Całki oznaczone z definicji

Całki Oznaczone Wykład 2

Temat: Całkowalność dowolnej funkcji ciągłej

Streszczenie

Na poprzednim Wykładzie zdefiniowałem całkę oznaczoną jako pewną sumę. Przypomnij sobie tą definicję i zastanów się, czy liczenie całek oznaczonych przy jej pomocy jest:

a) Łatwe

b) Trudne

Definicja całki oznaczonej

Obrazek powyżej dla przypomnienia, a definicja szła tak:

Mamy funkcje ciągłą określoną na przedziale . Jej całką oznaczoną na tym przedziale nazywamy sumę:

gdzie to długości przedziałów, na które podzielony jest odcinek , a punkty to punkty wewnątrz tych przedziałów.

Przy czym (i to jest bardzo ważne „przy czym”):

długości wszystkich przedziałów muszą dążyć do 0 wraz ze wzrostem n
ta suma musi być taka sama dla byle jak obranych przedziałów
ta suma musi być taka sama dla byle jak obranych punktów wewnątrz przedziałów

Zwróć uwagę na te dwa ostatnie warunki. Powiedzmy, że chcemy obliczyć – korzystając z definicji – prościutką całkę:

Na wykresie ta całka to było by pole zaznaczone poniżej:

Aby obliczyć to pole z definicji, bez użycia dodatkowy twierdzeń, NIE wystarczyło by na przykład podzielić odcinek na RÓWNYCH odcinków (każdy miałby długość: ):

NIE WYSTARCZY teraz obranie punktów na przykład równo w środku tych przedziałów:

NIE WYSTARCZY obliczyć tak otrzymaną sumę całkową (czyli geometrycznie rzecz biorąc zsumować pola tych prostokątów):

(odcinek o długości 1 dzielmy na równych części)

Moja suma będzie więc równa:

Korzystając ze wzoru na sumę kwadratów n kolejnych liczby nieparzystych (jest coś takiego):

No ale to wszystko NIE WYSTARCZY (mimo, że oczywiście wynik jest dobry i to pole jest faktycznie równe ), aby policzyć z definicji całkę:

Dlaczego?

Przecież:

Podzieliłem odcinek na 'n’ równych odcinków
Wybrałem pośrodku każdego takiego odcinka punkt
Obliczyłem sumę długości tych odcinków przemnożonych przez wartość funkcji w punktach (czyli pola prostokątów)
Ta suma wyszła skończona (), a długości 'n’ równych odcinków były nieskończenie małe przy 'n’ dążącym do nieskończoności

Dlaczego więc nie mogę więc (jeszcze) stwierdzić, że:

Ano niestety dlatego, że w samej definicji całki oznaczonej jest warunek, że owszem, suma całkowa ma być zbieżna (i jest), ale oprócz tego jest tam napisane, że ma być zbieżna do jednej i tej samej liczby dla dowolnego podziału przedziału i dla dowolnego wyboru punktów .

Ja natomiast jedyne co zrobiłem, to wykazałem, że suma jest zbieżna do dla jednego, wybranego przeze mnie podziału odcinkami (był to akurat podział na równe części) i dla jednego, wybranego przeze mnie sposobu obrania punktów (wybrałem sobie równo pośrodku przedziałów ).

Nie oznacza to jednak jeszcze, że:

Aby to wykazać (na gruncie samej, samiusieńkiej definicji) musiałbym jakoś pokazać, że dla wszystkich sposobów podziału odcinka przedziałami i dla wszystkich możliwych wyborów punktów pośrednich , zawsze i we wszystkich przypadkach suma całkowa równa jest .

Czy znasz już odpowiedź na pytanie testowe z początku wykładu:

czy liczenie całek oznaczonych przy jej pomocy jest:

a) Łatwe

b) Trudne

Oczywiście nie będę nawet próbować dobierać się do tak określonego samobójczego zadania. Potrzebuję czegoś więcej, dodatkowej artylerii. Będzie nią nowe twierdzenie (czyli z bólem serca wykraczam już poza samą, czystą definicję).

Twierdzenie o całkowalności funkcji ciągłej

Każda funkcja ciągła w przedziale jest w tym przedziale całkowalna.

Twierdzenie proste jak konstrukcja cepa, prawda? Ale co właściwie z niego wynika i w czym może mi pomóc w obliczeniu z definicji całki:

Zapiszę je może innymi słowami i samo mi to wyjdzie:

Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale , to dla dowolnego podziału odcinka przedziałami i dla dowolnego wyboru punktów pośrednich jej suma całkowa zbiega do tej samej liczby.

Prawda? Bo taki jest właśnie sens słowa „całkowalna”. A logicznym wnioskiem z powyższego twierdzenia jest:

Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale
Jeżeli znalazłem taki jeden z możliwych podziałów przedziałami i punktami , dla którego suma całkowa zbiega do pewnej liczby,

to:

Zgodnie z twierdzeniem o całkowalności funkcji ciągłej dla każdego innego podziału każda „inna” suma całkowa będzie zbiegać do tej samej liczby (bo jeśli jest ciągła, to dla dowolnego zbiega do tej samej)!

Czyli – mając funkcję ciągłą – możesz obliczyć jej sumę całkową dla dowolnego wybranego przez Ciebie podziału (np. podziału na równe odcinki i punktach pośrednich pośrodku), powołać się na twierdzenie o całkowalności funkcji ciągłej i wyznaczyć w ten sposób (w końcu) całkę oznaczoną z definicji.

Wracając więc do mojego przykładu na całkę:

Wszystko było w porządku i wszystkie obliczenia były ważne, na końcu jednak trzeba by jeszcze dopisać:

Zgodnie z twierdzeniem o całkowalności funkcji ciągłej (funkcja jest oczywiście funkcją ciągłą na przedziale ), z tego, że suma całkowa dla wybranego przeze mnie podziału na i wyszła równa wynika, że dla dowolnego innego podziału też jest ona równa , a więc: