Dołącz do ponad 65000 studentów na Akademii eTrapez

Zarejestruj darmowe konto i uzyskaj natychmiastowy dostęp do 16 Lekcji Video.

Poznaj podstawy matematyczne na studiach. Za darmo. We własnym domu.

Zarejestruj darmowe konto na Akademii

Wzór na pochodną funkcji złożonej

 

Wzory na pochodne

 

Temat: Wzór na przyrost funkcji. Wzór na pochodną funkcji złożonej.

 

Streszczenie

Na tym wykładzie zajmiemy się potężnie wykorzystywanym w praktycznym liczeniu pochodnych (tzn. liczeniu z wzorów, a nie z definicji). Jest to oczywiście wzór na pochodną funkcji złożonej:

delim{[}{f(g(x))}{]}{prime}=f{prime}(g(x))g{prime}(x)

Tak się jakoś śmiesznie składa, że wzór – na każdym kroku stosowany – jest jednocześnie najmniej zrozumiały i w ogóle z reguły pomijany. Bierze się to stąd, że o wiele łatwiej nauczyć się po prostu, jak w praktyce obliczać te pochodne (z funkcji złożonej), niż wprowadzać do tego jakiś teoretyczny wzór.

Za chwilę jednak objaśnimy, jak „działa” ten wzorek i w sposób ścisły go udowodnimy. Skorzystamy przy tym z innego twierdzenia – o przyroście wartości funkcji i z oznaczeń {Delta}y=f(x+{Delta}x)-f(x), jakie wprowadziłem na poprzednim wykładzie (przypomnę je jeszcze).

Dowód przeprowadzam raz jeszcze tak, jak w książce Fichtenholz’a. Przy okazji, jeśli naprawdę pasjonujesz się matematyką (a ściślej: analizą matematyczną) MUSISZ mieć tą 3 tomową książkę, wpisz w Google czy Allegro – Fichtenholz, każdy wie o co chodzi, nie ma możliwości pomyłki.

Zaczynajmy zatem…

Funkcje złożone. Pochodne funkcji złożonych.

Z funkcjami złożonymi powinniśmy się już zetknąć w szkole średniej. Są to funkcje, w których argumentem jakiejś funkcji nie jest taki sobie zwykły ‚x’, jak Pan Bóg przykazał, tylko jakaś inna funkcja.

Na przykład:

f(x)=sin(lnx)

Ta funkcja jest złożona. Argumentem funkcji sinus nie jest x (wtedy była by to prosta funkcja y=sinx), tylko jakaś inna funkcja, a konkretnie – lnx.

Funkcje złożone bywają bardziej podstępne, na przykład:

f(x)=(x^2+1)^7

Tutaj potrzeba już bardziej wprawnego oka, żeby zauważyć, że mamy jest to funkcja x^7, w której zamiast argumentu x jest wstawiona funkcja x^2+1.

Funkcję złożoną f, której argumentem jest jakaś inna funkcja g można przedstawić symbolem:

f(g(x))

Ma to sens, prawda? f liczona nie z x, tylko z innej funkcji: g(x).

Jak wiemy, pochodną z funkcji złożonej liczy się ze wzoru:

delim{[}{f(g(x))}{]}{prime}=f{prime}(g(x))g{prime}(x)

Jak go rozczytać? Ano tak: pochodna z funkcji f, w której argumentem jest funkcja g równa jest pochodnej z funkcji f (argumentem tej pochodnej jest funkcja g), przemnożonej przez pochodną funkcji g.

Najlepiej załapać to na przykładzie. Weźmy naszą funkcję złożoną:

f(x)=sin(lnx)

Podstawa to orientacja, która funkcja jest która, to znaczy, argumentem jakiej funkcji jest która funkcja, to znaczy która funkcja ze wzoru to nasza funkcja f (można też ją nazwać: „funkcja zewnętrzna”), a która to funkcja g (można też powiedzieć o niej: „funkcja wewnętrzna”). Nasza funkcja f w tym przykładzie to funkcja sinus, a jej argumentem jest funkcja g.

Zgodnie ze wzorem: delim{[}{f(g(x))}{]}{prime}=f{prime}(g(x))g{prime}(x), pochodna funkcji f(x)=sin(lnx) równa będzie pochodnej funkcji sinus (czyli cosinus), której argumentem jest funkcja g=lnx (czyli będziemy mieli cosinus z lnx) razy pochodna funkcji lnx (czyli 1/x):

f{prime}(x)=(sin(lnx)){prime}=cos(lnx)*{1/x}

Można zapisać ją ładniej:

f{prime}(x)=(sin(lnx)){prime}=cos(lnx)*{1/x}={cos(lnx)}/x

I tyle 🙂

Zajmiemy się teraz formalnym udowodnieniem naszego wzorku. Najpierw udowodnimy jednak pomocniczo…

Twierdzenie o przyroście wartości funkcji

Jak wiemy już z poprzedniego wykładu, przyrost wartości funkcji ({Delta}y) w dowolnym punkcie x_0 można zapisać jako:

{Delta}y=f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)

Widać to wprost z rysunku:

Przyrost delta yWzór na przyrost wartości funkcji w {Delta}y punkcie x_0 można jednak zapisać również inaczej, w nie tak bardzo oczywisty sposób:

Twierdzenie

Jeśli funkcja f(x) ma w punkcie x_0 skończoną pochodną, to przyrost wartości tej funkcji w tym punkcie można przedstawić jako:

{Delta}y=f{prime}(x_0){Delta}x+{alpha}{Delta}x

gdzie alpha jest wartością zależną od {Delta}x i wraz z {Delta}x dążącą do zera.

Dowód

Zauważmy, że zgodnie z definicją pochodnej i tego, czym jest {Delta}y (patrz wyżej):

f{prime}(x_0)={lim}under{{Delta}x{right}0}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0}{{Delta}y}/{{Delta}x}

Jeżeli przyjmiemy więc, że:

alpha={{Delta}y}/{{Delta}x}-f{prime}(x_0)

Widzimy, że alpha zależy od {Delta}x i biorąc {Delta}x{right}0 będziemy mieli alpha{right}0 (bo pokazaliśmy wyżej, że f{prime}(x_0)={lim}under{{Delta}x{right}0}{{Delta}y}/{{Delta}x}).

Tak obrana alpha ma więc warunki określone w zadaniu.

alpha={{Delta}y}/{{Delta}x}-f{prime}(x_0)

Obie strony równania mnożę przez {Delta}x:

alpha{Delta}x={Delta}y-f{prime}(x_0){Delta}x

Przenoszę stronami i mam:

{Delta}y=f{prime}(x_0){Delta}x+alpha{Delta}x

Wyprowadziliśmy więc w ten sposób wzór na przyrost wartości funkcji z twierdzenia, co kończy dowód.

Twierdzenie o przyroście funkcji wykorzystamy w dowodzie wzoru na pochodną funkcji złożonej.

 

Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej

Pochodna funkcji złożonej f(g(x)) (przy spełnionych założeniach dotyczących istnienia pochodnych funkcji w punkcie) dana jest wzorem:

delim{[}{f(g(x))}{]}{prime}=f{prime}(g(x))g{prime}(x)

Dowód

Dla przyrostu argumentów {Delta}x otrzymamy pewien przyrost wartości funkcji g: {Delta}g i pewien przyrost wartości funkcji f: {Delta}f. Zauważmy teraz, że przyrost wartości funkcji g {Delta}x jest jednocześnie przyrostem argumentów dla funkcji f (bo wartości funkcji g są argumentami funkcji f).

Wykorzystując nasze twierdzenie o przyroście wartości funkcji (udowodnione wyżej) dla funkcji f mamy:

{Delta}f=f{prime}(g(x_0)){Delta}g+alpha{Delta}g

{Delta}x we wzorze z twierdzenia zastąpiłem {Delta}g – bo argumentami funkcji f są wartości funkcji g, a nie x-sy.

Dzielimy obie strony przez {Delta}x i mamy:

{{Delta}f}/{{Delta}x}=f{prime}(g(x_0)){{Delta}g}/{{Delta}x}+alpha{{Delta}g}/{{Delta}x}

Biorąc teraz {Delta}x{right}0 {{Delta}g}/{{Delta}x} równe jest z definicji wartości pochodnej funkcji g w punkcie x_0, {{Delta}g}/{{Delta}x}=g{prime}(x_0).

Składnik: alpha{{Delta}g}/{{Delta}x} dąży więc do zera, bo samo {{Delta}g}/{{Delta}x} dąży do wartości pochodnej funkcji g, a alpha dąży do zera (zgodnie z twierdzeniem o przyroście funkcji), jedno zaś przemnożone przez drugie dąży do zera.

Mamy zatem (przechodząc do granicy przy {Delta}x{right}0:

delim{[}{f(g(x))}{]}{prime}=f{prime}(g(x_0))g{prime}(x_0)

Co należało dowieść.

KONIEC

Pisząc tego posta korzystałem z…

1. „Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966. (link partnerski – zobacz to znaczy, paragraf 27)


Kliknij tutaj, aby przypomnieć sobie, jak wyprowadzić wzory na właściwości pochodnych (poprzedni Wykład) <–

Kliknij tutaj, aby powrócić na stronę z wykładami o pochodnych

Kurs Pochodne

Dołącz do tysięcy studentów, którzy skorzystali z mojego Kursu Video...

  • 9 Lekcji
  • 10 godzin nagrań video
  • 90 pytań testowych i 140 przykładów do zadań domowych
  • materiały bonusowe: video (w tym o liczeniu pochodnych w WolframAlpha) i artykuły
  • cena: 39 zł
Zobacz więcej

23 komentarze na “Wzór na pochodną funkcji złożonej”

  1. K.P. 14 listopada 2013 o 22:21 Link do komentarza

    Witam, miałem przyjemność uczyć się z Twojego kursu 🙂 Na ćwiczeniach z analizy miałem taki przykład do policzenia: (e^sinx)’ Po obliczeniu: (e^sinx)’ = sinx * e^(sinx – 1) * (sinx)’ = sinx * e^(sinx – 1) * cosx prowadzący stwierdził, że to jest źle. Dlaczego tu jest błąd? Z góry dzięki za odpowiedź.

    • Krystian Karczyński 15 listopada 2013 o 10:05 Link do komentarza

      Witam 🙂 Przykład jest źle policzony, bo skorzystał Pan z niewłaściwego wzoru w pierwszym kroku. Pan skorzystał ze wzoru na x^n (czyli na x do liczby), a trzeba było skorzystać ze wzoru na e^x.

      Powinno być więc tak:

      {{\left( {{e}^{\sin x}} \right)}^{\prime }}={{e}^{\sin x}}\cdot {{\left( \sin x \right)}^{\prime }}={{e}^{\sin x}}\cos x

  2. Małgosia 14 stycznia 2014 o 17:38 Link do komentarza

    Witam,
    mam problem z policzeniem pochodnej po x, y i z z funkcji f(x,y,z)= x sin(xyz).
    Czy mogłabym prosić o pomoc w rozwiązaniu?
    Pozdrawiam

  3. Ania 19 stycznia 2014 o 13:48 Link do komentarza

    Witam. Mam problem z policzeniem ekstremum lokalnych funkcji z drugiego warunku wystarczającego.

    f(x) = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4
    i f(x) = 3(x+5)^4

    Czy mogłabym prosić o pomoc w rozwiązaniu?

    • Krystian Karczyński 20 stycznia 2014 o 18:42 Link do komentarza

      Dobra, zacznę od tej pierwszej:

      fleft( x right)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-4

      {f}'left( x right)={{left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-4 right)}^{prime }}=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+12x

      4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+12x=0

      4xleft( {{x}^{2}}-3x+3 right)=0

      4x=0quad vee quad {{x}^{2}}-3x+3=0

      x=0quad vee quad Delta ={{left( -3 right)}^{2}}-4cdot 1cdot 3=9-12=-3

      x=0

      Czyli mamy jeden punkt x=0 „podejrzany” o bycie ekstremum. Dalej postępujemy sposobem „z drugiej pochodnej”, opisanym tutaj :

      {f}''left( x right)={{left( 4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+12x right)}^{prime }}=12{{x}^{2}}-24x+12

      {f}''left( 0 right)=12cdot {{0}^{2}}-24cdot 0+12=12

      …czyli funkcja osiąga w tym punkcie minimum. Liczymy jeszcze jego wartość:

      {{f}_{MIN}}left( x right)={{0}^{4}}-4cdot {{0}^{3}}+6cdot {{0}^{2}}-4=-4

      KONIEC

      • Apprentice 1 kwietnia 2015 o 20:11 Link do komentarza

        Witam. Mam dosyć poważne pytanie. Jak wyprowadzić z definicji pochodną funkcji x-> f(ax+b) wiedząc, że funkcja f jest różniczkowalna w całej dziedzinie, którą tworzą wszystkie liczby rzeczywiste x? Otóż jest to jedno z tych charakterystycznych zadań, ale towarzyszy mu kompletny brak pomysłu.

        Z góry dziękuję.

  4. Malwina 11 lutego 2014 o 11:23 Link do komentarza

    Witam czy w przydatku liczenia pochodnej f(x) = (2x + 4 – ln6)’
    mam uznać że chodzi o logarytm naturalny z 6 i że pochodna z tego to 0 czy mam zły tok myślenia?

  5. Kamil 12 lutego 2014 o 19:24 Link do komentarza

    A co jeśli funkcja jest złożona z 3 funkcji ? np. f(g(h(x)))=cos{arctg[ln(x)]} ?

    • Paweł 23 marca 2014 o 14:16 Link do komentarza

      wiem że post był dawno ale może się komuś to przyda (cos{arctg[ln(x)]})’= (-sin{arctg[ln(x)]})*(1\{1+[ln(x)]^2}*(1\x), czyli liczysz od lewej do prawej mnożąc wszystko

  6. Lbz 4 kwietnia 2014 o 19:39 Link do komentarza

    Czy ktoś potrafi obliczyć pochodną drugiego rzędu funkcji y=f(cos x) gdzie f należy do C^2(a,b) i przy okazji mi wyjaśnić czym jest klasa C^2?

  7. Edyta Hudzik 5 lutego 2015 o 21:08 Link do komentarza

    Witam, mam problem z policzeniem pochodnej, a już nie pamiętam jak się to robiło.
    2ω pod pierwiastkiem 1+3cos^2(ω t)

  8. beata 23 lutego 2015 o 13:40 Link do komentarza

    podaj definicje ilorazu różnicowego funkcji f:R–>R w punkcie xo=2
    podaj warunek na to aby funkcja f:R–>R była malejąca w przedziale (a,b)
    jak to trzeba zrobic?

  9. uczeń :) 13 listopada 2015 o 13:43 Link do komentarza

    Witam 🙂
    mam taki przykład
    y=x^2 * e^(-5x-6) + 3/ (4-x)^2
    W jaki sposób liczymy tutaj pochodną? Głównie chodzi mi o e z potęgą. Z jakich wzorów korzystamy?

  10. dominooos 12 stycznia 2016 o 22:22 Link do komentarza

    Miałem przyjemność spotkać się z zadaiem na kolokwium dotyczącym pochodnych, brzmi on tak 〖(sin^5〗⁡(tg(x)))’. Niestety nie potrafię tego rozwiązać 🙁

  11. ANIA 27 stycznia 2016 o 22:05 Link do komentarza

    Witam, na kolokwium miałam za zadanie policzyć pochodną z definicji z takiej funkcji:

    f(x)= {-x^2+x ;dla x2

    (dwie funkcje dla różnych przedziałów). Trzeba policzyć f'(2) o ile istnieje. Mogę prosić o pomoc?

  12. Maria Seweryn 2 czerwca 2016 o 10:50 Link do komentarza

    ja na kolokwium miałam zadanie : ((cosx)^sin2x)’… , próbowałam robić to wzorem na (x^n)’, ale było źle, potem znalazłam jakiś wzór a^b = e^(blna)… i juz sama nie wiem jak to zrobic

Dodaj komentarz