Wzór na pochodną funkcji złożonej

 

Wzory na pochodne

 

Temat: Wzór na przyrost funkcji. Wzór na pochodną funkcji złożonej.

 

Streszczenie

Na tym wykładzie zajmiemy się potężnie wykorzystywanym w praktycznym liczeniu pochodnych (tzn. liczeniu z wzorów, a nie z definicji). Jest to oczywiście wzór na pochodną funkcji złożonej:

delim{[}{f(g(x))}{]}{prime}=f{prime}(g(x))g{prime}(x)

Tak się jakoś śmiesznie składa, że wzór – na każdym kroku stosowany – jest jednocześnie najmniej zrozumiały i w ogóle z reguły pomijany. Bierze się to stąd, że o wiele łatwiej nauczyć się po prostu, jak w praktyce obliczać te pochodne (z funkcji złożonej), niż wprowadzać do tego jakiś teoretyczny wzór.

Za chwilę jednak objaśnimy, jak „działa” ten wzorek i w sposób ścisły go udowodnimy. Skorzystamy przy tym z innego twierdzenia – o przyroście wartości funkcji i z oznaczeń {Delta}y=f(x+{Delta}x)-f(x), jakie wprowadziłem na poprzednim wykładzie (przypomnę je jeszcze).

Dowód przeprowadzam raz jeszcze tak, jak w książce Fichtenholz’a. Przy okazji, jeśli naprawdę pasjonujesz się matematyką (a ściślej: analizą matematyczną) MUSISZ mieć tą 3 tomową książkę, wpisz w Google czy Allegro – Fichtenholz, każdy wie o co chodzi, nie ma możliwości pomyłki.

Zaczynajmy zatem…

Funkcje złożone. Pochodne funkcji złożonych.

Z funkcjami złożonymi powinniśmy się już zetknąć w szkole średniej. Są to funkcje, w których argumentem jakiejś funkcji nie jest taki sobie zwykły ‚x’, jak Pan Bóg przykazał, tylko jakaś inna funkcja.

Na przykład:

f(x)=sin(lnx)

Ta funkcja jest złożona. Argumentem funkcji sinus nie jest x (wtedy była by to prosta funkcja y=sinx), tylko jakaś inna funkcja, a konkretnie – lnx.

Funkcje złożone bywają bardziej podstępne, na przykład:

f(x)=(x^2+1)^7

Tutaj potrzeba już bardziej wprawnego oka, żeby zauważyć, że mamy jest to funkcja x^7, w której zamiast argumentu x jest wstawiona funkcja x^2+1.

Funkcję złożoną f, której argumentem jest jakaś inna funkcja g można przedstawić symbolem:

f(g(x))

Ma to sens, prawda? f liczona nie z x, tylko z innej funkcji: g(x).

Jak wiemy, pochodną z funkcji złożonej liczy się ze wzoru:

delim{[}{f(g(x))}{]}{prime}=f{prime}(g(x))g{prime}(x)

Jak go rozczytać? Ano tak: pochodna z funkcji f, w której argumentem jest funkcja g równa jest pochodnej z funkcji f (argumentem tej pochodnej jest funkcja g), przemnożonej przez pochodną funkcji g.

Najlepiej załapać to na przykładzie. Weźmy naszą funkcję złożoną:

f(x)=sin(lnx)

Podstawa to orientacja, która funkcja jest która, to znaczy, argumentem jakiej funkcji jest która funkcja, to znaczy która funkcja ze wzoru to nasza funkcja f (można też ją nazwać: „funkcja zewnętrzna”), a która to funkcja g (można też powiedzieć o niej: „funkcja wewnętrzna”). Nasza funkcja f w tym przykładzie to funkcja sinus, a jej argumentem jest funkcja g.

Zgodnie ze wzorem: delim{[}{f(g(x))}{]}{prime}=f{prime}(g(x))g{prime}(x), pochodna funkcji f(x)=sin(lnx) równa będzie pochodnej funkcji sinus (czyli cosinus), której argumentem jest funkcja g=lnx (czyli będziemy mieli cosinus z lnx) razy pochodna funkcji lnx (czyli 1/x):

f{prime}(x)=(sin(lnx)){prime}=cos(lnx)*{1/x}

Można zapisać ją ładniej:

f{prime}(x)=(sin(lnx)){prime}=cos(lnx)*{1/x}={cos(lnx)}/x

I tyle :)

Zajmiemy się teraz formalnym udowodnieniem naszego wzorku. Najpierw udowodnimy jednak pomocniczo…

Twierdzenie o przyroście wartości funkcji

Jak wiemy już z poprzedniego wykładu, przyrost wartości funkcji ({Delta}y) w dowolnym punkcie x_0 można zapisać jako:

{Delta}y=f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)

Widać to wprost z rysunku:

Przyrost delta yWzór na przyrost wartości funkcji w {Delta}y punkcie x_0 można jednak zapisać również inaczej, w nie tak bardzo oczywisty sposób:

Twierdzenie

Jeśli funkcja f(x) ma w punkcie x_0 skończoną pochodną, to przyrost wartości tej funkcji w tym punkcie można przedstawić jako:

{Delta}y=f{prime}(x_0){Delta}x+{alpha}{Delta}x

gdzie alpha jest wartością zależną od {Delta}x i wraz z {Delta}x dążącą do zera.

Dowód

Zauważmy, że zgodnie z definicją pochodnej i tego, czym jest {Delta}y (patrz wyżej):

f{prime}(x_0)={lim}under{{Delta}x{right}0}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0}{{Delta}y}/{{Delta}x}

Jeżeli przyjmiemy więc, że:

alpha={{Delta}y}/{{Delta}x}-f{prime}(x_0)

Widzimy, że alpha zależy od {Delta}x i biorąc {Delta}x{right}0 będziemy mieli alpha{right}0 (bo pokazaliśmy wyżej, że f{prime}(x_0)={lim}under{{Delta}x{right}0}{{Delta}y}/{{Delta}x}).

Tak obrana alpha ma więc warunki określone w zadaniu.

alpha={{Delta}y}/{{Delta}x}-f{prime}(x_0)

Obie strony równania mnożę przez {Delta}x:

alpha{Delta}x={Delta}y-f{prime}(x_0){Delta}x

Przenoszę stronami i mam:

{Delta}y=f{prime}(x_0){Delta}x+alpha{Delta}x

Wyprowadziliśmy więc w ten sposób wzór na przyrost wartości funkcji z twierdzenia, co kończy dowód.

Twierdzenie o przyroście funkcji wykorzystamy w dowodzie wzoru na pochodną funkcji złożonej.

 

Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej

Pochodna funkcji złożonej f(g(x)) (przy spełnionych założeniach dotyczących istnienia pochodnych funkcji w punkcie) dana jest wzorem:

delim{[}{f(g(x))}{]}{prime}=f{prime}(g(x))g{prime}(x)

Dowód

Dla przyrostu argumentów {Delta}x otrzymamy pewien przyrost wartości funkcji g: {Delta}g i pewien przyrost wartości funkcji f: {Delta}f. Zauważmy teraz, że przyrost wartości funkcji g {Delta}x jest jednocześnie przyrostem argumentów dla funkcji f (bo wartości funkcji g są argumentami funkcji f).

Wykorzystując nasze twierdzenie o przyroście wartości funkcji (udowodnione wyżej) dla funkcji f mamy:

{Delta}f=f{prime}(g(x_0)){Delta}g+alpha{Delta}g

{Delta}x we wzorze z twierdzenia zastąpiłem {Delta}g – bo argumentami funkcji f są wartości funkcji g, a nie x-sy.

Dzielimy obie strony przez {Delta}x i mamy:

{{Delta}f}/{{Delta}x}=f{prime}(g(x_0)){{Delta}g}/{{Delta}x}+alpha{{Delta}g}/{{Delta}x}

Biorąc teraz {Delta}x{right}0 {{Delta}g}/{{Delta}x} równe jest z definicji wartości pochodnej funkcji g w punkcie x_0, {{Delta}g}/{{Delta}x}=g{prime}(x_0).

Składnik: alpha{{Delta}g}/{{Delta}x} dąży więc do zera, bo samo {{Delta}g}/{{Delta}x} dąży do wartości pochodnej funkcji g, a alpha dąży do zera (zgodnie z twierdzeniem o przyroście funkcji), jedno zaś przemnożone przez drugie dąży do zera.

Mamy zatem (przechodząc do granicy przy {Delta}x{right}0:

delim{[}{f(g(x))}{]}{prime}=f{prime}(g(x_0))g{prime}(x_0)

Co należało dowieść.

KONIEC

Pisząc tego posta korzystałem z…

1. „Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966. (link partnerski – zobacz to znaczy, paragraf 13)






Kliknij tutaj, aby przypomnieć sobie, jak wyprowadzić wzory na właściwości pochodnych (poprzedni Wykład) <–

Kliknij tutaj, aby powrócić na stronę z wykładami o pochodnych

Poznaj podstawy edukacji matematycznej na studiach

Dołącz do ponad 2000 studentów na Akademii eTrapez

Oto, co czeka na Ciebie:

  • 13 darmowych Lekcji (video + zadanie domowe)
  • 10 internetowych kalkulatorów
Załóż darmowe konto na Akademii eTrapez

Komentarze

  1. K.P. napisał:

    Witam, miałem przyjemność uczyć się z Twojego kursu :) Na ćwiczeniach z analizy miałem taki przykład do policzenia: (e^sinx)’ Po obliczeniu: (e^sinx)’ = sinx * e^(sinx – 1) * (sinx)’ = sinx * e^(sinx – 1) * cosx prowadzący stwierdził, że to jest źle. Dlaczego tu jest błąd? Z góry dzięki za odpowiedź.

    • Krystian Karczyński napisał:

      Witam :) Przykład jest źle policzony, bo skorzystał Pan z niewłaściwego wzoru w pierwszym kroku. Pan skorzystał ze wzoru na x^n (czyli na x do liczby), a trzeba było skorzystać ze wzoru na e^x.

      Powinno być więc tak:

      {{\left( {{e}^{\sin x}} \right)}^{\prime }}={{e}^{\sin x}}\cdot {{\left( \sin x \right)}^{\prime }}={{e}^{\sin x}}\cos x

  2. Małgosia napisał:

    Witam,
    mam problem z policzeniem pochodnej po x, y i z z funkcji f(x,y,z)= x sin(xyz).
    Czy mogłabym prosić o pomoc w rozwiązaniu?
    Pozdrawiam

  3. Ania napisał:

    Witam. Mam problem z policzeniem ekstremum lokalnych funkcji z drugiego warunku wystarczającego.

    f(x) = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4
    i f(x) = 3(x+5)^4

    Czy mogłabym prosić o pomoc w rozwiązaniu?

    • Krystian Karczyński napisał:

      Dobra, zacznę od tej pierwszej:

      f\left( x \right)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-4

      {f}'\left( x \right)={{\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-4 \right)}^{\prime }}=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+12x

      4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+12x=0

      4x\left( {{x}^{2}}-3x+3 \right)=0

      4x=0\quad \vee \quad {{x}^{2}}-3x+3=0

      x=0\quad \vee \quad \Delta ={{\left( -3 \right)}^{2}}-4\cdot 1\cdot 3=9-12=-3

      x=0

      Czyli mamy jeden punkt x=0 „podejrzany” o bycie ekstremum. Dalej postępujemy sposobem „z drugiej pochodnej”, opisanym tutaj :

      {f}''\left( x \right)={{\left( 4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+12x \right)}^{\prime }}=12{{x}^{2}}-24x+12

      {f}''\left( 0 \right)=12\cdot {{0}^{2}}-24\cdot 0+12=12

      …czyli funkcja osiąga w tym punkcie minimum. Liczymy jeszcze jego wartość:

      {{f}_{MIN}}\left( x \right)={{0}^{4}}-4\cdot {{0}^{3}}+6\cdot {{0}^{2}}-4=-4

      KONIEC

  4. Malwina napisał:

    Witam czy w przydatku liczenia pochodnej f(x) = (2x + 4 – ln6)’
    mam uznać że chodzi o logarytm naturalny z 6 i że pochodna z tego to 0 czy mam zły tok myślenia?

  5. Kamil napisał:

    A co jeśli funkcja jest złożona z 3 funkcji ? np. f(g(h(x)))=cos{arctg[ln(x)]} ?

    • Paweł napisał:

      wiem że post był dawno ale może się komuś to przyda (cos{arctg[ln(x)]})’= (-sin{arctg[ln(x)]})*(1\{1+[ln(x)]^2}*(1\x), czyli liczysz od lewej do prawej mnożąc wszystko

  6. Lbz napisał:

    Czy ktoś potrafi obliczyć pochodną drugiego rzędu funkcji y=f(cos x) gdzie f należy do C^2(a,b) i przy okazji mi wyjaśnić czym jest klasa C^2?

Skomentuj, zapraszam