In den Grenzen von Folgen sieht es manchmal so aus:
und manchmal sogar so:
Was dann?
Die Antwort ist einfach:
Formeln für die Summe der Quadrate und die Summe der Kuben aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen.
Sie gehen so:
Formeln – wie alle Formeln – sind auswendig zu lernen. Wenn du ähnliche Beispiele hattest und sie wirklich brauchst.
Wenn man diese Formeln kennt, wird das Berechnen unserer Grenzen ganz einfach:
Nächste Grenze:
Induktive Beweise für Formeln
Die Gültigkeit der Formeln kann ziemlich leicht induktiv bewiesen werden (zumindest vor einigen Jahren war dies in der Schule Standard). Ich werde dies für die folgende Formel tun:
1. 
Induktionsschritt 1
Wir überprüfen die Gültigkeit der Formel für n=1:
Stimmt
Induktionsschritt 2
Wir nehmen Annahme an, dass für eine natürliche Zahl n:
Induktionsschritt 3
Wir beweisen die These (unter Verwendung der angenommenen Annahme), dass die Formel auch für n+1 gilt, d.h.:
Auf der linken Seite setzen wir anstelle von 
die Formel aus der Annahme ein, auf der rechten Seite ordnen wir einfach:
Und dann, anstatt es mit Gewalt zu erzwingen, arbeiten wir etwas subtiler:
Also ist die These bewiesen. Die Formel ist induktiv bewiesen.
Ich lade euch ein, die zweite Formel induktiv zu beweisen, für die Summe der Kuben:
