函数在一点的连续性
如我们所知（即使只是从我的极限课程中），函数 
在点 
处是连续的，当：
也就是说，当函数在这一点的左极限等于右极限等于这一点的函数值时，函数在这一点是连续的。
如果这些等式中的任何一个不成立，那么函数 在点 处不连续，这一点被称为不连续点。
在这个命名中，我们可以更进一步区分不连续点。我们这样做：
第一类不连续点
当 点称为第一类不连续点时，如果极限 
是有限的（即它们是数字）。
另外，如果这些极限是相等的，那么这个第一类不连续点称为可去除的。
第二类不连续点
当 点称为第二类不连续点时，如果极限 不是有限的（即它们等于正无穷或负无穷）。
例子 1
这个函数在 
点处有一个不连续点（因为这一点的左极限等于 0，右极限等于 1）。这是一个第一类不连续点，因为这一点的左极限和右极限是有限的（0 和 1）。这不是一个可去除的第一类不连续点，因为极限不相等。
例子 2
这个函数在 
点处有一个不连续点（因为这一点的左极限和右极限不等于这一点的函数值）。这是一个第一类不连续点，因为这一点的左极限和右极限是有限的（等于 1）。这是一个可去除的第一类不连续点，因为左极限和右极限相等。
例子 3
这个函数在 点处有一个不连续点（因为这一点的左极限和右极限不相等）。这是一个第二类不连续点，因为这一点的左极限等于 
。
