Obliczanie granicy ciągu twierdzeniem o trzech ciągach – VIDEO

Na tym filmiku pokazuję, jak obliczyć granicę ciągu zawierającego (-1)^n – przy użyciu twierdzenia o trzech ciągach:

Mając do policzenia granicę ciągu z (-1)^n w środku, na przykład:

{lim}under{n{right}{infty}}{n+(-1)^n}/{4n-11}

…możemy skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach.

Ogólną metodę liczenia granic przy pomocy twierdzenia o trzech ciągach znajdziesz w moim Kursie Granic. W tym poście przedstawię tylko ten jeden, konkretny przypadek ciągu.

Przykład

Wiemy, że liczba (-1)^n będzie zawsze równa liczbie 1 (dla n parzystych), albo -1 (dla n nieparzystych). Prawdą jest więc, że jest zawsze mniejsza lub równa od 1 i większa lub równa od -1, prawda? Prawdziwe są więc nierówności:

{lim}under{n{right}{infty}}{n-1}/{4n-11}<={lim}under{n{right}{infty}}{n+(-1)^n}/{4n-11}<={lim}under{n{right}{infty}}{n+1}/{4n-11}

Wyrażenie po prawej ma większy (lub równy) licznik od środkowego, więc całe jest dla dowolnego n większe lub równe od wyrażenia w środku.

Wyrażenie po lewej ma mniejszy (lub równy) licznik od środkowego, więc całe jest dla dowolnego n mniejsze lub równe od wyrażenia w środku.

Teraz pokazujemy, że ciągi ograniczające z góry i z dołu dążą do tej samej granicy (metodami wytłumaczonymi w Kursie Granic):

{lim}under{n{right}{infty}}{n+1}/{4n-11}={lim}under{n{right}{infty}}{n(1+1/n)}/{n(4-11/n)}=1/4

{lim}under{n{right}{infty}}{n-1}/{4n-11}={lim}under{n{right}{infty}}{n(1-1/n)}/{n(4-11/n)}=1/4

Pokazaliśmy, że ciągi ograniczające z góry i z dołu nasz ciąg wyjściowy dążą do 1/4, stąd zatem prosty wniosek, że nasza granica ciągu, którą mamy policzyć równa jest 1/4 (bo tak nam „mówi” twierdzenie o trzech ciągach):

{lim}under{n{right}{infty}}{n+(-1)^n}/{4n-11}=1/4

Poznaj podstawy edukacji matematycznej na studiach

Dołącz do ponad 10000 studentów na Akademii eTrapez

Oto, co czeka na Ciebie:

  • 14 darmowych Lekcji (video + zadanie domowe)
  • 10 internetowych kalkulatorów
Załóż darmowe konto na Akademii eTrapez
O Krystian Karczyński

Nazywam się Krystian Karczyński, od kilkunastu lat pomagam studentom w matematyce.

Nowe technologie związane z Internetem pozwalają uczyć szybciej, bardziej ciekawie i skutecznie, co pokazuję na swojej Akademii eTrapez i na blogu.

Komentarze

  1. Paweł napisał:

    Witam :) Mam pytanie a w zasadzie to prosiłbym o radę, mianowicie studiuje na Uniwersytecie Ekonomicznym i na matematyce w zasadzie nie omawialismy zbytnio Granic , zaś jedyne to co omówilismy to takie pojęcia jak :rachunek marginalny (krańcowy) oraz iloraz różnicowy.Na kazde z tych pojęć jest osobny wzór.I własnie chciałbym sie dowiedziec które lekcje z kursu Granice pownienem przerobic aby sie tego nauczyc , mam stosunkowo mało czasu i nie chciałbym się uczyć więcej niz jest mi potrzebne na kolokwium.Z góry dziękuje za odpowiedź

    • Krystian Karczyński napisał:

      Witam, do tego to bardziej się przyda Kurs Pochodnych, ale ciężko będzie przełożyć pojęcia czysto matematyczne na ekonomiczne, a w Kursie jest tylko czysta matematyka…

  2. hania napisał:

    Witam :) Mam pytanie. Muszę obliczyć taką granicę: $latex\underset{n\to\infty}{\mathop{\lim}}\,\sqrt[n]{2^n + 2^(-n) + (\cos n)^2}$
    wydaje mi się, że trzeba to obliczyć z twierdzenia o trzech ciągach. W takim razie jak to ograniczyć? Przez cosinusa mam wątpliwości :P

  3. hania napisał:

    ups, przepraszam, nie wyszło ;) Miała być granica przy n dążącym do nieskończoności i duży pierwiastek n-tego stopnia z 2^n + 2^(-n) +(cos n)^2

    • Krystian Karczyński napisał:

      Czyli chodzi o taką granicę: \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{{{2}^{n}}+{{2}^{-n}}+{{\cos }^{2}}n} ?

      No zasadniczo można pójść na łatwiznę… Z dołu nie ma problemu, prawda?

      \sqrt[n]{{{2}^{n}}}\le \sqrt[n]{{{2}^{n}}+{{2}^{-n}}+{{\cos }^{2}}n}

      No i z góry też niewielki problem:

      \sqrt[n]{{{2}^{n}}+{{2}^{-n}}+{{\cos }^{2}}n}=\sqrt[n]{{{2}^{n}}+\frac{1}{{{2}^{n}}}+{{\cos }^{2}}n}\le \sqrt[n]{{{2}^{n}}+1+1}\le \sqrt[n]{{{2}^{n}}+{{2}^{n}}+{{2}^{n}}}

      No i jesteśmy już w starym schemacie pokazanym w Kursie.

  4. Maciej napisał:

    Witam :) Bardzo proszę o pomoc z taką granicą. Mam w polecaniu powiedziane ze musi to byc policzone metoda o 3 ciagach.
    i tak lim przy n –> nieskończoności dalej mam duzy pierwiastek stopnia (n+1) a pod pierwiastkiem n^3 + n^2 + n^1 +1 jest to zadanie z egzaminu
    pozdrawiam

Skomentuj, zapraszam