blog

Obliczanie granicy ciągu twierdzeniem o trzech ciągach (VIDEO)

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


Na tym filmiku pokazuję, jak obliczyć granicę ciągu zawierającego (-1)^n – przy użyciu twierdzenia o trzech ciągach:

Mając do policzenia granicę ciągu z (-1)^n w środku, na przykład:

{lim}under{n{right}{infty}}{n+(-1)^n}/{4n-11}

…możemy skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach.

Ogólną metodę liczenia granic przy pomocy twierdzenia o trzech ciągach znajdziesz w moim Kursie Granic. W tym poście przedstawię tylko ten jeden, konkretny przypadek ciągu.

Przykład

Wiemy, że liczba (-1)^n będzie zawsze równa liczbie 1 (dla n parzystych), albo -1 (dla n nieparzystych). Prawdą jest więc, że jest zawsze mniejsza lub równa od 1 i większa lub równa od -1, prawda? Prawdziwe są więc nierówności:

{lim}under{n{right}{infty}}{n-1}/{4n-11}<={lim}under{n{right}{infty}}{n+(-1)^n}/{4n-11}<={lim}under{n{right}{infty}}{n+1}/{4n-11}

Wyrażenie po prawej ma większy (lub równy) licznik od środkowego, więc całe jest dla dowolnego n większe lub równe od wyrażenia w środku.

Wyrażenie po lewej ma mniejszy (lub równy) licznik od środkowego, więc całe jest dla dowolnego n mniejsze lub równe od wyrażenia w środku.

Teraz pokazujemy, że ciągi ograniczające z góry i z dołu dążą do tej samej granicy (metodami wytłumaczonymi w Kursie Granic):

{lim}under{n{right}{infty}}{n+1}/{4n-11}={lim}under{n{right}{infty}}{n(1+1/n)}/{n(4-11/n)}=1/4

{lim}under{n{right}{infty}}{n-1}/{4n-11}={lim}under{n{right}{infty}}{n(1-1/n)}/{n(4-11/n)}=1/4

Pokazaliśmy, że ciągi ograniczające z góry i z dołu nasz ciąg wyjściowy dążą do 1/4, stąd zatem prosty wniosek, że nasza granica ciągu, którą mamy policzyć równa jest 1/4 (bo tak nam “mówi” twierdzenie o trzech ciągach):

{lim}under{n{right}{infty}}{n+(-1)^n}/{4n-11}=1/4

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Wszystkie poruszone zagadnienia zostały BARDZO przejrzyście wytłumaczone. Myślę, że dla znacznej większości studentów kurs powinien być wystarczający. (Dla tych, dla których te 7 lekcji nie wyczerpie tematu, na pewno kurs będzie dobrą bazą do dalszej nauki). Polecam!

Wojciech Trojak

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Krystian Karczyński pisze:

    Chodziło o coś takiego:

    limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator 2 to the power of n plus open parentheses negative 2 close parentheses to the power of n over denominator 3 squared end fraction

    ?

    Bo jeśli tak, to coś tu nie gra, ten ciąg jest rozbieżny, twierdzenie o trzech ciągach nie ma tu zastosowania…dd/a3/9e076ec52d214cd614720d170177.png” alt=”times open parentheses negative 1 close parentheses” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#183;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»” />

    x greater or equal than 1 (znak nierówności się zmienił po pomnożeniu obu stron przez liczbę ujemną)

     

    zakładam że miał Pan na myśli   –x less or equal than negative 1 na samym początku prawda ?83/8b/a40fbf04d8fbbd6bbdd9e916cfb5.png” alt=”A subscript 2 equals fraction numerator partial differential squared f open parentheses P subscript 2 close parentheses over denominator partial differential x squared end fraction equals 2 e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses end exponent open parentheses 1 minus 5 times 0 squared minus 1 squared plus 2 times 0 to the power of 4 plus 2 times 0 squared times 1 squared close parentheses equals 2 e to the power of negative 1 end exponent times 0 equals 0″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»A«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mo»§#8706;«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«mfenced»«msub»«mi»P«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mo»§#8706;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mn»0«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»§#183;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»” />

    B subscript 2 equals fraction numerator partial differential squared f open parentheses P subscript 2 close parentheses over denominator partial differential x partial differential y end fraction equals negative 4 times 0 times 1 times open parentheses 2 minus 0 squared minus 1 squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 1 squared close parentheses end exponent equals 0

    C subscript 2 equals fraction numerator partial differential squared f open parentheses P subscript 2 close parentheses over denominator partial differential y squared end fraction equals 2 e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 1 squared close parentheses end exponent open parentheses 1 minus 0 squared minus 5 times 1 squared plus 2 times 0 squared times 1 squared plus 2 times 1 to the power of 4 close parentheses equals 2 e to the power of negative 1 end exponent times open parentheses negative 2 close parentheses equals negative 4 over e

    Ponieważ P subscript 2 open parentheses 0 comma 1 close parentheses comma space P subscript 3 open parentheses 0 comma negative 1 close parentheses , a funkcja

    f open parentheses x comma y close parentheses equals open parentheses x squared plus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent jest parzysta, to

    A subscript 3 equals A subscript 2 equals 0

    B subscript 3 equals B subscript 2 equals 0

    C subscript 3 equals C subscript 2 equals negative 4 over e

    Dalej liczymy hesjan:

    H equals open vertical bar table row A B row B C end table close vertical bar equals A times C minus B squared

    H subscript 1 equals A subscript 1 times C subscript 1 minus B subscript 1 superscript 2 equals 2 times 2 minus 0 squared equals 4

    H subscript 2 equals A subscript 2 times C subscript 2 minus B subscript 2 superscript 2 equals 0 times open parentheses negative 4 over e close parentheses minus 0 squared equals 0

    H subscript 3 equals H subscript 2 equals 0

    Ponieważ

    H subscript 1 equals 4 greater than 0 comma space A subscript 1 equals 2 greater than 0,

    to w punkcie P subscript 1 open parentheses 0 comma 0 close parentheses funkcja osiąga minimum lokalne, i

    f subscript m i n end subscript equals f open parentheses 0 comma 0 close parentheses equals open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses end exponent equals 0

    Ponieważ

    H subscript 2 equals H subscript 3 equals 0

    to w punktach P subscript 2 open parentheses 0 comma 1 close parentheses oraz P subscript 3 open parentheses 0 comma negative 1 close parentheses sytuacja jest nieznana (potrzebujemy wiele badań). 

     

    Jednak, jak już mówiono powyżej, współrzędne tych punktów spełniają warunek 

    x squared plus y squared equals 1

    dlatego w tych punktach nie ma ekstrema lokalne.

    Odpowiedź:

    f subscript m i n end subscript equals f open parentheses 0 comma 0 close parentheses equals 0

    5b/4e/4a87bb1fa7976d920fd270009d4b.png” alt=”fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential x partial differential y end fraction equals fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential y partial differential x end fraction equals 4″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mo»§#8706;«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#8706;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8706;«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mo»§#8706;«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#8706;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8706;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/math»” />

    fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential y squared end fraction equals 12 y squared minus 4

     

    Macierz Hessego ma postać:

    H subscript f left parenthesis x comma y right parenthesis equals open square brackets table row cell 12 x squared minus 4 end cell 4 row 4 cell 12 y squared minus 4 end cell end table close square brackets

     

    H subscript f left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 right parenthesis equals H subscript f left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 right parenthesis equals open square brackets table row 20 4 row 4 20 end table close square brackets

    M subscript 1 left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 right parenthesis equals M subscript 1 left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 right parenthesis equals 20 greater than 0

    M subscript 2 left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 right parenthesis equals M subscript 2 left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 right parenthesis equals 20 times 20 minus 4 times 4 equals 384 greater than 0

    Zatem w punktach open parentheses square root of 2 comma negative square root of 2 close parentheses oraz open parentheses negative square root of 2 comma square root of 2 close parentheses podana funkcja ma minima lokalne właściwe. 

     

    H subscript f left parenthesis 0 comma 0 right parenthesis equals open square brackets table row cell negative 4 end cell 4 row 4 cell negative 4 end cell end table close square brackets

    M subscript 2 left parenthesis 0 comma 0 right parenthesis equals open parentheses negative 4 close parentheses times open parentheses negative 4 close parentheses minus 4 times 4 equals 0

    Na razie nie wiemy, czy w punkcie open parentheses 0 comma 0 close parentheses funkcja f ma ekstremum. 

    Dla x equals 0 mamy: f left parenthesis 0 comma y right parenthesis equals y to the power of 4 minus 2 y squared. Wtedy punkt open parentheses 0 comma 0 close parentheses to maksimum lokalne funkcji f.

    Dla y equals x mamy:
     f left parenthesis x comma x right parenthesis equals x to the power of 4 plus x to the power of 4 minus 2 x squared plus 4 x squared minus 2 x squared equals 2 x to the power of 4. Wtedy
    punkt open parentheses 0 comma 0 close parentheses to minimum lokalne.

    Zatem w punkcie open parentheses 0 comma 0 close parentheses funkcja f nie posiada ekstremum.

     

    Musimy zbadać jeszcze wartości na brzegach wskazanego obszaru ograniczonego prostymi: x equals 0 comma space y equals 0 comma space x plus y equals 5.

     

  2. Monika pisze:

    Proszę o pomoc w obliczeniu granicy takiego ciągu przy wykorzystaniu twierdzenia o 3 ciągach: lim (2^n+ (-2)^n)/3^2. Dziękuję.

  3. Maciej pisze:

    Witam 🙂 Bardzo proszę o pomoc z taką granicą. Mam w polecaniu powiedziane ze musi to byc policzone metoda o 3 ciagach.
    i tak lim przy n –> nieskończoności dalej mam duzy pierwiastek stopnia (n+1) a pod pierwiastkiem n^3 + n^2 + n^1 +1 jest to zadanie z egzaminu
    pozdrawiam

  4. hania pisze:

    ups, przepraszam, nie wyszło 😉 Miała być granica przy n dążącym do nieskończoności i duży pierwiastek n-tego stopnia z 2^n + 2^(-n) +(cos n)^2

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Czyli chodzi o taką granicę: \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{{{2}^{n}}+{{2}^{-n}}+{{\cos }^{2}}n}?

      No zasadniczo można pójść na łatwiznę… Z dołu nie ma problemu, prawda?

      \sqrt[n]{{{2}^{n}}}\le \sqrt[n]{{{2}^{n}}+{{2}^{-n}}+{{\cos }^{2}}n}

      No i z góry też niewielki problem:

      \sqrt[n]{{{2}^{n}}+{{2}^{-n}}+{{\cos }^{2}}n}=\sqrt[n]{{{2}^{n}}+\frac{1}{{{2}^{n}}}+{{\cos }^{2}}n}\le \sqrt[n]{{{2}^{n}}+1+1}\le \sqrt[n]{{{2}^{n}}+{{2}^{n}}+{{2}^{n}}}

      No i jesteśmy już w starym schemacie pokazanym w Kursie.

  5. hania pisze:

    Witam 🙂 Mam pytanie. Muszę obliczyć taką granicę: [latex]\underset{n\to\infty}{\mathop{\lim}}\,\sqrt[n]{2^n + 2^(-n) + (\cos n)^2}[/latex]
    wydaje mi się, że trzeba to obliczyć z twierdzenia o trzech ciągach. W takim razie jak to ograniczyć? Przez cosinusa mam wątpliwości 😛

  6. Paweł pisze:

    Witam 🙂 Mam pytanie a w zasadzie to prosiłbym o radę, mianowicie studiuje na Uniwersytecie Ekonomicznym i na matematyce w zasadzie nie omawialismy zbytnio Granic , zaś jedyne to co omówilismy to takie pojęcia jak :rachunek marginalny (krańcowy) oraz iloraz różnicowy.Na kazde z tych pojęć jest osobny wzór.I własnie chciałbym sie dowiedziec które lekcje z kursu Granice pownienem przerobic aby sie tego nauczyc , mam stosunkowo mało czasu i nie chciałbym się uczyć więcej niz jest mi potrzebne na kolokwium.Z góry dziękuje za odpowiedź

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam, do tego to bardziej się przyda Kurs Pochodnych, ale ciężko będzie przełożyć pojęcia czysto matematyczne na ekonomiczne, a w Kursie jest tylko czysta matematyka…