Na dole wyciągamy x przed nawias:

$1/{2x^3+4x^2+2x}=1/{x(2x^2+4x+2)}$

Z trójmianu kwadratowego na dole liczymy deltę, wychodzi , oraz pierwiastek – wychodzi ~-1 . Rozkładając na czynnik uzyskujemy więc:

$1/{2x^3+4x^2+2x}=1/{x(2x^2+4x+2)}=1/{x2(x+1)(x+1)}=1/{2x(x+1)^2}$

A rozkładając na ułamki proste:

$1/{2x(x+1)^2}=A/{2x}+B/{x+1}+C/(x+1)^2$

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Świetny kurs, zagadnienia wytłumaczone w bardzo przystępny sposób. Niech o jego jakości świadczy fakt, że po jednorazowym wysłuchaniu i zrobieniu wszystkich zadań zdałam statystykę, z której miałam już dwa razy warunek.

Ewelina

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Estymacja przedziałowa i przedział ufności dla średniej (znane odchylenie w populacji sigma)

18 czerwca 2021 / Krystian

Czytaj więcej

Granica ciągu z wzorem na liczbę e (VIDEO)

22 stycznia 2021 / Krystian

Czytaj więcej

Kup Kurs eTrapez i zgarnij dwupak Red Bull

18 stycznia 2021 / Jan

Czytaj więcej

Najpopularniejsze Kursy

Zobacz demo