Moje matematyczne
rozwiązania dla studentów

Rozwiązywanie układów równań metodą macierzy odwrotnej

W tym artykule przedstawię metodę rozwiązywania układów równań liniowych, zwaną „metodą macierzy odwrotnej”. Można ją śmiało dołączyć do znanych metod: Cramera, Kroneckera-Capellego (ta stanowi właściwe przejście na metodę Cramera) i Gaussa.

Zastrzegamy od razu, że metodę macierzy odwrotnej można stosować tylko w układach równań liniowych Cramera, tzn. takich, w których:

  1. Jest tyle samo równań, co niewiadomych
  2. Wyznacznik główny układu (złożony ze współczynników przy zmiennych) jest różny od zera

1. Przypadek ogólny

Na czym polega metoda? Weźmy układ równań, spełniający powyższe założenia:

Układ równań liniowych

Układ ma tyle samo równań, co niewiadomych (n równań i n niewiadomych), a jego wyznacznik główny jest różny od zera:

Wyznacznik główny układu

Powyższy układ równań można zapisać jako mnożenie następujących macierzy:

Układ równań w postaci macierzowej

Nie wierzysz? Sprawdź sam, mnożąc sobie w odpowiedniej tabelce macierze Macierz główna układu i Macierz niewiadomych:

Mnożenie macierzy

Po przemnożeniu pierwszego wiersza przez pierwszą (i jedyną, oczywiście) kolumnę otrzymamy:

a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n} – a więc dokładnie lewą stronę pierwszego równania, która powinna być równa b_{1}. Tak samo będzie w kolejnych wierszach i widać, że nasz układ równań i równanie macierzowe są równoważne. Wracamy więc do równania macierzowego:

Układ równań w postaci macierzowej

Aby go rozwiązać, mnożymy go obustronnie przez Macierz odwrotne (macierz odwrotną) – tak, jak to się standardowo robiło w równaniach macierzowych:

Mnożenie obustronne przez macierz odwrotną

Zwracamy uwagę, że mnożymy obie strony, ale od strony lewej, bo macierz współczynników jest po lewej stronie macierzy niewiadomych. Macierz odwrotna będzie istnieć, bo jej wyznacznik jest różny od zera, co zapewniliśmy sobie w założeniach (to jest układ Cramera). Wychodzimy więc na:

Przekształcone równanie macierzowe

Teraz pozostaje nam już tylko wyliczyć macierz odwrotną: Macierz odwrotna,
przemnożyć ją przez macierz: Macierz wyrazów wolnych
…i otrzymamy macierz wynikową:
Macierz niewiadomych
, a z niej już trzeba tylko zapisać odpowiedź :)

2. Przykład

Weźmy konkretny układ równań liniowych:

Układ równań liniowych - przykład

Na początku zapisujemy postać macierzową tego układu:
Postać macierzowa układu - przykład

Zauważmy, że w macierzy pierwszej od lewej są współczynniki przy zmiennych układu, potem jest macierz niewiadomych (jednokolumnowa), a po prawej stronie macierz wyrazów wolnych. Teraz wystarczy rozwiązać to równanie tak jak się rozwiązuje równania macierzowe, tzn.:
Rozwiązywanie równania macierzowego

Potem policzyć macierz odwrotną z:
Macierz odwrotna - przykład

powinna nam wyjść:
Wynik macierzy odwrotnej

i przemnożyć ją przez

…powinniśmy wtedy wyjść na wynik:
Wynik

Pozostaje teraz już tylko zapisać odpowiedź:
Odpowiedź

3. Podsumowanie

Metoda macierzy odwrotnej ma zaletę polegającą na tym, że żeby się jej nauczyć nie potrzebujesz zbyt wielu nowych wiadomości oprócz umiejętności liczenia macierzy odwrotnych i rozwiązywania równań macierzowych.

Jej wadą jest natomiast duża żmudność obliczeń i ograniczenie do układów Cramera.

Układy równań, które mają więcej niż trzy równania i niewiadome wymagają obliczenia macierzy odwrotnych większych, niż 3*3 wymiaru. Wymaga to zastosowania innej niż liczenie z macierzy dopełnień metody. Jest to
Metoda Gaussa-Jordana obliczania macierzy odwrotnej (następny Wykład) –>

Kliknij, aby przypomnieć sobie, jak rozwiązywać układy równań liniowych z parametrem (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby powrócić na stronę z Wykładami do macierzy

 

Na moim blogu powstają cały czas nowe posty i Wykłady. Wpisz się więc na listę adresową:

Dołącz do ponad 8000 studentów, którzy otrzymują od razu na maila moje nowe, darmowe materiały na tym blogu:

Nie znoszę spamu. Nigdy nie udostępnię Twojego adresu email nikomu. Kropka.

Kurs Macierze eTrapezNaucz się macierzy z mojego Kursu Video

W tym Kursie dzielę się wiedzą zgromadzoną przez kilkanaście lat intensywnego nauczania macierzy studentów różnych uczelni. Zawiera:
  • 260 minut nagrań Video
  • 70 pytań testowych
  • 100 wybranych przykładów do samodzielnego rozwiązania
...czyli wszystko, co potrzebujesz, by zadziwić samego siebie na egzaminie z macierzy! Button przekierowujący na stronę Kursu eTrapez

Komentarze

  1. Mariusz napisał:

    Każdy układ równań liniowych można sprowadzić do układu Cramera , więc to nie jest jakieś tam ograniczenie

Skomentuj, zapraszam