Dołącz do ponad 65000 studentów na Akademii eTrapez

Zarejestruj darmowe konto i uzyskaj natychmiastowy dostęp do 16 Lekcji Video.

Poznaj podstawy matematyczne na studiach. Za darmo. We własnym domu.

Zarejestruj darmowe konto na Akademii

Granice funkcji – definicja Cauchy’ego

 

Granice funkcji Wykład 6

 

Temat: Granice funkcji – definicja Cauchy’ego

 

Streszczenie

W artykule przedstawię drugą definicję granicy funkcji – tzw. definicję Cauchy’ego. W odróżnieniu od definicji Heinego, opierającej się na granicy ciągu, definicja Cauchy’ego bazuje na pojęciu tzw. „otoczenia punktu”. Przed przeczytaniem wypadało by wiedzieć, czym jest funkcja (przyporządkowanie argumentom wartości), argumenty i wartości funkcji i jak narysować ją na wykresie.

„Otoczenie punktu x_0” – co to jest?

Z otoczeniem punktu x_0 sprawa jest dosyć prosta. Przyjmijmy (różne są definicje), że jest to dowolny przedział otwarty o środku w punkcie x_0. Liczba może więc mieć mnóstwo „otoczeń” (jest takie słowo w ogóle?) – na przykład otoczeniem liczby cztery może być przedział (3,5):

Oś liczbowa z zaznaczonym otoczeniem 4…albo przedział (3,5;4,5):

Oś liczbowa z innym otoczeniem…albo przedział (2,6):

Oś liczbowa z jeszcze innym otoczeniem– czyli czym jest otoczenie punktu rozumiemy, prawda?

Przypomnijmy sobie jeszcze ze średniej, jak przedziały liczbowe (a więc także otoczenia) opisać używając wartości bezwzględnej.

Przedział (3,5) to zbiór punktów, których odległość od 4 jest mniejsza od 1. Odległości zaś pomiędzy dwoma punktami oznaczyć można jako wartość bezwzględna z ich różnicy, zatem punkty x należące do otoczenia (3,5) to punkty x spełniające warunek: delim{|}{x-4}{|}<1.

Przedział zaś (3,5;4,5) to zbiór punktów x, których odległość od 4 jest mniejsza od 0,5, zatem można je opisać nierównością delim{|}{x-4}{|}<0,5

Jaka nierówność zaś opisuje otoczenie (2,6)? Będzie to delim{|}{x-4}{|}<2 – bo odległości od 4 muszą być mniejsze od 2.

 

Granice funkcji według Cauchy’ego – wprowadzenie

Definicja granic funkcji według Cauchy’ego opiera się właśnie na otoczeniach. Otoczeniach wartości funkcji i otoczeniach argumentów funkcji. Zanim zaatakujemy samą definicję, powiedzmy sobie, czym są otoczenia argumentów i odpowiadające im otoczenia wartości.

Weźmy funkcję:

f(x)=x^2

wraz z jej wykresem:

Wykres funkcji y=x^2

zaznaczmy na nim pewne otoczenie argumentów (czyli x-sów), na przykład (1,3):

Zaznaczone otoczenie argumentu 2Jakie otoczenie wartości funkcji odpowiada temu otoczeniu argumentów? Spójrzmy:

Zaznaczone otoczenie wartościCzyli otoczeniu argumentów (1,3) odpowiada otoczenie wartości (1,9).

Definicja granicy funkcji

Skoro wiemy już, co to znaczy, że otoczeniu argumentów odpowiada jakieś otoczenie wartości możemy wytoczyć oficjalną definicję granicy funkcji wg. Cauchy’ego.

Liczbę g nazywamy granicą funkcji w punkcie x_0, jeśli:

Dla każdego otoczenia (nawet bardzo małego) wartości funkcji g znajdziemy takie otoczenie argumentu funkcji x_0, że odpowiadające im otoczenie wartości zawiera się w tym ustalonym na początku (nawet bardzo małym) otoczeniu wartości funkcji g.

Zamotane? Na pierwszy rzut oka na pewno tak.

Weźmy funkcję f(x)=x^2. Powiedzmy, że osiąga ona granicę g=4 w punkcie x_0=2 (bo osiąga  rzeczywiście). Co to oznacza?

Oznacza to, że dla dowolnie małego otoczenia wartości 4… Powiedzmy na początek, że niech to będzie otoczenie (3,5):

Zaznaczone otoczenie wartości 4…znajdziemy takie otoczenie argumentu 2, że odpowiadające temu otoczeniu otoczenie wartości zawiera się w tym naszym ustalonym na początku (3,5).

Zastanówmy się. Nie może to być otoczenie argumentów na przykład: (1,5;2,5):

Otoczenie (1,5;2,5)… bo odpowiadające mu otoczenie wartości (2,25;6,25) NIE zawiera się w naszym wyjściowym otoczeniu (3,5).

Musimy dobrać jakieś mniejsze otoczenie argumentu 2. Może (1,9;2,1)?

Otoczenie (1,9;2,1)Odpowiadające mu otoczenie wartości to (3,61;4,41):

Otoczenie wartości odpowiadające (1,9;2,1)I tym razem trafiliśmy, otoczenie wartości odpowiadające otoczeniu (1,9;2,1) zawiera się w naszym wyjściowym otoczeniu wartości (3,5).

Na powyższym przykładzie można załapać, jak to działa. Teraz chodzi o to, że jak dowolnie małe otoczenie 4 wybrali byśmy na początku:

Bardzo małe otoczenie 4…znajdziemy takie otoczenie argumentu 2, którego wartości zawierają się w tym wybranym na początku:

Odpowiadnie otoczenie 2Wtedy mówimy, że funkcja w punkcie 2 osiąga granicę równą 4.

Formalny zapis definicji granicy funkcji

Zapiszmy teraz naszą definicję formalnym językiem symboli. Jak pamiętamy, otoczeniem wartości 4 o długości 1 mogliśmy zapisać przedziałem (3,5), a mogliśmy też wartością bezwzględną: delim{|}{f(x)-4}{|}<1. f(x) oznacza właśnie wartość funkcji, prawda?

Definicja granicy funkcji zapisana symbolami wyglądać będzie tak:

Liczbę g nazywamy granicą funkcji w punkcie x_0, jeśli:

Definicja granicy funkcji formalna
KONIEC

Kliknij, aby zobaczyć jak wykorzystywać granice funkcji z definicji w praktyce (następny Wykład) –>

Kliknij, aby przypomnieć sobie, jaka jest definicja granicy funkcji Heinego (poprzednie Wykład) <–

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o granicach

Paczka wszystkich Kursów eTrapez

139 zł

Zobacz więcej

2 komentarze na “Granice funkcji – definicja Cauchy’ego”

  1. Ignacy 28 maja 2014 o 16:07 Link do komentarza

    Mam taką zagwozdkę;
    pisze Pan „Liczbę g nazywamy granicą funkcji w punkcie x_0, jeśli:

    Dla każdego otoczenia (nawet bardzo małego) wartości funkcji g znajdziemy takie otoczenie argumentu funkcji x_0, że odpowiadające im otoczenie wartości zawiera się w tym ustalonym na początku (nawet bardzo małym) otoczeniu wartości funkcji g.”

    Powiedzmy ,że mamy funkcję f(x)=x ,sigma=1 i epsilon=1.i mamy daną granicę w punkcie x0=2 g=2.I teraz jak narysujemy sobie wykres to zobaczymy ,że otoczenie punktu x0 nie zawiera się w otoczeniu g tylko mu odpowiada ,ale za to spełnione jest równanie:
    0<I x-x0 I I f(x)-g I<epsilon.Reasumując według cytatu powyżej otoczenie argumentu x0(w tym przypadku) nie zawiera się w otoczeniu g ,ale za to według definicji już tak.Proszę o rozjaśnienie sytuacji.

    Pozdrawiam

  2. Jaszczureq 9 września 2014 o 21:56 Link do komentarza

    Tam gdzie skraca się zera przez kreskę ułamkową kończy sie matematyka a zaczyna tfu „nauczanie”

Dodaj komentarz