حساب حدود المتتاليات بمجموع المربعات والمكعبات

في حدود المتتاليات، أحيانًا تكون هكذا:

وأحيانًا تكون هكذا:

ماذا نفعل حينها؟

الجواب بسيط:

الصيغ كانت كالتالي:

الصيغ – كأي صيغ – لحفظها عن ظهر قلب. إذا كنت قد واجهت أمثلة مماثلة وتحتاجها بالفعل.

بمعرفة هذه الصيغ يصبح حساب الحدود الخاصة بنا سهلاً للغاية:

الحد التالي:

يمكن إثبات صحة الصيغ بسهولة نسبية باستخدام الاستقراء (على الأقل قبل بضع سنوات كان هذا معيارًا في المدرسة الثانوية). سأقوم بذلك للصيغة التالية:

الخطوة الاستقرائية الأولى

نتحقق من صحة الصيغة عندما n=1:

صحيح

الخطوة الاستقرائية الثانية

نفترض الفرضية، أنه بالنسبة لعدد طبيعي معين n:

الخطوة الاستقرائية الثالثة

نثبت النظرية (باستخدام الفرضية المفترضة) أنه بالنسبة ل n+1 فإن الصيغة تنطبق أيضًا، أي:

على الجانب الأيسر بدلاً من نضع الصيغة من الفرضية، وعلى الجانب الأيمن نقوم بالترتيب فقط:

ثم بدلاً من العمل بشكل متعجل نتصرف بدقة أكبر:

أي أن النظرية قد ثبتت. الصيغة قد ثبتت بالاستقراء.

أدعوكم لإثبات الصيغة الثانية بالاستقراء، لمجموع المكعبات:

حدود المتتالية بمجموع المربعات أو مجموع المكعبات