Przydatna granica funkcji z cosinusem

Granice funkcji z sinusem zwykle traktujemy wzorem: {lim}under{x{right}0}{sinx}/x=1 (wyprowadzenie tego wzoru możesz znaleźć tutaj).

Pytanie: co z cosinusem x?

Wzór na granicę funkcji z cosinusem

Oczywiście nie zachodzi: {lim}under{x{right}0}{cosx}/x=1, bo granica funkcji {lim}under{x{right}0}{cosx}/x nie jest w ogóle symbolem nieoznaczonym.

Do granic z cosinusem x często pomocny bywa wzór:

{lim}under{x{right}0}{1-cosx}/x^2=1/2 – w wielu podręcznikach podany już „na starcie”, bez wykazywania, a w wielu jako granica funkcji, którą trzeba dopiero wyliczyć.

Niezależnie od tego, jak jest w Twoim przypadku, warto znać sposób wyprowadzenia tego wzoru, a leci to tak:

{lim}under{x{right}0}{1-cosx}/x^2={lim}under{x{right}0}{1-cosx}/x^2{1+cosx}/{1+cosx}={lim}under{x{right}0}{(1-cosx)(1+c0sx)}/{x^2(1+cosx)}

={lim}under{x{right}0}{1-c0s^2{x}}/{x^2(1+cosx)}

W tym momencie w liczniku korzystam z jedynki trygonometrycznej:

={lim}under{x{right}0}{1-c0s^2{x}}/{x^2(1+cosx)}={lim}under{x{right}0}{sin^2{x}}/{x^2(1+cosx)}=

Granica funkcji z {lim}under{x{right}0}{sin^2{x}}/x^2 zbiega do 1, bo:

{lim}under{x{right}0}{sin^2{x}}/x^2={lim}under{x{right}0}({sinx}/x)^2=1^2=1

A granica funkcji z {lim}under{x{right}0}(1+cosx) zbiega do 2, bo cos0=1, zatem mamy wynik:

={lim}under{x{right}0}{1-c0s^2{x}}/{x^2(1+cosx)}=1/2