Цей пост уже третій поспіль, у якому я хочу звернути вашу увагу на речі, які варто повторити на самому початку вивчення математики в університеті. Швидке повторення цих тем значно полегшить ваше життя в університеті. У попередніх постах я розглянув теми:
Геометрична інтерпретація абсолютної величини
Сьогодні черга за квадратичною функцією.
Квадратична функція? Але ми ж це, здається, два місяці робили…
Тема квадратичної функції, звісно, дуже широка, і я зовсім не маю на увазі, що потрібно взяти підручник зі школи і переглянути весь розділ від початку до кінця.
Зосередимося лише на кількох важливих деталях, нюансах і пастках.
Квадратична функція та квадратичне рівняння
Квадратична функція – це, звісно, щось таке:
або: 
Де 
– це будь-які числа. Приклади квадратичних функцій:
тощо…
Поняття квадратичної функції слід відрізняти від поняття квадратичного рівняння, наприклад:
тощо…
Це не те саме!!!!
– це квадратична функція, а 
– це квадратичне рівняння.
Нерозрізнення функції від рівняння часто призводить до…
Жахлива помилка номер 1
Наприклад, обчислюючи похідні та маючи дану функцію:
Люди часто роблять щось подібне:
…і далі обчислюють, що потрібно.
Вони помиляються, тому що пам’ятають, що можна було робити таке з рівняннями:
…і з рівняннями все добре, можна ділити обидві сторони, 0 праворуч поділене на 2 дійсно дає 0 і рівняння є еквівалентними (мають однакові розв’язки).
Але цей трюк не можна виконувати з функціями – потрібно ж якось поділити також це y зліва і т.д. Проста ділення значення функції на 2 дає іншу функцію!
Що слід повторити з функцій?
Не так багато. Власне, тільки дві форми функцій: канонічна та множинна.
Канонічна форма квадратичної функції
Припускаю, що ми вже маємо загальну форму квадратичної функції:
Її канонічна форма:
Тобто:
Що таке a, b і 
– це якось так зрозуміло, мало хто має проблему з тим, що 
.
Можна навіть помітити, що якщо в канонічній формі винести 
перед дужкою, отримаємо:
…що іноді може бути корисним, а іноді не обов’язково.
Якщо ти навчався цього, обчислюючи координати вершини (зазвичай як 
і 
) і вставляючи у формулу:
то, звичайно, це трохи обхідний шлях, але також добре.
Запам’ятай на початку формули канонічної форми!
Множинна форма квадратичної функції (її розкладання на множники):
Повертаючись тепер до нашої загальної квадратичної функції:
Дуже часто потрібно буде „розкласти її на множники”, використовуючи множинну форму квадратичної функції:
Де 
і 
обчислюємо з відомих і улюблених формул:
Тут також потрібно пам’ятати про на початку формули!!!
Зверніть увагу також, що ці і не завжди існують (якщо дельта від’ємна, вони не існують), тобто функцію не завжди можна записати у множинній формі, тобто квадратичну функцію не завжди можна розкласти на множники.
Що слід повторити з квадратичних рівнянь?
З квадратичними рівняннями, я припускаю, справи не так погано. Ми зазвичай справляємося з розв’язанням загального рівняння:
Наприклад:
Ми просто обчислюємо:
А потім, якщо дельта виявилася невід’ємною, розв’язки рівняння:
Пам’ятай, що там внизу у знаменнику є 
а не просто 2!
Однак я хотів би зупинитися на особливому випадку рівняння:
Тут виникає багато помилок. Наприклад:
Жахлива помилка номер 2
У чому полягає помилка? Число 2 дійсно є розв’язком рівняння , але було повністю пропущено другий розв’язок цього рівняння, а саме число -2. Повинно бути:
Негативні розв’язки можна пропускати тільки в геометрії (тому що відстань не може бути від’ємною).
Ще одна проблема з рівнянням у формі: це:
Жахлива помилка номер 3
Що, звісно, є нісенітницею, оскільки 2 у квадраті не дає -4. Взагалі нічого у квадраті не дає -4 (ті, хто вже вивчав комплексні числа, мовчіть). Рівняння:
…не має розв’язків.
Тому потрібно бути пильним. Рівняння 
має два розв’язки, а рівняння 
взагалі не має розв’язків.
Запрошую до спокійного повторення всього, що було сказано до цього часу і, звісно, до питань у коментарях.
