Rząd macierzy w twierdzeniu Kroneckera-Capellego

 

Rząd macierzy Wykład 3

 

Temat: Twierdzenie Kroneckera-Capellego

 

Streszczenie

W artykule przedstawię, w jaki sposób rząd macierzy wykorzystywać można w rozwiązywaniu układów równań liniowych metodą Kroneckera-Capellego (bardziej prawidłowo: metodą wykorzystującą twierdzenie Kroneckera-Capellego). W artykule zakładam, że wiesz już, jak się liczy rząd macierzy i układy równań wzorami Cramera.

Twierdzenie Kroneckera-Capellego

Twierdzenie Kroneckera-Capellego wykorzystujące rząd macierzy jest naprawdę bardzo proste. Mając dowolny (to jest super-istotne, znaczy, że niewiadomych nie musi być tyle samo, co równań) układ równań:

Układ m równań liniowych i n niewiadomychNasz układ – zwróć uwagę – ma m równań i n niewiadomych. Rząd macierzy głównej to rząd macierzy utworzonej ze współczynników przy niewiadomych, czyli:

Rząd macierzy głównej ogólnieOczywiście nie musi to być macierz kwadratowa. Rząd macierzy uzupełnionej to rząd macierzy utworzonej ze współczynników przy niewiadomych z dodaną kolumną wyrazów wolnych (po prawych stronach równości):

Rząd macierzy uzupełnionej ogólnie
Twierdzenie Kroneckera-Capellego stwierdza, że układ ma rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy głównej równy jest rzędowi macierzy uzupełnionej:

rz(A)=rz(U)

Z twierdzenia wynikają następujące wnioski:

  1. Jeżeli rząd macierzy głównej, rząd macierzy uzupełnionej i liczba niewiadomych w układzie  są równe (rz(A)=rz(U)=n) to układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie.
  2. Jeżeli rząd macierzy głównej jest taki sam jak rząd macierzy uzupełnionej, ale jest mniejszy od liczby niewiadomych (rz(A)=rz(U)<n) to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań.
  3. Jeżeli rząd macierzy głównej jest różny od rzędu macierzy uzupełnionej (rz(A)< data-recalc-dims=rz(U)” title=”rz(A)<>rz(U)”/>), wtedy układ równań nie ma rozwiązań.

 

Zastosowanie twierdzenia Kroneckera-Capellego (metoda rozwiązania układu równań)

Twierdzenie znamy. Pozostaje kwestia, jak zastosować je w praktyce.

Najbardziej „czystą” (ale niestety także czasochłonną) metodą jest policzenie po prostu obu rzędów (rzędu macierzy głównej rz(A) i rzędu macierzy uzupełnionej rz(U)) zupełnie osobno, na końcu interpretacja wyniku, „obcięcie” układu do układu Cramera (poprzez ewentualne wykreślenie niektórych równań i zastąpienie niektórych zmiennych parametrami) i rozwiązanie otrzymanego układu Cramera. Tą metodę pokażę Tobie dalej w artykule.

Można też liczyć oba rzędu jednocześnie na jednej macierzy, można jednocześnie zerować wiersze lub kolumny, można liczyć właściwie metodą Gaussa… Czasem wydaje mi się, że ile profesorów tyle metod. Oczywiście, wszystkie są dobre, o ile prowadzą do celu, jakim jest rozwiązanie układu.

Przykład

Układ równań liniowychMamy do rozwiązania powyższy układ równań. Najpierw oczywiście sprawdzamy, czy nie jest to układ Cramera, tzn. czy ma tyle samo równań, co niewiadomych i czy wyznacznik główny układu jest różny od zera. Oczywiście nie jest to układ Cramera, bo mamy w nim 3 równania i 4 niewiadome. Układu nie rozwiązujemy więc w tej chwili wzorami Cramera, tylko przechodzimy do rzędów macierzy i twierdzenia Kroneckera-Capellego.

Na początku liczymy rząd macierzy głównej, czyli:

Rząd macierzy głównej w przykładzieLiczymy, liczymy, liczymy, tak jak się liczy rzędy macierzy (zapraszam na przykład do mojego Kursu – to jest naprawdę proste) i mamy wynik:

Wynik rzędu macierzy głównej w przykładzieTeraz liczymy rząd macierzy uzupełnionej:

Rząd macierzy uzupełnionej w przykładzieLiczymy, liczymy, liczymy i mamy wynik:

Wynik rzędu macierzy uzupełnionej w przykładzieMamy zatem sytuację:

rz(A)=rz(U)=3

Rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej i są one równe 3 (to istotne). Czyli układ będzie miał rozwiązanie i liczymy dalej. Piszemy jeszcze raz macierz główną:

Macierz główna układuA teraz wybieramy z niej jakikolwiek wyznacznik stopnia rz(A)=rz(U). W naszym przypadku rząd macierzy głównej i uzupełnionej wyszedł równy 3, czyli wybieramy jakikolwiek wyznacznik 3-go stopnia – ale uwaga – musi to być wyznacznik różny od zera (trzeba policzyć i sprawdzić na boku). Wybrany wyznacznik bierzemy w ramkę:

Podwyznacznik z macierzy głównej w przykładzie

Teraz tworzymy układ równań wyłącznie z równań, których wiersze znalazły się w naszym wyznaczniku (pozostałe równania nie piszemy w ogóle) oraz wyłącznie z niewiadomych, których kolumny znalazły się w naszym wyznaczniku (pozostałe niewiadome zastępujemy parametrami).

W naszym przykładzie utworzymy układ równań składający się z równania pierwszego, drugiego i trzeciego (bo pierwszy, drugi i trzecie wiersz znalazły się w wyznaczniku):

Wybór wierszy macierzy w metodzie Kroneckera-Capellego

Tak się składa, że będą to wszystkie równania.

Co do niewiadomych, patrzymy na kolumny, które dostały się do wybranego wyznacznika:

Wybór kolumn w macierzy głównej - przykład

Jest to pierwsza, druga i trzecia niewiadoma: x_1, x_2, x_3. „Nie załapała się” czwarta niewiadoma, czyli x_4. Zastępujemy ją parametrem: x_4={alpha}_1 gdzie {alpha}_1 przyjmuje dowolną wartość, czyli {alpha}_1{in}{bbR}. Parametry można oznaczać różnymi innymi literkami, np „t”, można też nie oznaczać je literkami w ogóle, tylko po prostu zacząć traktować je jako parametry bez zmiany oznaczeń.

Tworzymy nowy układ równań:

Nowy układ równańParametry traktujemy w nim jak liczby, czyli przerzucamy na prawą stronę:

Przekształcony układ równańJest to układ Cramera i rozwiązujemy go wzorami Cramera. Jak utworzyć wyznaczniki do kolejnych zmiennych? Po prostu potraktować na przykład: 1-7{alpha}_1 – jako jedną liczbę. Na przykład:

Wyznacznik przy zmiennej x1a jego wartość: -8+{alpha}_1.

Otrzymamy rozwiązanie:

Rozwiązanie układu równańdla {alpha}_1{in}{bbR}.

Kliknij, aby zobaczyć, jak rząd macierzy można zastosować do układów równań liniowych z parametrem (następny Wykład) –>

Kliknij, aby powrócić na stronę z Wykładami do macierzy

 

Poznaj podstawy edukacji matematycznej na studiach

Dołącz do ponad 16000 studentów na Akademii eTrapez

Oto, co czeka na Ciebie:

  • 15 darmowych Lekcji (video + zadanie domowe)
  • 10 internetowych kalkulatorów
Załóż darmowe konto na Akademii eTrapez

Komentarze

  1. Anna napisał:

    Witam jak policzyć rozwinięcie Laplace’a wyznacznika:
    3 13 17 4
    6 28 33 8
    10 40 54 13
    8 37 46 11

    • Krystian Karczyński napisał:

      Można by na przykład pomnożyć pierwszy wiersz przez -2 i dodać do drugiego, przez -3 i dodać do trzeciego i przez -3 i dodać do czwartego, uzyskując wyznacznik:

      \left| \begin{matrix}  3 & 13 & 17 & 4 \\  0 & 2 & -1 & 0 \\  1 & 1 & 3 & 1 \\  -1 & -2 & -5 & -1 \\  \end{matrix} \right|

      Teraz – znowu na przykład – bierzemy trzeci, mnożymy przez -3 i dodajemy do pierwszego i przez 1i dodajemy do czwartego, uzyskując:

      \left| \begin{matrix}  0 & 10 & 8 & 1 \\  0 & 2 & -1 & 0 \\  1 & 1 & 3 & 1 \\  0 & -1 & -2 & 0 \\  \end{matrix} \right|

      Rozwijamy teraz względem pierwszej kolumny i mamy:

      \left| \begin{matrix}  0 & 10 & 8 & 1 \\  0 & 2 & -1 & 0 \\  1 & 1 & 3 & 1 \\  0 & -1 & -2 & 0 \\  \end{matrix} \right|={{\left( -1 \right)}^{3+1}}\cdot 1\cdot \left| \begin{matrix}  10 & 8 & 1 \\  2 & -1 & 0 \\  -1 & -2 & 0 \\  \end{matrix} \right|

      Ten wyznacznik można już Sarrusem, ale można zauważyć sprytnie, że trzecia kolumna jest wyzerowana i rozwinąć ją jeszcze raz Laplace’m:

      \left| \begin{matrix}  0 & 10 & 8 & 1 \\  0 & 2 & -1 & 0 \\  1 & 1 & 3 & 1 \\  0 & -1 & -2 & 0 \\  \end{matrix} \right|={{\left( -1 \right)}^{3+1}}\cdot 1\cdot \left| \begin{matrix}  10 & 8 & 1 \\  2 & -1 & 0 \\  -1 & -2 & 0 \\  \end{matrix} \right|=1\cdot {{\left( -1 \right)}^{1+3}}\left| \begin{matrix}  2 & -1 \\  -1 & -2 \\  \end{matrix} \right|

      =1\cdot {{\left( -1 \right)}^{1+3}}\left| \begin{matrix}  2 & -1 \\  -1 & -2 \\  \end{matrix} \right|=1\cdot \left( -5 \right)=-5

      Na końcu jeszcze sprawdzić można wynik:

      Wynik w WolframAlpha

      (polecam mój Poradnik do niego)

      • zgubiona napisał:

        Moge prosic o wytłyamzcenie tego, w jaki sposób dodaje sie te wiersze zbey wyzerowac? Mozesz opisac to krok po kroku ? :)

  2. Maciej napisał:

    musisz wyzerować kolumne i wykreślić ją razem z wierszem tak aby otrzymać macierz 3×3

  3. Maciej napisał:

    Mam pytanie. Mamy uklad rownan (2 rownania, 3 niewiadome) x+2y-3z=2
    5x-y+z=1.
    Rzedy macierzy glownej i uzupelnionej sa sobie rowne (rzA=rzU=2). Moj problem teraz dotyczy wyboru niezerowego wyznacznika 2×2. Wychodzi mi, ze rozwiazania zaleza od wyboru wyznacznika (jest kilka mozliwosci). Jak to mozliwe?

  4. Daniel napisał:

    Witam
    A co w sytuacji gdy R(A) i R(U) wynosi 3, ale są 4 równania i 4 niewiadome? I wyznacznik macierzy 4 stopnia oczywiście wynosi zero.
    Np
    6x-5y=1
    3x+2y+9z+6w=4
    5x+4x+3z-4w=2
    4x+3y+6z-4w=3

    Jak wykreśliłem trzeci wiersz i wszystko z „z” to wyszedł mi wynik ale nie wiem czy tak mozna…
    Jeżeli bym nie zszedł na maciez trzeciego stopnia to bym nic nie obliczył bo wszędzie jest zero….

    • Krystian Karczyński napisał:

      Witam,

      Ale rząd macierzy głównej tego układu…

      \left[ \begin{matrix}     6 & -5 & 0 & 0 \\     3 & 2 & 9 & 6 \\     5 & 4 & 3 & -4 \\     4 & 3 & 6 & -4 \\  \end{matrix} \right]

      …jest równy 4 (zakładam, że w trzecim wierszu miał Pan literówkę)? Niech Pan sprawdzi w WolframAlpha .

      • Daniel napisał:

        Witam
        Jednak zauważyłem błąd w pierwszym wierszu, drugiej kolumnie. Zamiast -5 powinno być 5. I wtedy faktycznie rząd macierzy wynosi 3 a wyznacznik z minora 4 stopnia wynosi 0. I tu mam problem, bo z cramera już nie wylicze wprost. Układ ma rozwiązanie bo R(A) i R(U) są sobie równe. tylko nie wiem, czy pozbywamy się jakiegoś równania i jedną z niewiadomych traktujemy jako parametr???

        • Krystian Karczyński napisał:

          Dobra, czyli mamy układ…

          \left\{ \begin{matrix}  & 6x+5y=1 \\  & 3x+2y+9z+6w=4 \\  & 5x+4y+3z-4w=2 \\  & 4x+3y+6z-4w=3 \\  \end{matrix} \right.

          … i policzyliśmy już, że rząd macierzy głównej = rząd macierzy uzupełnionej = 3.

          Dalej bierzemy macierz główną…

          \left[ \begin{matrix}     6 & 5 & 0 & 0  \\     3 & 2 & 9 & 6  \\     5 & 4 & 3 & -4  \\     4 & 3 & 6 & -4  \\  \end{matrix} \right]

          … i szukamy w niej niezerowego podwyznacznika stopnia 3 ( bo takie nam wyszły rzędy głównej i uzupełnionej). Może to być jak najbardziej wyznacznik powstały przez wykreślenie trzeciego wiersza i trzeciej kolumny:

          \left| \begin{matrix}     6 & 5 & 0  \\     3 & 2 & 6  \\     4 & 3 & -4  \\  \end{matrix} \right|=24

          … bo jest on różny od zera.

          Teraz trzecie równanie wykreślamy, a zmienną z z trzeciej kolumny ani nie pomijamy, ani nie przyjmujemy, że równa się 0, tylko zastępujemy parametrem.

          Przyjmujemy więc, że:

          z=\alpha

          … i wychodzimy na układ:

          \left\{ \begin{matrix}    & 6x+5y=1 \\    & 3x+2y+9\alpha +6w=4 \\     & 4x+3y+6\alpha -4w=3 \\   \end{matrix} \right.

          \alpha nie jest niewiadomą, zmienną, tylko stałą, przerzucamy go więc na prawo do stałych i mamy:

          \left\{ \begin{matrix}    & 6x+5y=1 \\    & 3x+2y+6w=4-9\alpha  \\    & 4x+3y-4w=3-6\alpha  \\   \end{matrix} \right.

          Ten układ można rozwiązać np. wzorami Cramera. Dostaniemy:

          \left\{ \begin{matrix}    & x=6-15\alpha  \\    & y=18\alpha -7 \\    & z=\alpha  \\    & w=0,\quad \alpha \in R \\   \end{matrix} \right.

          Co zgadza się z wynikiem w WolframAlpha :)

          • Daniel napisał:

            Aha. Dziękuję za odpowiedź.

          • Michał napisał:

            A co w przypadku kiedy możemy wykreślić wiersz, natomiast nie mamy do zastąpienia parametrem żadnej kolumny?
            Przykład:
            x – 2y = 3
            -2x – y = 4
            -3x + y = 1

            Rozumiem że zaczynamy od rzędu, który w tym przypadku dla obu macierzy wynosi 2. Następnie weźmy Dwa pierwsze wiersze i kolumny, wyznacznik będzie różny od zera. Teraz kiedy wykreślimy trzecie równanie, które nie było używane zostanie nam
            x – 2y = 3
            -2x – y = 4

            Natomiast gdzie tutaj wstawić ewentualną stałą? Problem może prozaiczny, ale chwilę główkowałem i nie mogę znaleźć odpowiedzi. :)

          • mam takie uklad rownan
            x+y+t=0
            2x-y-t=3
            4x-5y-3t=7

            rzA = rzU= 3 = n; wiem ze mamy jedno rozwiazanie,to dalej trzeba skreslic jedno rownanie? ale jest problem bo mamy 3 niewiadome.

  5. Adam napisał:

    Witam, znalazłem pewną nieścisłość w Pana Kursie Macierzy, lekcja 5 (Rząd macierzy) minuta 17:30, gdyby wybrać do ‚wyzerowania’ wiersz pierwszy to byśmy otrzymali rząd macierzy:

    -2 1 -3
    -4 2 -2
    -10 5 -15

    z czego otrzymalibyśmy kolejny rząd macierzy

    0 4
    0 0

    i koncowy wynik wyszedłby 4, a nie 3 tak jak na filmiku. Proszę, o odpowiedź bo nie wiem co teraz robić.

  6. Daniel napisał:

    Faktycznie. Sam nie wiem jak mogłem to przeoczyć. Dziękuję.

  7. Damian napisał:

    Super strona, świetnie wytłumaczone!!!

  8. Co zrobić jeżeli podczas rozwiązywania układu równań metodą Capellego i kiedy dojdziemy już do zastosowania metody Cramera, wyznacznik główny będzie równał się 0?

    • Krystian Karczyński napisał:

      Nigdy tak się nie stanie.

      Podczas stosowania Capellego, przy wyborze wyznacznika jest zastrzeżenie, że ten wyznacznik musi być różny od zera, tak tak to napisałem w artykule:

      W naszym przypadku rząd macierzy głównej i uzupełnionej wyszedł równy 3, czyli wybieramy jakikolwiek wyznacznik 3-go stopnia – ale uwaga – musi to być wyznacznik różny od zera (trzeba policzyć i sprawdzić na boku).

      Ten wyznacznik tworzy za chwilę właśnie wyznacznik główny układu Kramera, stąd to zastrzeżenie.

  9. edyta napisał:

    jeśli sprawdzimy wyniki to wyjdzie: 1)2×1 – 3×2 + 5×3 + 7×4 = 2* -8+a/-16 – 3*0 + 5* 22a/-16 + 7a = -16 +2a + 110a – 112a = -16
    Czemu wynik nie wyszedł 1? Zrobiłam błędy?

  10. mtmilansk napisał:

    Witam, czy może Pan przedstawić jak wyliczyliśmy Wx1 ? Jeżeli Pan może to chciałbym poznać drogę do wyniku Wx1=-8+a1.
    Pozdrawiam.

  11. Nowat0r0 napisał:

    Jeżeli rząd(A) jest większy od rzędu(U), to z jakiego twierdzenia lub metod korzystamy?

  12. mtmilansk napisał:

    witam, czy mógłby Pan w którymś z artykułów poruszyć kwestię programowania liniowego oraz metody symplex? pozdrawiam

  13. Ewelina napisał:

    witam,
    bardzo podoba mi się jasny sposób w jaki tłumaczy Pan matematykę.mam zakupiony cały kurs z macierzy i chciałabym zapytać czy w którejś z lekcji znajduje się objaśnienie tego twierdzenia?bo niestety póki co nie znalazłam tego twierdzenia w Pana lekcjach..

  14. magda napisał:

    Czy rozwiązywanie układów równań tą metodą jest gdzieś na kursie video? :)

  15. anavers napisał:

    Dzięki wielkie! W końcu jakieś konkretne tłumaczenie tej metody :) Szkoda, że nie ma jej w kursach :)

  16. Damian napisał:

    Dobrze ,że udało mi się trafic na tą stronę. Faktycznie brakuje tej metody w kursach,ale znając material z innych lekcji nie powinno być problemu :) Jak najbardziej polecam kursy e-trapez.

  17. Beata napisał:

    Bardzo prosze o rozpisanie obliczenia wyznacznika x (przy macierzy gdzie jest lambda) próbuje, to robić, ale wychodzą mi kosmiczne wyniki………

  18. Monika napisał:

    dlaczego w tym ostatnim etapie wyszlo -8 + α , a nie -8 + 11α ?

  19. mam takie uklad rownan
    x+y+t=0
    2x-y-t=3
    4x-5y-3t=7

    rzA = rzU= 3 = n; wiem ze mamy jedno rozwiazanie,to dalej trzeba skreslic jedno rownanie? ale jest problem bo mamy 3 niewiadome.

    • Krystian Karczyński napisał:

      Nic nie skreślamy i nie wybieramy parametrów. To jest układ Cramera, rozwiązujemy go po prostu wzorami Cramera.

  20. kiedy rza=rzu=n to zawsze bedzie uklad Cramera?

Skomentuj, zapraszam