Co to jest całka nieoznaczona?

Całki Nieoznaczone Wykład 1

Temat: Całki nieoznaczone. Wprowadzenie. Definicja.

Streszczenie

Na wykładzie wprowadzimy pojęcie całek nieoznaczonych. Do zrozumienia Wykładu KONIECZNA jest znajomość i zrozumienie tego, czym są pochodne funkcji (sama umiejętność ich liczenia z wzorków nie wystarczy) – wystarczą na przykład moje dwa pierwsze wykłady z pochodnych funkcji na tym blogu.

Video

Na filmiku pokazuję rzeczy związane z Wykładem – możesz go obejrzeć przed przeczytaniem reszty:

Czym była pochodna funkcji? Czym będzie całka nieoznaczona?

Do pojęcia pochodnej funkcji na Wykładzie 1 z Pochodnych Funkcji doszliśmy następująco:

1. Mierząc ze stoperem odcinki drogi pokonywane przez sanki wyznaczyliśmy funkcję drogi w zależności od czasu (wyszła nam ona wtedy: )
2. Biorąc coraz bardziej precyzyjną miarę prędkości średnich obliczyliśmy dokładną prędkość sanek w 2 sekundzie ruchu
3. Stwierdziliśmy, że sposób na wyznaczenie prędkości w 2 sekundzie ruchu moglibyśmy zastosować w każdej innej sekundzie ruchu i wyznaczyć odpowiadającą jej prędkość i w ten sposób doszliśmy do pojęcia pochodnej funkcji – czyli funkcji przyporządkowującej kolejnym sekundom ruchu wartości prędkości sanek w tych sekundach

Skracając: mając daną funkcję zależności drogi od czasu wyznaczyliśmy funkcję zależności prędkości od czasu.

Nietrudno sobie wyobrazić, że często działać trzeba ODWROTNIE: mając daną funkcję prędkości trzeba wyznaczyć funkcję zależności drogi od czasu. W naszym przykładzie z sankami moglibyśmy sobie wyobrazić, że siedzimy na sankach i spisujemy prędkości sanek z licznika (nie wiem, czy są jakieś sanki z prędkościomierzem ale na pewno kiedyś takie wymyślą). Mając dane w jaki sposób zmieniała się prędkość w zależności od czasu pytalibyśmy się, jak zmieniała się droga w zależności od czasu.

Wyznaczenie takiej funkcji było by właśnie całkowaniem (ścisłe definicje pójdą za moment).

Widać, że problem nie jest wcale taki wydumany – często mamy prędkość, a nie mamy drogi i nie chodzi wcale zawsze o prędkość mechaniczną.

Czym była pochodna funkcji w innym rozumieniu? Czym będzie całka nieoznaczona?

Pojęcie pochodnej funkcji wprowadziłem również na 2 Wykładzie z Pochodnych Funkcji nie odwołując się już do jakiś prędkości, tylko:

1. Definiując styczną do wykresu funkcji w punkcie (jako położenie graniczne siecznych)
2. Definiując pochodną funkcji w punkcie jako tangens kąta nachylenia tej stycznej (do osi OX)
3. Definiując pochodną funkcji jako funkcję tych wszystkich wartości tangensów z punktu 2 (w każdym punkcie x była jakaś styczna i jakiejś jej nachylenie)

Czyli skracając: mieliśmy dany wykres funkcji, wyznaczaliśmy jej styczne w każdym punkcie (tangensy nachyleń tych stycznych to były wartości pochodnych).

Domyślamy się już, czym będzie całka nieoznaczona w tym wypadku? Odwróceniem całej sprawy. Mając dane styczne do wykresu trzeba wyznaczyć wykres.

Definicja całki nieoznaczonej

Przykłady:

Zauważmy, że na przykład funkcjami pierwotnym funkcji są zarówno funkcje: , jak i: , , czy: (bo ich pochodne zawsze równe będą ).

W ten sposób dochodzimy do twierdzenia:

Z Twierdzenia wynika, że dowolne funkcje pierwotne różnią się tylko o stałą, czyli całą rodzinę funkcji pierwotnych można zapisać jako:

, gdzie  jest to jakaś, byle jaka, funkcja pierwotna.

W sposób naturalny więc dochodzimy do naszego dzisiejszego gwoździa programu, czyli do tego, jaka jest…

Znaczek: jest bardzo stary (historycznie) i traktuj go jak zwykłe oznaczenie całki (tak samo jak znaczek: oznaczający obliczanie pochodnych).
Znaczek: w całce oznacza właściwie różniczkę, ale skoro jak na razie na moich Wykładach również za dużo o różnicce nie pisałem traktuj go po prostu jako część oznaczenia całki.

Uwaga 1

Zauważ, że z definicji funkcji pierwotnej (pewna funkcja w pewnym przedziale) wynika, że całki będziemy obliczać zawsze z funkcji określonych w pewnych przedziałach x, a nie – tak jak w pochodnych bywało – ich wartości w punktach przy użyciu granic. Oczywiście całka jako funkcja przyjmuje jakąś wartość w punkcie, ale kolejność będzie zawsze taka:

1. Obliczamy całkę z funkcji i dostajemy w wyniku tego funkcję
2. Obliczamy wartość tej funkcji w konkretnym punkcie

…a jest to jakby trochę “na odwrót” niż w pochodnych bywało.

Uwaga 2

Stała C w całce nieoznaczonej ma sens w obu interpretacjach pochodnej (pochodna jako prędkość w punkcie i jako tangens nachylenia stycznej). Rzeczywiście, zastanówmy się:

1. W pierwszej interpretacji pochodnej, wyobraźmy sobie, że mamy daną całą wiedzę o tym, jak zmieniała się prędkość sanek w czasie. Możemy na tej podstawie zrekonstruować, jak zmieniała się droga w czasie ruchu, kiedy sanki przebyły 10 metrów, a kiedy 100. NIE MOŻEMY jednak stwierdzić, gdzie sanki zaczęły swój ruch, czy w połowie górki, czy na szczycie górki, czy w Białymstoku. Te różne położenia początkowe sanek różnią się właśnie o stałą C – na przykład w metrach.
2. W drugiej interpretacji pochodnej, wyobraźmy sobie, że mamy narysowane na wykresie wszystkie styczne do krzywej w każdym punkcie. Czy kąty nachylenia tych stycznych (a one właśnie wyznaczają pochodną) zmienią się, jeżeli wykres podniesiemy o 4 jednostki w górę, albo o kilka w dół? Oczywiście nie. Wszystkie takie wykresy funkcji, identyczne, ale różniące się położeniem góra-dół to właśnie funkcje pierwotne różniące się o stałą C.

Pisząc tego posta korzystałem z…

1. “Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom II.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966.

KONIEC

Kliknij tutaj, aby zobaczyć, jaki jest związek pomiędzy całką nieoznaczoną, a obliczaniem pola (następny Wykład) –>

Kliknij tutaj, aby powrócić na stronę z wykładami o całkach nieoznaczonych