Przydatna granica funkcji z cosinusem

Granice funkcji z sinusem zwykle traktujemy wzorem: {lim}under{x{right}0}{sinx}/x=1 (wyprowadzenie tego wzoru możesz znaleźć tutaj).

Pytanie: co z cosinusem x?

Wzór na granicę funkcji z cosinusem

Oczywiście nie zachodzi: {lim}under{x{right}0}{cosx}/x=1, bo granica funkcji {lim}under{x{right}0}{cosx}/x nie jest w ogóle symbolem nieoznaczonym.

Do granic z cosinusem x często pomocny bywa wzór:

{lim}under{x{right}0}{1-cosx}/x^2=1/2 – w wielu podręcznikach podany już „na starcie”, bez wykazywania, a w wielu jako granica funkcji, którą trzeba dopiero wyliczyć.

Niezależnie od tego, jak jest w Twoim przypadku, warto znać sposób wyprowadzenia tego wzoru, a leci to tak:

{lim}under{x{right}0}{1-cosx}/x^2={lim}under{x{right}0}{1-cosx}/x^2{1+cosx}/{1+cosx}={lim}under{x{right}0}{(1-cosx)(1+c0sx)}/{x^2(1+cosx)}

={lim}under{x{right}0}{1-c0s^2{x}}/{x^2(1+cosx)}

W tym momencie w liczniku korzystam z jedynki trygonometrycznej:

={lim}under{x{right}0}{1-c0s^2{x}}/{x^2(1+cosx)}={lim}under{x{right}0}{sin^2{x}}/{x^2(1+cosx)}=

Granica funkcji z {lim}under{x{right}0}{sin^2{x}}/x^2 zbiega do 1, bo:

{lim}under{x{right}0}{sin^2{x}}/x^2={lim}under{x{right}0}({sinx}/x)^2=1^2=1

A granica funkcji z {lim}under{x{right}0}(1+cosx) zbiega do 2, bo cos0=1, zatem mamy wynik:

={lim}under{x{right}0}{1-c0s^2{x}}/{x^2(1+cosx)}=1/2

Poznaj podstawy edukacji matematycznej na studiach

Dołącz do ponad 3000 studentów na Akademii eTrapez

Oto, co czeka na Ciebie:

  • 13 darmowych Lekcji (video + zadanie domowe)
  • 10 internetowych kalkulatorów
Załóż darmowe konto na Akademii eTrapez
O Krystian Karczyński

Nazywam się Krystian Karczyński, od kilkunastu lat pomagam studentom w matematyce.

Nowe technologie związane z Internetem pozwalają uczyć szybciej, bardziej ciekawie i skutecznie, co pokazuję na swojej Akademii eTrapez i na blogu.

Komentarze

  1. Julia napisał:

    Bardzo, bardzo dziękuję Panu za wytłumaczenie! Miałam właśnie w podręczniku zadanko, w którym trzeba było to obliczyć – dobrze, że jest taki ktoś jak Pan ;-)

  2. Genialne

  3. Genialne
    Takie łatwe a sam bym tego nie ogarnął

  4. paulina napisał:

    Kurs pierwszorzędny! Zagadnienia wytłumaczone bardzo precyzyjnie, różne stopnie trudności.
    polecam :)

  5. jestem pod wrażeniem zamiłowania do matematyki. wszystko ładnie wytłumaczone, podoba mi się wracanie do podstaw, do tego co się zna.

  6. Paulina napisał:

    Kurs niesamowity, bardzo mi pomógł. Tłumaczenie nie jest sztywne i przyjemnie się Pana słucha ;) Pozdrawiam!

  7. Jack napisał:

    bardzo fajnie wytłumaczone,ale mam jeden problem :/ co zrobić gdy w mianowniku jest 3x^2 zamiast samego x^2

  8. Edytka napisał:

    A jak będzie ze zbieżnością takiego szeregu n*sin (1/n2)?

  9. Michał napisał:

    To wyprowadzenie da się zrobić prościej z Hospitala

    • Krystian Karczyński napisał:

      Zgadza się, ale wtedy trzeba znać pochodne. No i Pan Profesor musi pozwolić.

      • Kiler napisał:

        dziekuje…z a to wyprowadzenie … Pani dr nie potrafila ogarnąć ale madrzy studenci Politechniki Wrocławskiej wytlumaczyli

  10. Klaudia napisał:

    Kocham matematykę <3 Dzięki Krystian!

Skomentuj, zapraszam