积分

有理不定积分 – 分母中的三次多项式

在有理不定积分中，如我们所知，经常需要将被积函数的分母分解为因式，并进一步分解为简单分数。然而，仅仅是因式分解就可能经常是个麻烦。

无穷不定积分中德尔塔等于零

在有理数不定积分中，经常需要将二次方程 ax^2 + bx + c 分解成因子。我们当然通过公式 ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) 来实现，当 Delta 大于 0 时有效。但当 Delta 正好为 0 时，这个二项式会怎样？

旋转体的体积 – 陷阱题

了解如何使用小学简单公式轻松计算旋转体的体积。通过计算绕轴旋转的曲线产生的球体的体积示例，发现这种方法，无需复杂的积分。

关于变量 y 的定积分

定积分可以针对变量 x 或 y 进行计算，有时如果更方便的话，甚至应该这样做。这在积分的应用中常常扮演重要角色，例如：计算区域面积、弧长、体积和旋转体的表面积。往往我们甚至没有选择，因为任务条件规定曲线绕 OY 轴而非 OX 轴旋转。怎么做呢？

通过代换求定积分 – 改变积分限

探索如何在定积分任务中通过代换有效地改变积分限。本文详细解释了这一关键数学技巧的逐步过程，使用真实的例子和公式来简化理解。

在不定积分问题中，不同的结果，正确的解决方案 – 可能吗？

想知道为什么在解不定积分时得到的结果与教科书上的不同吗？了解不同的积分方法和添加常数如何影响结果，以及如何正确解释这些差异。

我怎么知道在不定积分中该代入什么？

了解如何有效使用代换方法来解决不定积分问题。本文包含详细的提示和示例，帮助您理解何时以及选择哪些代换来简化复杂的积分。非常适合刚开始学习积分的数学学生，寻找实用的建议和解决方案。

欧拉第一类替换

欧拉在不定积分中的替换是继有理积分、三角积分和根积分之后引入的内容。这意味着大多数学生不会接触到它们，我在我的不定积分课程中也没有涵盖它们。

然而，在数学专业中，仍有相当一部分学生必须面对欧拉替换的挑战，我邀请这些学生（以及感兴趣的人）来阅读。我将讨论欧拉替换的三种类型（在这篇文章中，我将处理第一种类型）并为每种类型提供一个示例。