Delta równa zero w całkach nieoznaczonych wymiernych

Rozkład na czynniki trójmianu kwadratowego

W całkach nieoznaczonych wymiernych zachodzi (często) konieczność rozkładu na czynniki trójmianu kwadratowego: ax^2+bx+c. Robimy to oczywiście ze wzoru: ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2), który działa wtedy, gdy Delta data-recalc-dims==0″ title=”Delta>=0″/>.

Jak wygląda jednak ten dwumian, gdy delta równa jest konkretnie i dokładnie 0? Na przykład jak wyglądać będzie rozłożone na czynniki: x^2-4x+4 (Delta=0, x_0=2)?

Czy może tak: x^2-4x+4=1(x-2) ?

Oczywiście nie… Ze szkoły średniej pamiętamy, że jeśli Delta=0 wychodził nam faktycznie jeden pierwiastek, ale był to pierwiastek podwójny. Zatem w naszym przykładzie można powiedzieć, że: x_1=x_2=2, czyli trójmian kwadratowy rozłożony na czynniki wyglądać będzie tak:

x^2-4x+4=1(x-2)(x-2)=(x-2)^2

Ma to spore konsekwencje w całkach nieoznaczonych wymiernych przy okazji rozkładu na ułamki proste. Weźmy przykład:

int{}{}{dx/{2x^3+4x^2+2x}}

Rozbieramy na boczku sam ułamek bez całki, czyli piszemy:

1/{2x^3+4x^2+2x}

Na dole wyciągamy x przed nawias:

1/{2x^3+4x^2+2x}=1/{x(2x^2+4x+2)}

Z trójmianu kwadratowego na dole liczymy deltę, wychodzi 0, oraz pierwiastek – wychodzi ~-1. Rozkładając na czynnik uzyskujemy więc:

1/{2x^3+4x^2+2x}=1/{x(2x^2+4x+2)}=1/{x2(x+1)(x+1)}=1/{2x(x+1)^2}

A rozkładając na ułamki proste:

1/{2x(x+1)^2}=A/{2x}+B/{x+1}+C/(x+1)^2

Paczka wszystkich Kursów eTrapez

139 zł

Zobacz więcej