Vamos a calcular el rango de la matriz:
Solución
Puedes abordar esto de varias maneras, y probablemente la forma más rápida es multiplicar la quinta columna por -1 y sumarla a la primera, segunda, tercera y cuarta columna, obteniendo así:
Ahora, tomemos el determinante de la matriz de cuarto grado:
Un determinante donde todos los elementos excepto la diagonal principal son cero es igual al producto de los elementos en la diagonal principal (algún día lo demostraré 🙂 ), por lo tanto:
Este determinante es diferente de cero para todos los a distintos de 1. Por lo tanto, para esos a, el rango de nuestra matriz, que necesitamos calcular, es 4 (porque se puede extraer un menor no nulo de cuarto grado, y no se puede obtener uno mayor).
¿Qué pasa con el caso en el que 
. Entonces obtenemos el rango de la matriz (sustituyendo a por 1):
Y este rango es 1 (puedes, por ejemplo, nuevamente usar la quinta columna sobre las demás y eliminar las columnas cero).
Por lo tanto, para a distinto de 1, el rango de la matriz es 4, y para a igual a 1, el rango de la matriz es 1.
