نوعان من نقاط الانقطاع (حدود الوظيفة)

استمرارية الدالة في نقطة

كما نعلم جميعًا (ولو من دورة الحدود التي أقدمها) فإن الدالة مستمرة في النقطة ، عندما:

يعني عندما تكون النهاية من الجهة اليسرى لهذه الدالة في هذه النقطة تساوي النهاية من الجهة اليمنى لهذه الدالة في هذه النقطة تساوي قيمة الدالة في هذه النقطة.

إذا لم تتحقق أي من هذه المتساويات، فإن الدالة ليست مستمرة في النقطة ، وتسمى هذه النقطة نقطة عدم استمرارية.

وفي هذا السياق يمكننا أن نمضي خطوة إضافية ونتعرف على أنواع نقاط عدم الاستمرارية. نفعل ذلك على النحو التالي:

نقاط عدم الاستمرارية من النوع الأول

تسمى النقطة بنقطة عدم استمرارية من النوع الأول إذا كانت النهايات محدودة (أي ببساطة هي أعداد).

بالإضافة إلى ذلك، إذا كانت هذه النهايات متساوية، فإن نقطة عدم الاستمرارية من النوع الأول تسمى قابلة للإزالة.

نقاط عدم الاستمرارية من النوع الثاني

تسمى النقطة بنقطة عدم استمرارية من النوع الثاني إذا كانت إحدى النهايات غير محدودة (أي ببساطة تساوي مالانهاية موجبة أو سالبة).

مثال 1

هذه الدالة تحتوي في النقطة على نقطة عدم استمرارية (لأن النهاية من الجهة اليسرى في هذه النقطة تساوي 0 والنهاية من الجهة اليمنى 1). هذه نقطة عدم استمرارية من النوع الأول لأن النهايات من الجهة اليسرى واليمنى في هذه النقطة محدودة (0 و1). لكنها ليست نقطة عدم استمرارية قابلة للإزالة لأن النهايات ليست متساوية.

مثال 2

هذه الدالة تحتوي في النقطة على نقطة عدم استمرارية (لأن النهايات من الجهة اليسرى واليمنى في هذه النقطة لا تساوي قيمة الدالة في هذه النقطة). هذه نقطة عدم استمرارية من النوع الأول لأن النهايات من الجهة اليسرى واليمنى محدودة (وتساوي 1). وهذه نقطة عدم استمرارية قابلة للإزالة لأن النهايات من الجهة اليسرى واليمنى متساوية.

مثال 3

هذه الدالة تحتوي في النقطة على نقطة عدم استمرارية (لأن النهايات من الجهة اليسرى واليمنى في هذه النقطة غير متساوية). هذه نقطة عدم استمرارية من النوع الثاني لأن النهاية من الجهة اليسرى في هذه النقطة تساوي .