Kłopoty z symbolami nieoznaczonymi


Post jest jakąś formą odpowiedzi na pytanie w komentarzach do powyższego filmiku na Youtubie ( link do komentarza ):

czegoś nie rozumiem i proszę o wytłumaczenie, czemu skracasz „n” ? chodzi mi o to że n/n jest to symbol nieoznaczony(nieskończoność przez nieskończoność) help bo już się tym pogubiłem

ClumsyFriday

Zrozumienie, czym NAPRAWDĘ są symbole nieoznaczone sprawia wiele kłopotów. Rodzi się także wiele pytań o to, co „wolno” z nimi robić, a czego „nie wolno”.

Mała powtórka

Przypomnijmy je najpierw:

delim{[}{{infty}/{infty}}{]},delim{[}{0/0}{]},delim{[}{0*{infty}}{]},delim{[}{{infty}-{infty}}{]},delim{[}{1^{infty}}{]},delim{[}{{infty}^0}{]},delim{[}{0^0}{]}

Jak już na pewno wiele razy słyszeliście w symbolach nieoznaczonych:

– znaczek infty nie oznacza tutaj jakiejś „liczby”, ani w ogóle jakiegoś obiektu matematycznego, tylko SYMBOLIZUJE rozbieganie do nieskończoności (nieskończoność nie jest liczbą!)

– znaczek 0 nie oznacza wcale liczby 0 , tylko SYMBOLIZUJE zbieganie do zera

– znaczek 1 nie oznacza wcale liczby 1, tylko SYMBOLIZUJE zbieganie do 1

– symbol nieoznaczony {infty}/{infty} nie oznacza wcale dzielenia jakiejś „liczby” przez jakąś „liczbę”, tylko SYMBOLIZUJE sytuację, w której licznik i mianownik rozbiegają do nieskończoności

– itd.

Mając więc do policzenia granicę:

{lim}under{n{right}{infty}}{n+1}/{2n+1}

…możemy powiedzieć, że mamy w niej symbol nieoznaczony {infty}/{infty}, ponieważ licznik i mianownik w wyrażeniu rozbiegają do +{infty}.

W wyrażeniu {infty}/{infty} NIE możemy sobie nieskończoności „skrócić”, ponieważ w wyrażeniu nieoznaczonym NIE oznaczają one w ogóle liczb, które można by „skracać’ ,wykonywać na nich działania itp.

W wyrażeniu {lim}under{n{right}{infty}}{n+1}/{2n+1} również nie możemy na starcie czegoś „skrócic”, ale nie dlatego, że są jakieś przyczyny formalne – ale po prostu dlatego, że nic się nie skraca 🙂

Trzeba więc stosować jakieś metody (w tym przypadku akurat wyciągać przed nawias – co opisałem w moim Kursie Granic), kombinować itd.

Weźmy jednak trywialną granicę:

{lim}under{n{right}{infty}}n/n

Jest to właściwie również granica, w której mamy symbol nieoznaczony  {infty}/{infty} – bo licznik i mianownik dążą do nieskończoności.

W wyrażeniu {infty}/{infty} również NIE możemy sobie nieskończoności „skrócić”, ale tym razem…

Skróty możemy wykonać i to jak najbardziej w wyrażeniu {lim}under{n{right}{infty}}n/n.

‚n’ jest to jak najbardziej zmienna matematyczna, na której można wykonywać operacje arytmetyczne, skracać itd. (w odróżnieniu od symbolu infty). Czyli n/n=1 i wszystko jest czysto i legalnie.

 

Podsumowując

Na obiektach {infty},0,1 W SYMBOLACH NIEOZNACZONYCH nie można wykonywać operacji arytmetycznych, skracać ich itp.

Na obiektach n,x W WYRAŻENIACH, z których liczymy granicę ciągów i funkcji zdecydowanie można wykonywać operacje matematyczne, skracać je itd.

Mam nadzieję, że nie zamotałem Cię jeszcze bardziej, ClumsyFriday, powodzenia z granicami!

 

Paczka wszystkich Kursów eTrapez

139 zł

Zobacz więcej