Obliczanie granicy ciągu twierdzeniem o trzech ciągach – VIDEO

Na tym filmiku pokazuję, jak obliczyć granicę ciągu zawierającego (-1)^n – przy użyciu twierdzenia o trzech ciągach:

Mając do policzenia granicę ciągu z (-1)^n w środku, na przykład:

{lim}under{n{right}{infty}}{n+(-1)^n}/{4n-11}

…możemy skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach.

Ogólną metodę liczenia granic przy pomocy twierdzenia o trzech ciągach znajdziesz w moim Kursie Granic. W tym poście przedstawię tylko ten jeden, konkretny przypadek ciągu.

Przykład

Wiemy, że liczba (-1)^n będzie zawsze równa liczbie 1 (dla n parzystych), albo -1 (dla n nieparzystych). Prawdą jest więc, że jest zawsze mniejsza lub równa od 1 i większa lub równa od -1, prawda? Prawdziwe są więc nierówności:

{lim}under{n{right}{infty}}{n-1}/{4n-11}<={lim}under{n{right}{infty}}{n+(-1)^n}/{4n-11}<={lim}under{n{right}{infty}}{n+1}/{4n-11}

Wyrażenie po prawej ma większy (lub równy) licznik od środkowego, więc całe jest dla dowolnego n większe lub równe od wyrażenia w środku.

Wyrażenie po lewej ma mniejszy (lub równy) licznik od środkowego, więc całe jest dla dowolnego n mniejsze lub równe od wyrażenia w środku.

Teraz pokazujemy, że ciągi ograniczające z góry i z dołu dążą do tej samej granicy (metodami wytłumaczonymi w Kursie Granic):

{lim}under{n{right}{infty}}{n+1}/{4n-11}={lim}under{n{right}{infty}}{n(1+1/n)}/{n(4-11/n)}=1/4

{lim}under{n{right}{infty}}{n-1}/{4n-11}={lim}under{n{right}{infty}}{n(1-1/n)}/{n(4-11/n)}=1/4

Pokazaliśmy, że ciągi ograniczające z góry i z dołu nasz ciąg wyjściowy dążą do 1/4, stąd zatem prosty wniosek, że nasza granica ciągu, którą mamy policzyć równa jest 1/4 (bo tak nam „mówi” twierdzenie o trzech ciągach):

{lim}under{n{right}{infty}}{n+(-1)^n}/{4n-11}=1/4