Granice z Pierwiastkami Trzeciego Stopnia (Czyżby Mnożenie Przez Sprzężęnie?)

Jak to wyglądało z „normalnymi” pierwiastkami?

Mając daną do policzenia granicę, do której jakoś zamieszane było jakieś odejmowanie z pierwiastkiem (i której nie dało się obliczyć prościej, rzecz jasna), czyli:

COŚ – pierwiastek z czegoś

pierwiastek z czegoś – COŚ

pierwiastek z czegoś – pierwiastek z czegoś

stosowaliśmy sztuczkę, którą ja nazywam – „mnożenie przez sprzężęnie”.

Po prostu mnożyliśmy to wyrażenie przez jego odpowiednik ze znakiem plus, a właściwie przez ułamek, w którym był ten odpowiednik w liczniku i mianowniku.

Na przykład:

{lim}under{n{right}{infty}}(sqrt{n+1}-sqrt{n}) mnożyliśmy tak: {lim}under{n{right}{infty}}(sqrt{n+1}-sqrt{n}){sqrt{n+1}+sqrt{n}}/{sqrt{n+1}+sqrt{n}}

{lim}under{x{right}4}{sqrt{x}-2}/{x-4} mnożyliśmy tak: {lim}under{x{right}4}{sqrt{x}-2}/{x-4}{sqrt{x}+2}/{sqrt{x}+2}

Sprytna ta sztuczka pozwalała nam wyjść na wzór skróconego mnożenia:

(a-b)(a+b)=a^2-b^2

Po wyjściu na ten wzór kwadraty „kosiły” pierwiastki i wychodziliśmy na prostą (no powiedzmy, czasami trochę dłuższą prostą).

Co jednak z sytuacją, kiedy pierwiastki zamieszane w odejmowanie będą trzeciego stopnia? Tak jak na przykład tutaj:

\underset{x\to 8}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}

Standardowa metoda postępowania, tzn. mnożenie w następujący sposób:

{lim}under{x{right}8}{root{3}{x}-2}/{x-8}{root{3}{x}+2}/{root{3}{x}+2}

Nic nam nie da, bo tym razem w liczniku po wyjściu na wzór:

(a-b)(a+b)=a^2-b^2

Kwadraty w żaden sposób nie „skrócą” na pierwiastków trzeciego stopnia. Czyli będziemy dalej w kropce.

 

Jak będzie to wyglądać z pierwiastkami trzeciego stopnia?

W przypadku odejmowania z pierwiastkami trzeciego stopnia trzeba po prostu „celować” w zupełnie inny wzór (ale też z gimnazjum), mianowicie:

(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3

Czyli nasze dane a-b (w którym a lub b lub oba to pierwiastki trzeciego stopnia) zamiast mnożyć przez a+b mnożyć będziemy przez a^2+ab+b^2 i po zastosowaniu wzoru trzecie potęgi zrobią swoją robotę, „skracając” pierwiastki.

Przykład 1

{lim}under{x{right}8}{root{3}{x}-2}/{x-8}={lim}under{x{right}8}{root{3}{x}-2}/{x-8}{(root{3}{x})^2+2root{3}{x}+2^2}/{(root{3}{x})^2+2root{3}{x}+2^2}=

={lim}under{x{right}8}{(root{3}{x}-2)((root{3}{x})^2+2root{3}{x}+2^2)}/{(x-8)((root{3}{x})^2+2root{3}{x}+2^2)}={lim}under{x{right}8}{(root{3}{x})^3-2^3}/{(x-8)((root{3}{x})^2+2root{3}{x}+2^2)}=

={lim}under{x{right}8}{x-8}/{(x-8)((root{3}{x})^2+2root{3}{x}+2^2)}={lim}under{x{right}8}1/{(root{3}{x})^2+2root{3}{x}+2^2}=

=1/{(root{3}{8})^2+2root{3}{8}+2^2}=1/{2^2+2*2+4}=1/12

 

Przykład 2

{lim}under{n{right}{infty}}(root{3}{n^3+4n^2+3n+2}-n-1)=

={lim}under{n{right}{infty}}(root{3}{n^3+4n^2+3n+2}-(n+1)){(root{3}{n^3+4n^2+3n+2})^2+(n+1)root{3}{n^3+4n^2+3n+2}+(n+1)^2}/{(root{3}{n^3+4n^2+3n+2})^2+(n+1)root{3}{n^3+4n^2+3n+2}+(n+1)^2}=

={lim}under{n{right}{infty}}{(root{3}{n^3+4n^2+3n+2})^3-(n+1)^3}/{(root{3}{n^3+4n^2+3n+2})^2+(n+1)root{3}{n^3+4n^2+3n+2}+(n+1)^2}=

={lim}under{n{right}{infty}}{n^3+4n^2+3n+2-(n^3+3n^2+3n+1)}/{(root{3}{n^3(1+4/n+3/n^2+2/n^3)})^2+(n+1)root{3}{n^3(1+4/n+3/n^2+2/n^3)}+(n(1+1/n^2))^2}=

={lim}under{n{right}{infty}}{n^2+1}/{{n^2}(root{3}{1+4/n+3/n^2+2/n^3})^2+n(1+1/n){n}root{3}{1+4/n+3/n^2+2/n^3}+{n^2}(1+1/n^2)^2}=

={lim}under{n{right}{infty}}{n^2(1+1/n^2)}/{n^2((root{3}{1+4/n+3/n^2+2/n^3})^2+(1+1/n)root{3}{1+4/n+3/n^2+2/n^3}+(1+1/n^2)^2)}=

~=1/3

Kurs Granice

Dołącz do tysięcy studentów, którzy skorzystali z mojego Kursu Video...

  • 8 Lekcji
  • 350 minut nagrań video
  • 80 pytań testowych i 120 przykłady do zadań domowych
  • materiały bonusowe: video (w tym o liczeniu granic w WolframAlpha) i artykuły
  • cena: 39 zł
Zobacz więcej