المعادلات المتعددة الحدود المركبة القابلة للتحويل إلى معادلات تربيعية

---

اختزال بعض المعادلات من الدرجة الرابعة إلى معادلات تربيعية

العديد من المعادلات الحدودية من الدرجة الرابعة يمكن تحويلها إلى معادلات تربيعية باستخدام الحيلة المعروفة جيدًا من المدرسة الثانوية الموضحة هنا:

اختزال إلى معادلة تربيعية

هذا ينطبق بالطبع أيضًا على المعادلات الحدودية بالأعداد المركبة.

أذكركم، الفكرة هي أن لدينا معادلة:

{{z}^{4}}+3{{z}^{2}}+2=0

نقوم بتبديل: {{z}^{2}}=t

ونصل إلى معادلة تربيعية:

{{t}^{2}}+3{t}+2=0

ثم نقوم بحلها باستخدام دلتا العادية وما إلى ذلك، نحصل على الحلول , مع تذكر أن نكون منها معادلتين إضافيتين:

أو

نحلها ونحصل على أربعة حلول: .

اختزال بعض المعادلات من درجات أكبر إلى معادلات تربيعية

لا يوجد أي مانع على الإطلاق من توسيع هذه الطريقة لتشمل المعادلات من درجات أكبر من 4 (إذا كان بالإمكان تحويلها إلى تربيعية عن طريق التبديل).

إذًا لدينا:

2{{z}^{6}}-5{{z}^{3}}+4=0

يمكن أيضًا ملاحظة أنه يعادل:

2{( {z}^{3})^{2}}-5{{z}^{3}}+4=0

وبعد التبديل:

نصل إلى معادلة تربيعية:

2{{t}^{2}}-5t+4=0

في المعادلة:

{{x}^{10}}-3{{x}^{5}}+1=0

بعد التبديل:

نحصل على:

{{t}^{2}}-3t+1=0

وهكذا دواليك…

مثال

لنأخذ المعادلة:

z^6+(1-i)z^3-i=0

نقوم بتبديل z^2=t ولدينا:

t^2+(1-i)t-i=0

ثم نتابع الحساب:

نحسب هذه الجذور باستخدام الطرق المعروفة للأعداد المركبة (الموضحة مثلا في دورتي).

لدينا أو

يعني:

نذكر أن هذه ليست حلولًا بعد، لأن z^3=t

يعني لدينا لحل المعادلات:

z^3=-1

وكذلك:

z^3=i

نحولها إلى:

وكذلك

وباستخدام الطرق المعروفة نحسب ثلاث جذور من المعادلة الأولى:

وكذلك ثلاث جذور من المعادلة الثانية:

تم الحل 🙂